Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ II ОДНОЧЛЕНИ

§5. СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

Подивіться на малюнки 3 і 4. Ви бачите квадрат зі стороною а (мал. 3) і куб з ребром а (мал. 4). Ви знаєте, як знайти площу квадрата й об’єм куба та як записати результат за допомогою відповідних виразів: а2 і а3.

Узагалі, добуток n рівних множників, кожний з яких дорівнює а, можна записати за допомогою степеня:

7klas_1.files/image166.jpg

7klas_1.files/image167.jpg

Мал. 3

У виразі аn число и називають основою степеня. Воно показує, яке число множили саме на себе. Число n називають показником степеня. Він показує, скільки рівних множників було в добутку. Оскільки для лічби множників використовують натуральні числа, то виразу an дали назву «степінь з натуральним показником». Пізніше ви дізнаєтеся про степені з іншими показниками.

7klas_1.files/image168.jpg

Мал. 4

Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за 1, називається добуток л множників, кожний із яких дорівнює а.

7klas_1.files/image169.jpg

Вираз аn читають так: «а в степені n» або «енний степінь числа а».

Задача 1. Запишіть вираз 27 ∙ 3 ∙ 9 у вигляді степеня з основою:

1)3; 2) 9; 3)27.

Розв’язання.

1)27 ∙ 3 ∙ 9 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 36;

2) 27 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 93;

? Чому в означення степеня з натуральним показником не включено показник 1? Тому що немає сенсу говорити про добуток, у якому лише один множник. Степінь із показником 1 визначають окремо.

Запам’ятайте!

Степенем числа а з показником 1 називається саме число а.

а1

Якщо основа степеня дорівнює 1, то значення степеня за будь-якого натурального n дорівнює 1:

1n = 1.

Якщо основа степеня дорівнює 0, то значення степеня за будь-якого натурального n дорівнює 0:

0n = 0.

Задача 2. Розв’яжіть рівняння: (х + 5)2=0.

Розв'язання. (х + 5)2=0, (х + 5) ∙ (х + 5) = 0, х + 5 = 0, х=-5.

Зверніть увагу:

якщо значення степеня з натуральним показником дорівнює 0, то основа степеня дорівнює 0. Тобто, якщо аn = 0, то а = 0.

Задача 3. Чи є рівними значення степенів:

1)54 I (-5)4; 2) 53 і (-5)3?

Розв’язання. Обчислимо значення даних виразів:

1) 54 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625, (-5)4= (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625;

Отже, 54=(-5)4.

2) 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125, (-5)3= (-5) ∙ (-5) ∙ (-5)= 125.

Отже, 53 ≠ (-5)3.

Знак степеня залежить від знака основи степеня та від парності чи непарності показника степеня. Як ми побачили в задачі 3, добуток парної кількості від’ємних чисел є додатним, а добуток непарної кількості від’ємних чисел є від’ємним. Добуток будь-якої ковкості (як парної, так і непарної) додатних чисел є додатним.

Зверніть увагу:

1) будь-який натуральний степінь додатного числа число додатне:

аn > 0, якщо а > 0, n — натуральне число;

2) парний натуральний степінь від’ємного числа число додатне:

аn > 0, якщо а < 0, n = 2k, k — натуральне число;

3) непарний натуральний степінь від’ємного числа число від’ємне:

аn < 0, якщо а < 0, n = 2k - 1, k — натуральне число.

Дію, за допомогою якої добуток рівних множників згортають у степінь, називають піднесенням до степеня. Це — п’ята арифметична дія, яка є дією третього ступеня. Під час обчислення значень виразів її виконують найпершою.

Задача 4. Обчисліть значення виразу 5х2 + 10 для х = -3.

Розв'язання. Підставимо у вираз 5х2 + 10 значення змінної -3:

2 + 10 =

= 5 ∙ (-3)2+ 10 =

= 5 ∙ 9 + 10 =

= 55.

Зверніть увагу:

у виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, а потім — множення, ділення, додавання, віднімання.

Дізнайтеся більше

Уперше натуральні степені чисел охарактеризував Діофант Александрійський. У своїй знаменитій «Арифметиці» він описує перші натуральні степені чисел так: «Серед чисел є квадрати, що отримані множенням числа самого на себе, ці числа називаються стороною квадрата; куби, що отримані множенням квадратів на їх сторону; квадрато-квадрати — від множення квадратів самих на себе; квадрато-куби, що отримані множенням квадрата на куб його сторони; кубо-куби — від множення кубів самих на себе».

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що таке степінь числа; основа степеня; показник степеня?

2. Що означає піднести число а до степеня n?

3. Чому дорівнює а в степені 1?

4. Чому дорівнює 1 в степені n?

5. Чому дорівнює 0 в степені n?

6. Який знак парного степеня додатного числа; від'ємного числа?

7. Який знак непарного степеня додатного числа; від'ємного числа?

8. Який порядок виконання дій у виразі, що містить степені?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

170. Чи правильно, що вираз аn — це: 1) добуток чисел а і n; 2) а-ий степінь числа n; 3) n-ий степінь числа а?

171. Чи правильно, що у виразі аn число а показує: 1) скільки рівних множників було в добутку; 2) яке число множили саме на себе?

Як називається число а?

172. Чи правильно, що у виразі аn число ге показує: 1) яке число множили саме на себе; 2) скільки рівних множників було в добутку?

Як називається число n?

173. Прочитайте вираз:

1)22;

2) (-10)3;

3)1,210;

4) (7klas_1.files/image013.gif)4;

5)(-5)5;

6)02

Назвіть основу і показник степеня. Що вони показують?

174. Скільки разів взято множником число 0,5, якщо отримали степінь:

1) 0,52; 2) 0,55; 3) 0,5n; 4) 0,5m?

175. Запишіть у вигляді степеня:

1)2 ∙ 2 ∙ 2;

2) (-7) ∙ (-7) ∙ (-7) ∙ (-7) ∙ (-7);

3) (-1,5) ∙ (-1,5) ∙ (-1,5) ∙ (-1.5).

176. Запишіть у вигляді добутку:

1) (-15)5;

2) 104;

3) (-4)6.

177. Якими даними треба доповнити порожні клітинки таблиці 4?

Таблиця 4

Степінь

22

78

(-2,5)3

44

Основа степеня

-5

0

0,9

1

7klas_1.files/image170.gif

-9

Показник степеня

6

3

10

2

14

3

178. Ми є правильною рівність: 1) 1n = -1; 2) 0n = n; 3) 0n = 0; 4) 1n = 1?

179. Обчисліть: 1) 06; 2) 015; 3) 19; 4) 1100.

180. Чи правильно, що для від’ємного числа а:

1) аn — від’ємне число;

2) аn — від'ємне число, якщо n — парне натуральне число;

3) аn — від'ємне число, якщо n — непарне натуральне число;

4) аn — додатне число;

5) аn — додатне число, якщо n — непарне натуральне число;

6) аn — додатне число, якщо n — парне натуральне число?

181.Чи правильно, що у виразах, які містять степені, спочатку виконують: 1) додавання; 2) віднімання; 3) множення; 4) ділення; 5) піднесення до степеня?

182. Запишіть у вигляді степеня:

1) (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n) ∙ (-n);

2) - 7klas_1.files/image137.gif7klas_1.files/image171.gif7klas_1.files/image172.gif;

3) 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а.

183. Обчисліть:

1)26; 6) (-2)3; 11) (17klas_1.files/image016.gif)2;

2) (-1,1)2; 7) (-3)3; 12) (-7klas_1.files/image006.gif)4 .

3)(-4)2; 8)33;

4)0,14; 9)(-0,2)6;

5) 0,53; 10) (-5)3;

184. Обчисліть:

1) 0,43;

2) (-6)4;

3) (-25)1;

4) (-0,1)5;

5) -(17klas_1.files/image006.gif)2;

6) (-7klas_1.files/image006.gif)4.

185. Знайдіть а2, якщо а дорівнює: 1) 10; 2) -0,1; 3) -4; 4) -7klas_1.files/image130.gif.

186. Знайдіть m3, якщо m дорівнює: 1) 10; 2) -0,1; 3) -4; 4) 7klas_1.files/image130.gif.

187. Знайдіть:

1) суму квадратів чисел 5, -2 і -4;

2) різницю кубів чисел -10 і 5;

3) суму квадрата числа 6 і четвертого степеня числа -3.

188. Знайдіть:

1) суму квадратів чисел -1, 6 і -3;

2) квадрат суми чисел -1, 6 і -3;

3) різницю кубів чисел 5 і -7;

4) куб різниці чисел 5 і -7.

189. Запишіть у вигляді степеня число: 1)4; 2) 9; 3) 16; 4) 5. Скільки розв’язків має задача?

190. Запишіть у вигляді степеня число: 1) 100; 2) 49; 3) 64; 4) 2. Скільки розв'язків має задача?

191. Обчисліть:

1) 03; 3) 071; 5) 13 + 022;

2) 112; 4)-1111; 6)05 - (-1)9.

192. Розв'яжіть рівняння:

1) х5 = 0; 3)(-х)2=0; 5) (6 + 5х)26= 0;

2) (х + 1)3 = 0; 4) (8 - х)9 = 0; 6) (4х + 20)111 = 0.

193. Розв'яжіть рівняння:

1) х8 = 0;

2)(15 + х)13 = 0;

3)(9 - 6х)2 = 0;

4)(0,1х + 8)17 = 0.

194. Додатним чи від’ємним є значення степеня:

1)(-8)8;

2)107;

3) (7klas_1.files/image130.gif)7;

4) (-3,6)5;

5) (-1)9;

6) (-7klas_1.files/image173.gif)6?

195. Поставте знак <, >, = між виразами:

1) 123 і 0; 4)123 і (-1)32; 7) (-2)6 і 26;

2) (-2)5 і (-5)2; 5) 231 і 321; 8) -26 і 26; 10) 0,53 і (7klas_1.files/image018.gif)3 ;

3) (-7,2)5 і 03; 6) 80 і 34; 9) -26 і (-2)6;

11) -0,26 і (-0,2) ∙ (-0,2) ∙ (-0,2) ∙ (-0,2) ∙ (-0,2) ∙ (-0,2).

196. Порівняйте значення виразів:

1) (-4)4 і 44; 3)(-1)5 і 15; 5) (-1)6 і 16;

2) (-4)3 і 43; 4) 17 і 19; 6) 03 і 011.

197. Обчисліть:

1)111 ∙ (-1)11; 3) -(-3)4 + 34+ 103 ∙ 16;

2)01 ∙ (-4)2 : (7klas_1.files/image018.gif)4; 4) (-1)3 ∙ (7klas_1.files/image004.gif)2 ∙ 120.

198. Обчисліть:

1) 343 ∙ 012; 3) -(-1)3 + 52 - 24;

2)-(-2)5 - 25 + 13 ∙ 31; 4) (-16)3 ∙ (7klas_1.files/image016.gif)2 ∙ 04

199. Обчисліть:

1) (-6)3+(-62) ∙ 3; 3) -6 + 6 ∙ З2;

2) (-63 + 62) ∙ 3; 4) -6 + (-6) ∙ 32.

200. Обчисліть:

1) (-10)3+ (-12); 3)(-12 + 82) : (-2);

2) ((-5)3 + 52) : 10; 4) (-12 + 8)2 ∙ (-2).

201. Розв'яжіть рівняння:

1)2 ∙ 32 - х = 25;

2)4х = 82;

3)34 + х = (-9)2

202. Запишіть у вигляді степеня з основою 5:

1) 25 ∙ 5;

2) 5 ∙ 25 ∙ 125;

3) 25 ∙ 25 ∙ 125 ∙ 125 ∙ 125 ∙ 25.

203. Запишіть у вигляді степеня з основою 2:

1)8 ∙ 4;

2)2 ∙ 4 ∙ 16;

3)32 ∙ 2 ∙ 64.

204. Запишіть вираз 4 ∙ 64 ∙ 16 у вигляді степеня з основою:

1)2; 2)4; 3)16.

205. Запишіть вираз 2 ∙ 8 ∙ 16 у вигляді степеня з основою:

1)2; 2)4; 3)16.

206. Знайдіть а4, якщо а дорівнює: 1) -2; 2) -0,3; 3) 7klas_1.files/image018.gif .

207. Знайдіть m5, якщо m дорівнює: 1) 0,2; 2) -3; 3) -7klas_1.files/image004.gif.

208. Знайдіть значення виразу (а + b)2, якщо:

1) а = 2, b = -2,1;

2) а = 7klas_1.files/image018.gif, b = -17klas_1.files/image018.gif;

3) а = 7klas_1.files/image131.gif, b = 2,2.

209. Знайдіть значення виразу а2 + b2, якщо:

1) а = 2, b = -2,1;

2) а =-7klas_1.files/image006.gif , b = -17klas_1.files/image004.gif;

3) а = 1, b = -2,2

210. Знайдіть різницю куба суми квадратів чисел -2 і 3 та квадрата суми кубів цих чисел.

211. Знайдіть число, квадрат якого дорівнює:

1)0,16;

2)0,0025;

3) 7klas_1.files/image174.gif;

4) 17klas_1.files/image175.gif.

212. Куб якого числа дорівнює:

1) -8;

2) 0,125;

3)-7klas_1.files/image176.gif

213. Обчисліть:

1) -3 ∙ (-5)3 + 12 ∙ (-14)2 - 44 ∙ 32;

7klas_1.files/image177.jpg

3) -23 ∙ (-5)2 ∙ (-22) ∙ (-5)3 ∙ (64 - 82)7.

214. Обчисліть:

1) 0,52 + (-0,1 )2 ∙ 63; 3) (-0,4)2 + 0,32 ∙ (-1 )3 + З2;

2) (0,52 + (-0,1 )2) - 63; 4) ((-0,4)2 + 0,32) ∙ ((-1 )3 + 32).

215. Число 9065 можна записати як суму розрядних доданків: 9065 = 9 ∙ 103 + 0 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 5.

Запишіть у такому вигляді число:

1)253608; 2) 22000.

216. Обчисліть:

1) 104 + 2 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 5;

2) 5 ∙ 105 + 6 ∙ 103 + 6 ∙ 102 + 5.

217. Знайдіть суму чисел:

1) 2 ∙ 105 + 2 ∙ 104 + 2 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 2 і 5 ∙ 105 + 5 ∙ 104 + 5 ∙ 102 + 5 ∙ 101+ 5;

2) 9 ∙ 105 + 2 ∙ 104 + 4 ∙ 103 + 6 ∙ 101 і 5 ∙ 106 + 8 ∙ 103 + 9 ∙ 102 + 3.

218. Визначте знак виразу:

1)-(-4)15 ∙ (-7klas_1.files/image018.gif)6;

2) -95 ∙ (-7klas_1.files/image112.gif)6;

3) (-0,01)23 ∙(-1)8 ∙ 5665

219. Запишіть у порядку зростання числа: (-0,2)2, (-0,2)3, (7klas_1.files/image130.gif)1, -(-0,2)2 і -(-0,2)3

220. Чи може а2 бути меншим, ніж а? Наведіть приклад.

221. За якого натурального значення n виконується нерівність:

1)(-6)2 < 3n < (7klas_1.files/image178.gif)2;

2) 03≤ 0,5n ≤ (7klas_1.files/image018.gif)2?

222. Розв'яжіть рівняння:

1) (1,2 - 3х)4 = 0; 5) х8 ∙ (15 - х)8 = 0;

2)(2 - х)3 = 0; 6) (7,2 + 8х)5 ∙ (7klas_1.files/image017.gif - 2х)2 = 0;

3) 23 ∙ х3 ∙ (-х)3=0; 7) |x - 5| ∙ (х - 6)99 = 0;

4) (1 - х)6 ∙ (9 + х)12 = 0; 8) | х + 1|3 ∙ (х - 10)10 = 0.

223. Запишіть у вигляді степеня вираз:

1) 0,01 ∙ 7klas_1.files/image164.gif7klas_1.files/image179.gif ∙ 10;

2)0,125 ∙ 7klas_1.files/image007.gif ∙ 0,5 ∙ 0,25;

3) 0,09 ∙ 0,09 ∙ 0,09 ∙ (-0,3) ∙ (-0,3) ∙ (-0,3);

4)4 ∙ 27 ∙ 9 ∙ 64 ∙ 3 ∙ 16;

5)-7klas_1.files/image180.gif ∙ (-0,4) ∙ (-0,064) ∙ 7klas_1.files/image181.gif.

224. За якого значення а вираз |-а|n для всіх натуральних значень n є:

1) додатним; 2) недодатним; 3) невід'ємним?

225. За якого значення a вираз (|-а| + a)n для всіх натуральних значень n дорівнює:

1) нулю; 2) одиниці?

226. Визначте знак виразу:

1) а3 ∙ (-а)4, якщо а < 0;

2) а2+ 32;

3) (-а)7 ∙ (-а)8, якщо а > 0.

227. Знайдіть значення виразу (а2 - 1) ∙ (а3 - 1) ∙ (а4 - 1 ) ∙ … ∙ (а100 - 1), якщо:

1) а = -1;

2) а = 1;

3) а = 0.

228. Знайдіть значення виразу (а2 - 1) ∙ (а2 - 2) ∙ (а2 - 3) ∙… ∙ (а2 - 100), якщо:

1) а = 8; 2) а = -6.

229. Спростіть вираз:

1) 11 + (-1)2 + 13 + (-1)4+…+119 + (-1)20;

2)(-1)1 + (-1)2 + …+(-1)20.

230. Знайдіть найменше значення виразу:

1)а2 - 4;

2) (а + 3)6 + 3;

3) |(-а)3| +98.

231. Розв’яжіть рівняння:

1) (36 - х) ∙ (43 - 82)=0;

2) (27klas_1.files/image018.gif)3 ∙ (25 - x) = 7klas_1.files/image182.gif;

7klas_1.files/image183.jpg

232. Розв’яжіть рівняння:

1) (3 - х)2 + (х - 2)6 = 0; 3) (2 - х)2 + |х - 2| = 0;

2) (100 + х)100 + (х + 102)10 = 0; 4) (5 - х)4 + (х + 5)4 = 0

233. Квадрат числа складається з цифр 6,5 і 2. Знайдіть це число.

234. Доведіть: 1) 1110 - 1 ділиться на 10; 2) 1010 + 5 ділиться на 3.

235. Доведіть: 1) 415 - 1 ділиться на 10; 2) 105 + 17 ділиться на 9.

236. Доведіть, що вираз — 7klas_1.files/image184.gif є натуральним числом для будь-якого натурального n.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

237. Три кімнати мають форму квадратів зі сторонами відповідно а, b і с. Знайдіть суму площ чотирьох кімнат, якщо площа найбільшої з них дорівнює сумі площ трьох інших.

238. Дванадцяткова система числення була створена ще стародавніми шумерійцями (5 тис. до н. е.). Елементом такої системи нині може служити лічба дюжинами. Перший, другий і третій степені числа 12 мають власні назви: 1 дюжина = 12 штук, 1 грос = 12 дюжин, 1 маса = 12 гросів. Скільки штук: 1) в 1 масі; 2) в 1 гросі?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

239. Знайдіть значення виразу:

1) |-280| + 15756 : 26 - 906;

2) 8585 : 101 - |-17| ∙ 5.

240. Обчисліть:

1) 4% числа 8, 25;

2) 15 % числа 5,24.

241. Пристань А розміщена нижче за течією річки від пристані В на 70 км. Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 30 км/год, а швидкість течії річки — 5 км/год. Знайдіть час, за який човен подолає: 1) шлях від А до В; 2) шлях від В до А.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити