Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

Вирази

Числові

Буквені

Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом.

Запис, в якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається виразом зі змінними.

24 : 4 + 5 або (12 - 2) ∙ 0,5

(2 + а) : 30 або х + 4 ,

Означення

Приклад

Цілий вираз — це вираз, який не містить ділення на вираз зі змінними

4а - 3b, 12х + 17, 3c -

Вираз

ОДЗ виразу

х ≠ -12

х - будь-яке число

х ≠ -7 і х ≠ 3

Означення

Приклад

Тотожність — це рівність, ліва і права частини якої є тотожно рівними виразами

10х - (6y - 3х) = 7х - 6y,

а ² - b ² = (а + b)(а - b)

Назва способу

Сутність способу

Приклад

Перетворення лівої частини рівності

Перетворити вираз у лівій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині

(a - 2b)(a + 2b)(a ² + 4b ²) = а ⁴ - 16у ²

(а - 2b)(а + 2b)(а ² + 4b ²) =

(а ² - 4b ²)(a ² + 4b ²) = а ⁴ - 16y ²

Перетворення правої частини рівності

Перетворити вираз у правій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її лівій частині

(а - 2b)(а + 2b)(а ² + 4b ²) =

а ⁴ - 16y ²

а ⁴ - 16у ² =

= (а ² - 4b ²)(а ² + 4b ²) =

= (а - 2b)(а + 2b)(а ² + 4b ²)

Перетворення обох частин рівності

Перетворити вирази в обох частинах даної рівності так, щоб вони набули одного й того самого вигляду

(а - 2b)(a + 2b)(а ² + 4b ²) = а ⁴ - 16y ²

(а - 2b)(а + 2b)(а ² + 4b ²) = (а2 - 4b ²)(a ² + 4b ²)

а ⁴ - 16у ² = (а ² - 4b ²)(a ² + 4b ²)

Різницеве

порівняння

Перевірити, чи дорівнює нулю різниця виразів у лівій і правій частинах даної рівності

(а - 2b)(а + 2)(а ² + 4b ²) = а ⁴ - 16у ²

(а - 2b)(а + 2b)(а ² + 4b ²) - (а ⁴ - 16) =

(а ² - 4b ²)(а ² + 4b ²) - (а ⁴ - 16y ²) = (а ⁴ - 16у ²) - (а ⁴ - 16у ²) = 0

Будь-який натуральний степінь числа 1 дорівнює 1

1 ⁿ = 1

1 ²⁰¹⁶ = 1

Будь-який натуральний степінь числа 0 дорівнює 0

0 ⁿ = 0

0 ²⁰¹⁶ = 0

Будь-який натуральний степінь додатного числа — число додатне

а ⁿ >0, якщо а >0, n — натуральне число

4 ⁸ > 0

Парний натуральний степінь від’ємного числа — число додатне

а ⁿ > 0, якщо а < 0, n = 2k, k — натуральне число

(-4) ⁸ > 0

Непарний натуральний степінь від’ємного числа — число від’ємне

а ⁿ < 0, якщо а < 0, n = 2k - 1,

k — натуральне число

(-4) ⁹<0

Переставна властивість

а ⁿ + а ^m- = а ^m + а ⁿ

5 ² + 5 ³ = 5 ³ + 5 ²

150 = 150

а ⁿ + b ⁿ = b ⁿ + a ⁿ

5 ² + 4 ² = 4 ² + 5 ²

41 = 41

Для віднімання переставна властивість виконується не завжди

5 ² - 5 ³ ≠ 5 ³ - 5 ²

- 100 ≠ 100

5 ² - 4 ² ≠ 4 ²- 5 ²

9 ≠ -9

Сполучна властивість

(a ⁿ + a ^m ) + а ^k = а ⁿ + (а ^m + а ^k )

(5 ² + 5 ³) + 5 ⁴ = 5 ² + (5 ³ + 5 ⁴)

150 + 625 = 25 + 750

775 = 775

(а ⁿ + b ⁿ) + с ⁿ = а ⁿ + (b ⁿ + с ⁿ)

(3 ² + 4 ²) + 5 ² = 3 ² + (4 ² + 5 ²)

25 + 25 = 9 + 41

50 = 50

(а ⁿ - а ^m) - а ^k = а ^k - (а ^m + а ^k)

(5 ² - 5 ³) - 5 ⁴ = 5 ² - (5 ³ + 5 ⁴)

-100 - 625 = 25 - 750

-725 = -725

(а ⁿ - b ⁿ) - с ⁿ = а ⁿ - (b ⁿ + с ⁿ)

(3 ² - 4 ²) - 5 ² = 3 ² - (4 ² + 5 ²)

-7 - 25 = 9 - 41

- 32 = -32

Переставна властивість

a ⁿ ∙ a ^m = a ^m∙ a ⁿ

2 ² ∙ 2 ³ = 2 ³ ∙ 2 ²

32 = 32

а ⁿ ∙ b ⁿ= b ⁿ ∙ а ⁿ

2 ² ∙ 4 ² = 4 ² ∙ 2 ²

64 = 64

Для ділення переставна властивість виконується не завжди

2 ^{2 :} 2 ³ ≠ 2 ³ : 2 ²

≠ 2

2 ² : 4 ² ≠ 4 ² : 2 ²

≠ 4

Сполучна властивість

(а ⁿ ∙ а ^m) ∙ а ^k = а ⁿ ∙ (а ^m ∙ а ^k)

(2 ² ∙ 2 ³) ∙ 2 ⁴ = 2 ² ∙ (2 ³ ∙ 2 ⁴)

32 ∙ 16 = 4 ∙ 128

512 = 512

(a ⁿ ∙ b ⁿ) ∙ c ⁿ = a ⁿ ∙ (b ⁿ ∙ c ⁿ)

(3 ² ∙ 4 ²) ∙ 2 ²= З ² ∙ (4 ² ∙ 2 ²)

144 ∙ 4 = 9 ∙ 64

576 = 576

Для ділення сполучна властивість виконується не завжди

(2 ² : 2 ³) : 2 ⁴ ≠ 2 ² : (2 ³ : 2 ⁴)

: 16 ≠ 4 :

≠ 8

(3 ² : 4 ²) : 2 ² ≠ 3 ² : (4 ² : 2 ²)

: 4 ≠ 9 : 4

≠ 2

Розподільна властивість

(a ⁿ + a ^m) ∙ a ^k = a ⁿa ^k + a ^ma ^k

(2 ² + 2 ³) ∙ 2 ⁴ = 2 ² ∙ 2 ⁴ + 2 ³ ∙ 2 ⁴

12 ∙ 16 = 64 + 128

192 = 192

(а ⁿ + b ⁿ) ∙ с ⁿ = а ⁿс ⁿ + b ⁿс ⁿ

(3 ² + 4 ²) ∙ 2 ² = 3 ² ∙ 2 ² + 4 ² ∙ 2 ²

25 ∙ 4 = 36 + 64

100 = 100

(a ⁿ + a ^m) : a ^k = a ⁿ : a ^k + a ^m : a ^k,

(a ≠ 0)

(2 ²+2 ³) : 2 ⁴ = 2 ² : 2 ⁴ + 2 ³ : 2 ⁴

12 : 16 = +

=

(a ⁿ + b ⁿ) : с ⁿ = а ⁿ : c ⁿ + b ⁿ : c ⁿ,

(c ≠ 0)

(3 ² + 4 ²) : 2 ² = 3 ² : 2 ² + 4 ² : 2 ²

25 : 4 = + 4

6 = 6

Властивість степенів із рівними основами

а ⁿ ∙ а ^m = а ^n+m

2 ³ ∙ 2 ^{2 =} 2 ³⁺² =

= 2 ⁵=

= 32

а ⁿ : а ^m = а ^n-n ,

(n > m, a ≠ 0)

2 ³ : 2 ² =

= 2 ^3-2 =

= 21 =

= 2

Властивість степенів із різними основами і рівними показниками

а ⁿ ∙ b ⁿ = (аb) ⁿ

3 ² ∙ 4 ²= (3 ∙ 4) ²=

= 12 ²=

= 144

= ( ) ⁿ , (b ≠ 0)

6 ² : 3 ² = (6 : 3) ²=

= 2 ² =

= 4

Дія третього ступеня зі степенями

(a ^m) ⁿ = а ^mn

(3 ²) ³ = 3 ² ∙ 3=

= 3 ⁶ = 729

Одночлен

Стандартний вигляд одночлена

Коефіцієнт

одночлена

Степінь

одночлена

x

x

1

1

3,5х ³y

3,5х ³у

3,5

3 +1 = 4

-x ⁵y ⁸ax

-ax ⁶y ⁸

-1

1 + 8 + 6 =15

6x ⁵y ⁸∙ 0,5y ²

3х ⁵y ¹⁰

3

5 + 10 = 15

5

5

5

0

Переставна властивість

12х ⁵ + у ² = у ² + 12х ⁵

12х ⁵ - у ² ≠ у ² -12х ⁵

Сполучна властивість

(12х ⁵ + у2) + 6х = 12х ⁵ + (у ² + 6х)

(12х ⁵ - у ²) - 6х ≠ 12х ⁵ - (y ² - 6х)

(12х ⁵ - у ²) - 6х = 12х ⁵ - (у ² + 6х)

Переставна властивість

12х ⁵ ∙ у ² = у ² ∙ 12х ⁵

12х ⁵ : у ² ≠ у ² : 12х ⁵

Сполучна властивість

(12х ⁵ ∙ у ²) ∙ 6х = 12х ⁵ ∙ (у ² ∙ 6х)

(12х ⁵ : у2) : 6х ≠ 12х ⁵ : (y ² : 6х)

(12х ⁵ : у ²) : 6х = 12х ⁵ : (у ² ∙ 6х)

Правило

Приклад

Щоб піднести одночлен до n-го степеня, треба піднести до цього степеня кожний множник даного одночлена та обчислити коефіцієнт отриманого одночлена

(0,5a ⁷c ²) ²=

= 0,52a ⁷∙ 2c ² ∙ 2 =

= 0,25а ¹⁴с ⁴

Многочлен

Стандартний вигляд

многочлена

Вільний член

многочлена

Старший

Член многочлена

Степінь

многочлена

x ² - 7x - 2

Х ² - 7Х - 2

-2

x ²

2

-х + 3 + 2х

х + 3

3

x

1

5х ² - 1 + 5у - 3

5х ² + 5у - 4

-4

5х ²

2

Переставна властивість

0,3х + (y ² + 2) = (у ² + 2) + 0,Зх

(12 - х) + (у ² + 2) = (у ² + 2) + (12 - х)

0,3х -(у ² + 2) ≠ (у ² + 2) - 0,3х

(12- х) + (y ² + 2) = (у ² + 2) + (12 - х)

Сполучна властивість

(0,3х + (у ² + 2))+ у ²=

= 0,3х + ((у ² + 2) + у ²)

((х + 3) + (у ² + 2)) + (1 - х) =

(x + 3) + ((y ² + 2) + (1 - х))

(0,3х - (у ² + 2)) - у ²=

= 0,3х -((у ² + 2) + y ²)

((х + 3) - (у ² + 2)) - (1 - х)=

= (х + 3) - ((1 - х) + (y ² + 2))

одночлен

означає скласти вираз, що є сумою добутків

кожного

члена

многочлена

і даного одночлена

та спростити його, якщо це можливо

Помножити

многочлен

на

многочлен

на кожен член іншого многочлена

Формула множення одночлена на двочлен

Формула множення двочленів

с(а + b) = са + сb

(а+ b)(c + d) - ac + ad + bc + bd

12х ⁵ - (у ² + 2)=

= 12х ⁵ - у ² + 12х ⁵ ∙ 2 =

= 12х ⁵y ² + 24х ⁵

(12x ⁵ - х) ∙ (у ² + 2)=

= 12х ⁵ ∙ y ² + 12х ⁵ ∙ 2 - х ∙ у ² - х ∙ 2 =

= 12х ⁵у ² + 24х ⁵ - ху ² - 2х

Переставна властивість

12х ⁵ ∙ (у ² + 2) = (у ² + 2) ∙ 12х ⁵

(12х ⁵ - х) ∙ (у ² + 2) = (у ² + 2) ∙ (12x ⁵ - х)

Сполучна властивість

((у ² + 2) ∙ 12х ⁵) ∙ 6х =

= (у ² + 2) ∙ (12х ⁵ ∙ 6х)

((х + 3) ∙ (у ² + 2)) ∙ (1 - х)=

= (х + 3) ∙ ((у ² + 2) ∙ (1 - х))

Правило

Приклад

Щоб піднести многочлен до n-го степеня, треба помножити цей многочлен на себе п разів

(а + b) ² = (а + b)(а + b)

(а + b) ³ = (а + b)(а + b)(а + b)

Формула

Приклад

Квадрат двочлена:

(а + b) ² = а ² + 2аb + b ²

(а - b) ²= а ² - 2аb + b ²

(2а + 3b) ²=

= (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ 3b + (3b) ² =

= 4а ² + 12аb + 9b ²

(5 - 6bс) ² =

= 5 ² - 2 ∙ 5 ∙ 6bс + (6bс) ² =

= 25 - 60bс + 36b ²с ²

Різниця квадратів:

а ² - b ² = (а + b)(а - b)

4х ² - 9у ² = (2х + 3у)(2х - 3у)

Сума і різниця кубів:

а ³ + b ³ = (а+ b)(а ² - ab + b ²)

а ³ - b ³ = (а - b)(a ² + ab + b ²)

125а ³b ³ + с ³ =

= (5аb + с) ∙ (25а ²b ² - 5аbс + с ²)

8х ³ - 27у ³ =

= (2х - 3у) ∙ (4х ² + 6ху + 9y ²)

Спосіб

Приклад

Винесення спільного множника за дужки

6х ²y ³ - 24х ⁴у ³ + 18х ³у ² =

= 6х ²у ²(у - 4х ²у + 3х)

Застосування формул скороченого множення

64х ⁶y ⁶ - х ³y ³=

= х ³у ³(4ху - 1)(16x ²y ² + 4ху + 1)

Спосіб групування

2х ²у ² - 3ху + 4х ³у ³ - 6х ²y ² =

= ху((2ху - 3) + 2ху(2ху - 3)) =

= ху(2ху -3)(1 + 2ху)

Означення

Приклад

Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називають функцією

у = f(x), наприклад, у = х ² + 5

у = F(х), наприклад, у = 2 - 5х

2 = g(t), наприклад, z = 3t ³ + 1

x = ф(t), наприклад, х = 4,1 t - 2,7

Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну — функцією

у = f(x) : х — аргумент, у — функція

у = F(х): х — аргумент, у — функція

z = g(t) : t — аргумент, z — функція

х = ф(t) : t — аргумент, х — функція

Усі можливі значення аргументу утворюють область визначення функції, а відповідні значення залежної змінної — область значень функції

у = х ² - 2x + 3:

область визначення — будь-які числа, область значень — будь-які числа у = |x|:

область визначення — будь-які числа, область значень — будь-які невід’ємні числа

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах + b = 0 , де х — змінна, a і b — деякі числа

4х - 2 = 0,

-12х + 48 = 0,

7х = 0

Значення

а і b

Вигляд рівняння

Розв’язання

Кількість

коренів

Приклад

a ≠ 0, b ≠ 0

aх + b= 0

ах = -b,

х= -

1 корінь

4х - 8 = 0,

4х = 8,

х = 2

a ≠ 0, b = 0

ах = 0

х= 0 : а, х = 0

1 корінь

5х = 0,

х = 0

а = 0, b ≠ 0

0 ∙ х + b = 0

0 ∙ х = -b

немає

коренів

0х + 7 = 0,

0х = -7,

коренів немає

a = 0,

b = 0

0 ∙ x = 0

0 ∙ х = 0

безліч

коренів

0х = 0,

безліч коренів

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням із двома змінними називається рівняння виду ax + by + c = 0, де х і у — змінні, a, b і с — деякі числа

2х - у + 6 = 0,

х + 3у - 7 = 0,

5х - 2у = 0