Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

ПОВТОРЕННЯ

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ВИРАЗИ І ТОТОЖНОСТІ

Вирази

Числові

Буквені

Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом.

Запис, в якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається виразом зі змінними.

24 : 4 + 5 або (12 - 2) ∙ 0,5

(2 + а) : 30 або 7klas_1.files/image527.gifх + 4 ,

Означення

Приклад

Цілий вираз — це вираз, який не містить ділення на вираз зі змінними

4а - 3b, 12х + 17, 3c - 7klas_1.files/image528.gif

Усі значення змінної, допустимі для певного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.

Вираз

ОДЗ виразу

7klas_1.files/image529.gif

х ≠ -12

7klas_1.files/image530.gif

х - будь-яке число

7klas_1.files/image531.gif

х ≠ -7 і х ≠ 3

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо вони набувають відповідно рівних значень за будь-яких значень їх змінних.

Означення

Приклад

Тотожність — це рівність, ліва і права частини якої є тотожно рівними виразами

10х - (6y - 3х) = 7х - 6y,

а 2 - b 2 = (а + b)(а - b)

Довести тотожність означає довести рівність її лівої і правої частин.

Способи доведення тотожностей

Назва способу

Сутність способу

Приклад

Перетворення лівої частини рівності

Перетворити вираз у лівій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині

(a - 2b)(a + 2b)(a 2 + 4b 2) = а 4 - 16у 2

(а - 2b)(а + 2b)(а 2 + 4b 2) =

2 - 4b 2)(a 2 + 4b 2) = а 4 - 16y 2

Перетворення правої частини рівності

Перетворити вираз у правій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її лівій частині

(а - 2b)(а + 2b)(а 2 + 4b 2) =

а 4 - 16y 2

а 4 - 16у 2 =

= (а 2 - 4b 2)(а 2 + 4b 2) =

= (а - 2b)(а + 2b)(а 2 + 4b 2)

Перетворення обох частин рівності

Перетворити вирази в обох частинах даної рівності так, щоб вони набули одного й того самого вигляду

(а - 2b)(a + 2b)(а 2 + 4b 2) = а 4 - 16y 2

(а - 2b)(а + 2b)(а 2 + 4b 2) = (а2 - 4b 2)(a 2 + 4b 2)

а 4 - 16у 2 = (а 2 - 4b 2)(a 2 + 4b 2)

Різницеве

порівняння

Перевірити, чи дорівнює нулю різниця виразів у лівій і правій частинах даної рівності

(а - 2b)(а + 2)(а 2 + 4b 2) = а 4 - 16у 2

(а - 2b)(а + 2b)(а 2 + 4b 2) - (а 4 - 16) =

2 - 4b 2)(а 2 + 4b 2) - (а 4 - 16y 2) = (а 4 - 16у 2) - (а 4 - 16у 2) = 0

СТЕПЕНІ

7klas_1.files/image532.jpg

Будь-який натуральний степінь числа 1 дорівнює 1

1 n = 1

1 2016 = 1

Будь-який натуральний степінь числа 0 дорівнює 0

0 n = 0

0 2016 = 0

Будь-який натуральний степінь додатного числа — число додатне

а n >0, якщо а >0, n — натуральне число

4 8 > 0

Парний натуральний степінь від’ємного числа — число додатне

а n > 0, якщо а < 0, n = 2k, k — натуральне число

(-4) 8 > 0

Непарний натуральний степінь від’ємного числа — число від’ємне

а n < 0, якщо а < 0, n = 2k - 1,

k — натуральне число

(-4) 9<0

Дії першого ступеня зі степенями

Переставна властивість

а n + а m- = а m + а n

5 2 + 5 3 = 5 3 + 5 2

150 = 150

а n + b n = b n + a n

5 2 + 4 2 = 4 2 + 5 2

41 = 41

Для віднімання переставна властивість виконується не завжди

5 2 - 5 3 ≠ 5 3 - 5 2

- 100 ≠ 100

5 2 - 4 2 ≠ 4 2- 5 2

9 ≠ -9

Сполучна властивість

(a n + a m ) + а k = а n + (а m + а k )

(5 2 + 5 3) + 5 4 = 5 2 + (5 3 + 5 4)

150 + 625 = 25 + 750

775 = 775

n + b n) + с n = а n + (b n + с n)

(3 2 + 4 2) + 5 2 = 3 2 + (4 2 + 5 2)

25 + 25 = 9 + 41

50 = 50

n - а m) - а k = а k - (а m + а k)

(5 2 - 5 3) - 5 4 = 5 2 - (5 3 + 5 4)

-100 - 625 = 25 - 750

-725 = -725

n - b n) - с n = а n - (b n + с n)

(3 2 - 4 2) - 5 2 = 3 2 - (4 2 + 5 2)

-7 - 25 = 9 - 41

- 32 = -32

Дії другого ступеня зі степенями

Переставна властивість

a n ∙ a m = a m∙ a n

2 2 ∙ 2 3 = 2 3 ∙ 2 2

32 = 32

а n ∙ b n= b n ∙ а n

2 2 ∙ 4 2 = 4 2 ∙ 2 2

64 = 64

Для ділення переставна властивість виконується не завжди

2 2 : 2 3 ≠ 2 3 : 2 2

7klas_1.files/image018.gif ≠ 2

2 2 : 4 2 ≠ 4 2 : 2 2

7klas_1.files/image016.gif ≠ 4

Сполучна властивість

n ∙ а m) ∙ а k = а n ∙ (а m ∙ а k)

(2 2 ∙ 2 3) ∙ 2 4 = 2 2 ∙ (2 3 ∙ 2 4)

32 ∙ 16 = 4 ∙ 128

512 = 512

(a n ∙ b n) ∙ c n = a n ∙ (b n ∙ c n)

(3 2 ∙ 4 2) ∙ 2 2= З 2 ∙ (4 2 ∙ 2 2)

144 ∙ 4 = 9 ∙ 64

576 = 576

Для ділення сполучна властивість виконується не завжди

(2 2 : 2 3) : 2 4 ≠ 2 2 : (2 3 : 2 4)

7klas_1.files/image018.gif : 16 ≠ 4 : 7klas_1.files/image018.gif

7klas_1.files/image533.gif ≠ 8

(3 2 : 4 2) : 2 2 ≠ 3 2 : (4 2 : 2 2)

7klas_1.files/image237.gif : 4 ≠ 9 : 4

7klas_1.files/image534.gif ≠ 2 7klas_1.files/image016.gif

Розподільна властивість

(a n + a m) ∙ a k = a na k + a ma k

(2 2 + 2 3) ∙ 2 4 = 2 2 ∙ 2 4 + 2 3 ∙ 2 4

12 ∙ 16 = 64 + 128

192 = 192

n + b n) ∙ с n = а nс n + b nс n

(3 2 + 4 2) ∙ 2 2 = 3 2 ∙ 2 2 + 4 2 ∙ 2 2

25 ∙ 4 = 36 + 64

100 = 100

(a n + a m) : a k = a n : a k + a m : a k,

(a ≠ 0)

(2 2+2 3) : 2 4 = 2 2 : 2 4 + 2 3 : 2 4

12 : 16 = 7klas_1.files/image016.gif + 7klas_1.files/image018.gif

7klas_1.files/image013.gif = 7klas_1.files/image013.gif

(a n + b n) : с n = а n : c n + b n : c n,

(c ≠ 0)

(3 2 + 4 2) : 2 2 = 3 2 : 2 2 + 4 2 : 2 2

25 : 4 = 7klas_1.files/image535.gif + 4

6 7klas_1.files/image016.gif = 6 7klas_1.files/image016.gif

Властивість степенів із рівними основами

а n ∙ а m = а n+m

2 3 ∙ 2 2 = 2 3+2 =

= 2 5=

= 32

а n : а m = а n-n ,

(n > m, a ≠ 0)

2 3 : 2 2 =

= 2 3-2 =

= 21 =

= 2

Властивість степенів із різними основами і рівними показниками

а n ∙ b n = (аb) n

3 2 ∙ 4 2= (3 ∙ 4) 2=

= 12 2=

= 144

7klas_1.files/image536.gif = ( 7klas_1.files/image137.gif) n , (b ≠ 0)

6 2 : 3 2 = (6 : 3) 2=

= 2 2 =

= 4

Дія третього ступеня зі степенями

(a m) n = а mn

(3 2) 3 = 3 2 3=

= 3 6 = 729

ОДНОЧЛЕНИ

Цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх натуральних степенів, називається одночленом.

Одночлен

Стандартний вигляд одночлена

Коефіцієнт

одночлена

Степінь

одночлена

x

x

1

1

3,5х 3y

3,5х 3у

3,5

3 +1 = 4

-x 5y 8ax

-ax 6y 8

-1

1 + 8 + 6 =15

6x 5y 8∙ 0,5y 2

5y 10

3

5 + 10 = 15

5

5

5

0

Дії першого ступеня з одночленами

Переставна властивість

12х 5 + у 2 = у 2 + 12х 5

12х 5 - у 2 ≠ у 2 -12х 5

Сполучна властивість

(12х 5 + у2) + 6х = 12х 5 + (у 2 + 6х)

(12х 5 - у 2) - 6х ≠ 12х 5 - (y 2 - 6х)

(12х 5 - у 2) - 6х = 12х 5 - (у 2 + 6х)

Дії другого ступеня з одночленами

Переставна властивість

12х 5 ∙ у 2 = у 2 ∙ 12х 5

12х 5 : у 2 ≠ у 2 : 12х 5

Сполучна властивість

(12х 5 ∙ у 2) ∙ 6х = 12х 5 ∙ (у 2 ∙ 6х)

(12х 5 : у2) : 6х ≠ 12х 5 : (y 2 : 6х)

(12х 5 : у 2) : 6х = 12х 5 : (у 2 ∙ 6х)

Дія третього ступеня з одночленами

Правило

Приклад

Щоб піднести одночлен до n-го степеня, треба піднести до цього степеня кожний множник даного одночлена та обчислити коефіцієнт отриманого одночлена

(0,5a 7c 2) 2=

= 0,52a 7∙ 2c 2 ∙ 2 =

= 0,25а 14с 4

МНОГОЧЛЕНИ

Вираз, що є сумою кількох одночленів, називається многочленом.

Якщо многочлен подано в стандартному вигляді, то степенем цього многочлена називається степінь його старшого члена.

Многочлен

Стандартний вигляд

многочлена

Вільний член

многочлена

Старший

Член многочлена

Степінь

многочлена

x 2 - 7x - 2

Х 2 - 7Х - 2

-2

x 2

2

-х + 3 + 2х

х + 3

3

x

1

2 - 1 + 5у - 3

2 + 5у - 4

-4

2

2

Дії першого ступеня з многочленами

Переставна властивість

0,3х + (y 2 + 2) = (у 2 + 2) + 0,Зх

(12 - х) + (у 2 + 2) = (у 2 + 2) + (12 - х)

0,3х -(у 2 + 2) ≠ (у 2 + 2) - 0,3х

(12- х) + (y 2 + 2) = (у 2 + 2) + (12 - х)

Сполучна властивість

(0,3х + (у 2 + 2))+ у 2=

= 0,3х + ((у 2 + 2) + у 2)

((х + 3) + (у 2 + 2)) + (1 - х) =

(x + 3) + ((y 2 + 2) + (1 - х))

(0,3х - (у 2 + 2)) - у 2=

= 0,3х -((у 2 + 2) + y 2)

((х + 3) - (у 2 + 2)) - (1 - х)=

= (х + 3) - ((1 - х) + (y 2 + 2))

Множення многочленів


одночлен

означає скласти вираз, що є сумою добутків

кожного

члена

многочлена

і даного одночлена

та спростити його, якщо це можливо

Помножити

многочлен

на

многочлен

на кожен член іншого многочлена

Формула множення одночлена на двочлен

Формула множення двочленів

с(а + b) = са + сb

(а+ b)(c + d) - ac + ad + bc + bd

12х 5 - (у 2 + 2)=

= 12х 5 - у 2 + 12х 5 ∙ 2 =

= 12х 5y 2 + 24х 5

(12x 5 - х) ∙ (у 2 + 2)=

= 12х 5 ∙ y 2 + 12х 5 ∙ 2 - х ∙ у 2 - х ∙ 2 =

= 12х 5у 2 + 24х 5 - ху 2 - 2х

Властивості множення многочленів

Переставна властивість

12х 5 ∙ (у 2 + 2) = (у 2 + 2) ∙ 12х 5

(12х 5 - х) ∙ (у 2 + 2) = (у 2 + 2) ∙ (12x 5 - х)

Сполучна властивість

((у 2 + 2) ∙ 12х 5) ∙ 6х =

= (у 2 + 2) ∙ (12х 5 ∙ 6х)

((х + 3) ∙ (у 2 + 2)) ∙ (1 - х)=

= (х + 3) ∙ ((у 2 + 2) ∙ (1 - х))

Дія третього ступеня з многочленами

Правило

Приклад

Щоб піднести многочлен до n-го степеня, треба помножити цей многочлен на себе п разів

(а + b) 2 = (а + b)(а + b)

(а + b) 3 = (а + b)(а + b)(а + b)

Формули скороченого множення

Формула

Приклад

Квадрат двочлена:

(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2

(а - b) 2= а 2 - 2аb + b 2

(2а + 3b) 2=

= (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ 3b + (3b) 2 =

= 4а 2 + 12аb + 9b 2

(5 - 6bс) 2 =

= 5 2 - 2 ∙ 5 ∙ 6bс + (6bс) 2 =

= 25 - 60bс + 36b 2с 2

Різниця квадратів:

а 2 - b 2 = (а + b)(а - b)

2 - 9у 2 = (2х + 3у)(2х - 3у)

Сума і різниця кубів:

а 3 + b 3 = (а+ b)(а 2 - ab + b 2)

а 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2)

125а 3b 3 + с 3 =

= (5аb + с) ∙ (25а 2b 2 - 5аbс + с 2)

3 - 27у 3 =

= (2х - 3у) ∙ (4х 2 + 6ху + 9y 2)

Розкладання многочленів на множники

Спосіб

Приклад

Винесення спільного множника за дужки

2y 3 - 24х 4у 3 + 18х 3у 2 =

= 6х 2у 2(у - 4х 2у + 3х)

Застосування формул скороченого множення

64х 6y 6 - х 3y 3=

= х 3у 3(4ху - 1)(16x 2y 2 + 4ху + 1)

Спосіб групування

2у 2 - 3ху + 4х 3у 3 - 6х 2y 2 =

= ху((2ху - 3) + 2ху(2ху - 3)) =

= ху(2ху -3)(1 + 2ху)

Означення

Приклад

Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називають функцією

у = f(x), наприклад, у = х 2 + 5

у = F(х), наприклад, у = 2 - 5х

2 = g(t), наприклад, z = 3t 3 + 1

x = ф(t), наприклад, х = 4,1 t - 2,7

Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну — функцією

у = f(x) : х — аргумент, у — функція

у = F(х): х — аргумент, у — функція

z = g(t) : t — аргумент, z — функція

х = ф(t) : t — аргумент, х — функція

Усі можливі значення аргументу утворюють область визначення функції, а відповідні значення залежної змінної — область значень функції

у = х 2 - 2x + 3:

область визначення — будь-які числа, область значень — будь-які числа у = |x|:

область визначення — будь-які числа, область значень — будь-які невід’ємні числа

7klas_1.files/image537.jpg

ФУНКЦІЇ

Функція вважається заданою, якщо:

1) задано область її визначення;

2) указано правило, згідно з яким для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення залежної змінної (функції).

Способи задания функції:

1) аналітичний;

2) описовий;

3) табличний;

4) графічний.

7klas_1.files/image538.jpg

7klas_1.files/image539.jpg

7klas_1.files/image540.jpg

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах + b = 0 , де х — змінна, a і b — деякі числа

4х - 2 = 0,

-12х + 48 = 0,

7х = 0

Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною

Значення

а і b

Вигляд рівняння

Розв’язання

Кількість

коренів

Приклад

a ≠ 0, b ≠ 0

aх + b= 0

ах = -b,

х= - 7klas_1.files/image137.gif

1 корінь

4х - 8 = 0,

4х = 8,

х = 2

a ≠ 0, b = 0

ах = 0

х= 0 : а, х = 0

1 корінь

5х = 0,

х = 0

а = 0, b ≠ 0

0 ∙ х + b = 0

0 ∙ х = -b

немає

коренів

0х + 7 = 0,

0х = -7,

коренів немає

a = 0,

b = 0

0 ∙ x = 0

0 ∙ х = 0

безліч

коренів

0х = 0,

безліч коренів

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням із двома змінними називається рівняння виду ax + by + c = 0, де х і у — змінні, a, b і с — деякі числа

2х - у + 6 = 0,

х + 3у - 7 = 0,

5х - 2у = 0

Гpафіком рівняння із двома змінними називається зображення на координатній площині всіх точок, координати яких задовольняють дане рівняння.

Побудова графіка рівняння із двома змінними

7klas_1.files/image541.jpg

Гpафік лінійного рівняння із двома змінними ax + by + с = 0:

✵ є прямою, якщо або а ≠ 0, або b ≠ 0;

✵ є всією площиною, якщо а = 0, b = 0 і с = 0;

✵ не містить жодної точки координатної площини, якщо а = 0, b = 0 і с ≠ 0.

Розміщення на координатній площині прямої, що є графіком лінійного рівняння з двома змінними

ах + bу + с = 0

7klas_1.files/image542.jpg

7klas_1.files/image543.jpg

7klas_1.files/image544.jpg

Розв'язком системи двох лінійних рівнянь із двома змінними називають таку пару чисел (х; у), яка одночасно є розв'язком кожного рівняння системи.

Розв'язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв'язки або встановити, що розв’язків немає.

Види розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними 7klas_1.files/image545.jpg

7klas_1.files/image546.jpg

7klas_1.files/image547.jpg

Способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними:

1) графічний;

2) підстановки;

3) додавання.

Способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

7klas_1.files/image548.jpg

7klas_1.files/image549.jpg





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити