Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ II ОДНОЧЛЕНИ

§6. ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Ви знаєте, що додавання і віднімання — це дії першого ступеня, множення і ділення — дії другого ступеня, а піднесення до степеня — дія третього ступеня. Зі степенями можна виконувати всі ці дії. Наприклад:

33 + 32 = 27 + 9 = 36,

33 - 32 = 27 - 9 = 18,

33 ∙ 32 = 27 ∙ 9 = 243,

33 : 32 = 27 : 9 = 3,

(33)2 = 272 = 729.

Проте безпосередні обчислення не завжди легко виконувати, наприклад, якщо основа і показник кожного зі степенів — великі числа. Якщо ж степені задано в буквеному вигляді, тоді безпосередні обчислення взагалі незастосовні.

Тут дії зі степенями виконують на основі властивостей степенів. При цьому розрізняють два випадки: 1) рівні основи;

2) різні основи.

1. Дії першого ступеня зі степенями

Для степенів як з рівними, так і з різними основами виконуються переставний і сполучний закони додавання.

2. Дії другого ступеня зі степенями

Для степенів як з рівними, так і з різними основами виконуються переставний і сполучний закони множення, а також розподільний закон множення відносно додавання.

Інші властивості дій другого ступеня зі степенями дозволяють згортати в один степінь добуток (або частку) двох степенів. Розглянемо спочатку степені з рівними основами.

Запам’ятайте!

Теорема 1 (основна властивість степенів).

Добуток двох степенів з рівними основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює сумі показників множників:

an ∙ am = an+m

Дано: аn, аm, де а — будь-яке число, n і m — натуральні числа.

Д о в е с т и: an ∙ am = аn+m.

Доведення. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо кожний степінь у добуток, а потім згорнемо отриманий результат у степінь:

7klas_1.files/image185.jpg

Отже, аn ∙ am = аn+m.

? Чи можна застосувати основну властивість степенів до множення кількох степенів з однією основою? Так.

Наприклад:

аn ∙ аn ∙ аk = (аn ∙ аm) ∙ аk = аn+∙ аk = аn+m+k.

Запам’ятайте!

Теорема 2 (властивість частки степенів із рівними основами).

Частка двох степенів з рівними основами, відмінними від нуля, дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює різниці показників діленого і дільника:

аn : аm = аn-(n>m).

Д а н о: аn, аm, де а ≠ 0, n і m — натуральні числа, n > m.

Д о в е с т и: аn : am = аn-m.

Доведення. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо кожний степінь у добуток:

7klas_1.files/image186.jpg

Оскільки n > m і для a ≠ 0 7klas_1.files/image187.gif = 1,то в отриманому виразі можна виділити m множників 7klas_1.files/image187.gif, що дорівнюють 1, і n – m множників, що дорівнюють а:

7klas_1.files/image188.jpg

За означенням степеня:

7klas_1.files/image189.jpg

Отже, аn : аm = аn-m.

? Чому в теоремі 2 на показники степенів накладено обмеження n > m? Тому що для n ≤ m у частці дістанемо степінь, показник якого не є натуральним числом.

Зверніть увагу:

дії другого ступеня зі степенями, що мають рівні основи, зводяться до відповідних дій першого ступеня з їх показниками:

—  множення степенів — до додавання їх показників;

—  ділення степенів — до віднімання їх показників.

Запам’ятайте!

Теорема 3 (властивість добутку степенів із різними основами і рівними показниками).

Добуток n-их степенів чисел а і b дорівнює n-му степеню добутку аb:

а∙ bn = (аb)n.

Д а н о: an, bn, а і b — будь-які числа, n — натуральне число.

Д о в е с т и: аn ∙ bn = (ab)n.

Д о в е д е н н я. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо колений степінь у добуток, перегрупуємо множники, а потім згорнемо отриманий результат у степінь:

7klas_1.files/image190.jpg

Отже, аn ∙ bn = (ab)n.

Сформулюємо без доведення властивість степеня добутку двох чисел: n-й степінь добутку чисел а і b дорівнює добутку їх n-их степенів. Тобто для будь-яких чисел а i b:

(ab)n = an ∙ bn.

Розглянемо властивість ділення степенів.

Теорема 4 (властивість частки степенів із різними основами і рівними показниками).

Частка n-их степенів чисел а і b (b ≠ 0) дорівнює n-му степеню частки 7klas_1.files/image137.gif:

7klas_1.files/image191.gif = (7klas_1.files/image137.gif)n

Д а н о: аn, bn, а — будь-яке число, b ≠ 0, n — натуральне число.

Д о в е с т и:

7klas_1.files/image191.gif = (7klas_1.files/image137.gif)n.

Д о в е д е н н я. Спираючись на означення степеня, розгорнемо в добуток степені, що є відповідно діленим і дільником:

7klas_1.files/image192.jpg

Перегрупуємо компоненти отриманого виразу і застосуємо означення степеня:

7klas_1.files/image193.jpg

Отже,

7klas_1.files/image191.gif = (7klas_1.files/image137.gif)n.

Сформулюємо без доведення властивість степеня чистки двох чисел: n-й степінь частки чисел а і b (b ≠ 0) дорівнює частці їх n-их степенів. Тобто для будь-якого числа а і b ≠ 0:

 (7klas_1.files/image137.gif)7klas_1.files/image191.gif

7klas_1.files/image194.jpg

або (а : b)n = аn : bn.

3. Дії третього ступеня зі степенями

Ви знаєте, що до дій третього ступеня належить дія піднесення до степеня. Степені також можна підносити до степеня з натуральним показником. Розглянемо властивість такої дії.

Запам’ятайте!

Теорема 5 (властивість піднесення степеня до степеня).

Для степеня з показником m його n-й степінь дорівнює степеню з тією ж основою і показником mn:

m)n = аmn

Д а н о: аm , (аm)n , де m і n — натуральні числа.

Д о в е с т и: (аm)n = аmn.

Доведення. Скористаємось означенням та основною властивістю степеня. Тоді дістанемо:

7klas_1.files/image195.jpg

Отже, (аm)n = аmn.

У виразі (аm)n показники m і n називатимемо відповідно внутрішнім і зовнішнім показниками.

Зверніть увагу:

Дія третього ступеня зі степенем зводиться до відповідної дії другого ступеня із внутрішнім і зовнішнім показниками:

піднесення степеня до степеня — до множення двох показників.

Дізнайтеся більше

Михайло Пилипович Кравчук (1892-1942) — український математик, академік АН УРСР (з 1929), доктор фізико-математичних наук (з 1924), професор Київського Політехнічного інституту. Народився в селі Човницях на Волині в сім'ї землеміра.

М. П. Кравчук був учителем багатьох видатних людей минулого століття: Архипа Люльки — конструктора реактивних авіадвигунів, Сергія Корольова — конструктора космічних кораблів, академіка Володимира Челомея. Методи М . П. Кравчука були використані в США, Японії та інших країнах для моделювання кібернетичної техніки, а також для створення першого у світі комп'ютера М. П. Кравчук був співавтором першого тритомного словника української математичної термінології.

7klas_1.files/image196.jpg

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Які дії зі степенями можна виконувати?

2. Які закони справджуються для дій зі степенями першого ступеня; другого ступеня?

3. Яка основна властивість степенів? Доведіть її.

4. Сформулюйте і доведіть властивість частки степенів з рівними основами.

5. Яка властивість добутку степенів з різними основами і рівними показниками? Доведіть її.

6. Сформулюйте і доведіть властивість частки степенів з різними основами і рівними показниками.

7. Яка властивість піднесення степеня до степеня? Доведіть її.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

242. Яка з формул є правильною:

1) bn ∙ bm = 2bnm;

2) bn ∙ bm = bn ∙ m;

3)bn ∙ bm = bn+m?

243. Назвіть показник степеня, якому дорівнює добуток степенів:

1)5∙ 52;   

2) 66 ∙ 610;

3)7 ∙ 74;

4)8∙ 82.

244. Яка з формул є правильною:

1) сn : сm = сn;

2) сn : сm = сn:m;

3) сn : сm = сn-m?

245. Назвіть показник степеня, якому дорівнює частка степенів:

1) 5: 52;

2) 610 : 66;

3) 74 : 7;

4) 8: 82.

246. Назвіть основу степеня, якому дорівнює добуток степенів:

1) 43 ∙ 23;

2) 36 ∙ 126;

3)1610 ∙ 210;

4)8∙ 82

247. Чи є правильною рівність:

1)(12 + 4)3 = 123 + 43;         3) (12 ∙ 4)= 123 + 43;

2)(12 + 4)3 = 123 - 43;           4) (12 ∙ 4)3 = 123 ∙ 43?

248. Назвіть основу степеня, якому дорівнює частка степенів:

1)43 : 23; 2) 126 : 36; 3) 1610 : 210; 4) 8: 82.

249.Чиє правильною рівність:

1) (12 - 4)3 = 123 - 43;        3) (12 : 4)= 123 - 43;

2) (12 - 4)3 = 123 : 43;        4) (12 : 4)= 12: 43?

250. Яка з формул є правильною:

1) (dn)m = dn+m;

2) (dn)m= dn-m;

3) (dn)m= dn:m ;

4) (dn)m = dnm?

251. Назвіть показник степеня, якому дорівнює степінь степеня:

1) (53)2; 2) (66)10;          3)(71)4;               4)(82)2.

252. Запишіть у вигляді степеня з основою 2:

1) 28 ∙ 23;

2) 2∙ 26 ∙ 210;

3) 2 ∙ 213 ∙ 216;

4) 22 ∙ 24 ∙ 2∙ 28 ∙ 210.

253. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1) 85∙ 8;

2) 816 ∙ 89 ∙ 820;

3) 8∙ 8∙ 84.

254. Запишіть у вигляді степеня добуток:

1) 10∙ 105;

2) 0,3 ∙ 0,32;

3) (-4,5)33 ∙ (-4,5)44 ∙ (-4,5)55;

4) -4 ∙ (- 4)9;

5) а ∙ a54 ∙ а36 ∙ а ∙ а8;

6) (-n)∙ (-n)∙ (-n)4;

7)2,1∙ 2,1∙ 27klas_1.files/image010.gif;

8) (-xy)5 ∙ (-xy)8 ∙ (-хy)32;

9) 7klas_1.files/image137.gif ∙ (7klas_1.files/image137.gif)2 ∙ (7klas_1.files/image137.gif)3b≠0;

10. (7klas_1.files/image197.gif)2 ∙ (7klas_1.files/image197.gif)102 ∙ (7klas_1.files/image197.gif)202 (b≠0).

255. Запишіть у вигляді степеня добуток:

1) 54 ∙ 5∙ 56 ;

2) 0,01 ∙ 0,019;

3) с∙ с8;

4) (-p)3 ∙ (-p)27.

5) m4 ∙ m7 ∙ m12;

6) а ∙ а67 ∙ а3 ∙ а ∙ а;

7) (-x)2∙ (-x)15∙ (-х)23;

8) 7klas_1.files/image198.gif ∙ (7klas_1.files/image198.gif)6 ∙ (7klas_1.files/image198.gif)4c≠0;

256. Запишіть у вигляді добутку степенів:

1)5m+n;

2) 10n+p;

3) 0,8n+m+1.

257. Подайте степінь а64 у вигляді добутку двох степенів, один з яких:

1) а32; 2) а62; 3) а14; 4) а30.

258. Подайте степінь mn25 у вигляді добутку двох степенів, один з яких:

1) m2; 2) m5; 3) m15; 4) m24.

259. Запишіть у вигляді степеня з основою 11:

1)1114 : 114;

2) 1110 : 116 : 111;

3) 1126 : 1113 : 1111.

260. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1) 8: 8;  

2) 816 : 8: 82;

3) 8а : 83 : 84.

261. Обчисліть:

 1) 7klas_1.files/image199.gif;

2) (0,2)14: (7klas_1.files/image130.gif)10;

3) 7klas_1.files/image200.gif.

262. Запишіть у вигляді степеня частку:

1) 7klas_1.files/image201.gif;

2) 7klas_1.files/image202.gif;

3) 7klas_1.files/image203.gif (a≠0);

4) 7klas_1.files/image204.gif (c≠0).

263.  Запишіть у вигляді частки степенів:

1) 2n-m;

2) 9n-3;

3)10010-n.

264. Запишіть у вигляді степеня з основою 0,1:

1)0,19 ∙ 0,116: 0,16;

2)7klas_1.files/image205.gif;

3)7klas_1.files/image206.gif.

265. Запишіть у вигляді степеня з основою 5:

1) 56 ∙ 59 : 53;

2)7klas_1.files/image207.gif;

3) 7klas_1.files/image208.gif.

266. Запишіть у вигляді степеня з основою 12:

1) 25 ∙ 65;

2) 37 ∙ 47;

3) 24 ∙ 24 ∙ 34.

267. Запишіть у вигляді степеня з основою 30:

1) 321 ∙ 1021;

2) 69 ∙ 59;

3)26 ∙ 3∙ 56.

268. Знайдіть *, якщо:

1) 245 = 25 ∙ (*)5;

2) 36= 6∙ (*)7;

3) 362 = 22 ∙ (*)∙ 92.

269. Знайдіть *, якщо:

1)10011 = 211 ∙ (*)11;

2) 1008 = 258 ∙ (*) 8;

3) 10034 = 234 ∙ (*)34 ∙ 534.

270. Запишіть у вигляді степеня з основою 2:

1) 128 : 68;

2) 6: 37;

3) 16: 84;

4) 7klas_1.files/image209.gif.

271. Запишіть у вигляді степеня з основою 3:

1) 1510 : 510;    2)27: 93;  3)42: 145.

272. Обчисліть:

1) (-6 ∙ 0,3) : (-6)3;

2) (4 ∙ 3): 122;

3) 7klas_1.files/image210.gif.

4) 7klas_1.files/image211.gif.

273. Обчисліть:

1) (5 ∙ 8): (8)4

2) (2 ∙ 0,25)5 : 0,255;

3) 7klas_1.files/image212.gif.

274. Запишіть у вигляді степеня:

1) (а3)2; 2) (а5)10; 3) (m4)6; 4) (сm)2.

275. Запишіть у вигляді степеня:

1)(35)10;

2)((-4)11)9;

3) ((-3,5)10)4;

4) ((-1)4)13;

7klas_1.files/image213.jpg

276. Обчисліть:

1) ((-2)2)3;

2) ((-10)2)3;

3) ((-1 )6)3.

277. Знайдіть а6, якщо а3 дорівнює:

1) 10; 2) -2; 3) -0,3; 4) 7klas_1.files/image018.gif.

278. Знайдіть n:

1) (235)36 = (235n)9;       3) (4,5)36 = (4,52)n;

2) (8)36 = (8n)6;               4) (5,09)36 = (5,09n)2.

279. Поставте знак <, >, = між виразами:

1) ((- 2)6)3 і ((- 2)5)2;       3) (- 1,7)5 і (02)2;

2) ((- 2)5)2 і ((- 2)2)5;       4) ((-1 )5)2і (-1)32.

280. Запишіть у вигляді степеня з основою 3:

1) (33)5 ∙ 3: 312;

7klas_1.files/image214.jpg

281. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1)(810): (87)10;

7klas_1.files/image215.jpg

282. Запишіть у вигляді степеня з основою 0,5:

1)0,25 - 0,125;

2)0,5 ∙ 7klas_1.files/image018.gif ∙ 7klas_1.files/image018.gif;

3)0,00625 ∙ 2 ∙ 5.

283. Запишіть у вигляді степеня з основою -2:

1) -8 ∙ 4;

2) -2 ∙ 4 ∙ 16;                

3) -32 ∙ 64.

284. Запишіть у вигляді степеня:

1) (-20)4 ∙ 203;         3) а∙ а∙ а∙...∙     а8;

4) а∙ а4∙...∙а10.

285. Подайте степінь а30 у вигляді частки двох степенів, якщо дільник дорівнює:

 1)а8;       2) а5;         3)а16;        4 )а29.

286. Знайдіть х, якщо b ≠ 0, a ≠ 0 і:

1) а12b36 = а2b1∙ х;       3) а12b36 = a22b36 : х;

2) а12b36 = а4b- х;        4) a12b36 = a100b100 : х.

287. Знайдіть х, якщо b * 0, a * 0 і:

1) а12b36 = аb ∙ х;                    3) a12b36 = х : ab;

2 )а12b36 = b30 ∙ х;                    4) a12b36 = х : b30.

288. Знайдіть значення виразу а2 ∙ b2, якщо:

1) а = 27, b = -7klas_1.files/image216.gif;  2) а = -36, b = -17klas_1.files/image020.gif.

289. Знайдіть добуток:

1)2,5 ∙ 103см і 2 ∙ 102м;       3) 5,4 ∙ 103кг і 1,5 ∙ 1010;

2) 8  ∙ 109м і 0,1 ∙ 10км;    4) 122 ∙ 108 г і 0,5 ∙ 104.

290. Знайдіть частку:

1) 6 ∙ 103м і 3 ∙ 102 см;        3) 10кг і 5 ∙ 107 г;

2) 106см і 0,1 ∙ 103 м;          4) 4,8 ∙ 106 г і 0,3 ∙ 104.

291. Знайдіть значення виразу (а ∙ b): с3, якщо:

1) а = 7, b = -6,5, с =45,5;

2) а =7klas_1.files/image108.gif , b = 67klas_1.files/image015.gif, с = 4,5.

292. Запишіть вираз у вигляді степеня:

1) (7klas_1.files/image016.gif)2  ∙ 0,25 ∙ 412;               4)  514 ∙ 0,018 ∙ 5∙ 0,018;

2) 8 ∙ 0,3∙ 85 ∙ 0,34;             5) (7klas_1.files/image217.gif)65 ∙ (27klas_1.files/image136.gif)35;

3) (7klas_1.files/image013.gif)4 ∙ (17klas_1.files/image006.gif)11;                       6) (7klas_1.files/image218.gif)642 ∙ 4,2535;

293. Винесіть за дужки 3n:

1) 38n + 3n+6;         2) 3n-2 ∙ 32n;       3)33n+5 + 3n+1.

294. Винесіть за дужки 2n:

1)25n + 2n+1;          2)2- 2n ∙ 22n;    3)25n+2 - 3 ∙ 2n+3.

295. Подайте степінь 512 у вигляді степеня з основою:

1) 56;   2) 52;       3) 53;     4)54

296. Подайте степінь 442 у вигляді степеня з основою:

1)47;    2) (-4)6;   3)16;        4)64.

297. Знайдіть m12, якщо mдорівнює:

1)10;        2)0,1; 3) 7klas_1.files/image018.gif.

298. Знайдіть с6, якщо с3 дорівнює:

1) -10;   2) 0,1;   3) -7klas_1.files/image130.gif.

299. Запишіть у вигляді степеня:

1)((22)3)4;  7klas_1.files/image219.jpg

7klas_1.files/image220.jpg  7klas_1.files/image221.jpg

300. Спростіть вираз:

1) ((2а5)2 ∙ а3)6 ∙ 0,5а2 : (4а10)3 (а ≠ 0);

2) (6а4)2 ∙ с3 ∙ а6)2 : (27а4 ∙ (4с)3) (с ≠ 0, а ≠ 0);

7klas_1.files/image222.jpg

301. Спростіть вираз:

1) (а16а4): (а10а3)2(а ≠ 0);           3) (а16 : а4)∙ (а10 : а3)2(а ≠ 0);

2) (а16 а4)3 - (а10а3)2;                  4) (а16 : а4): (а10 : а3)2(а ≠ 0).

302. Обчисліть:

1) -5 ∙ ((- 5)3): 255 - (-10)2;

2) ((- 1)3): 54 ∙ ((-50)2)2;

3) (7klas_1.files/image060.gif)4 ∙ (- 7klas_1.files/image223.gif)2;

4) - 23 ∙ (- 5)2 ∙ (- 22) ∙ (- 5)3

303. Запишіть у вигляді степеня:

1) (а8)n : (аn)6(а ≠ 0);

2) (хm)n- (xn);

3)  7klas_1.files/image224.jpg ∙ (c5n+2)2 (c ≠ 0);

4) (a2+n)n ∙ an(1-n) : (-a)2n (a ≠ 0).

304. Розв'яжіть рівняння:

1) 67(х8 ∙ (-х)8)3 = 0;            2) ((16 + 4х)2)5 = 0.

305. Розв’яжіть рівняння:

1) 53 ∙ (х3- (-х)3)= 0;         2) ((1,2 - 3х)4)6 = 0.

306. Порівняйте значення виразів:

1)((-4)3)і ((-4)5)7;              2) -98 і (-3)3;         3) 530 і 360;   4) 108 і 912.

307. Визначте знак виразу:

1) ((-а)3 ∙ (-а)5)7, якщо а < 0;

2) (-х)3 ∙ (-x ∙ у3)15, якщо х < 0, у > 0.

308. Якою цифрою закінчується число:

1) 545;      2) 1023;         3)610;        4)     111222?

309. Винесіть за дужки аn:

1) 2аn + а4n + 2;   2)а2nс + аn + 10 + аn.

310. Знайдіть знаменник дробу 7klas_1.files/image225.gifпісля скорочення.

311. Розв’яжіть рівняння:

1) (7klas_1.files/image217.gif)4 ∙ 5,2- х = 2;                         3) 81- х2 = 34- 174 ∙ 24;

2) х : 7= (7klas_1.files/image173.gif)3 ∙ (-0,25)3;                 4)-12х = 6- (7klas_1.files/image112.gif)5 ∙ 0,755.

312. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х = (-1,6): (0,8: 0,54);              3) 48 = (36: 97) ∙ х2;

2) 0,5: (7klas_1.files/image016.gif)= 32х;                             4) 0,125 ∙ 7klas_1.files/image226.gifх = (27klas_1.files/image007.gif)3: 173.

313. Знайдіть значення виразу

((а1)100) - 1) ∙ ((а2)50) - 1) ∙ ((а4)26) - 1) ∙ ((а5)20) - 1) ∙ ((а10)10) - 1) ∙ ((а20)50) - 1) ∙ ((а25)4) - 1) ∙ ((а50)2) -1) ∙ ((а100)1) - 1), якщо:

1)а = -1;        2)а = 1;      3)а = 0.

314. Доведіть, що число З2016 закінчується цифрою 7.

315. Якою цифрою закінчується число:

1) 209209;     2)20138;   3) 2722; 4) 445?

316. Порівняйте значення виразів:

1) 368 і 48 ∙ 37;                    3) 1520 i 99 ∙ 521;         5)2812 і 918;

2) 616 ∙ 217 і 414 ∙ 316;           4) 4∙ 612 і 811 ∙ 38;      6) 1124 i 536.

317. Обчисліть

7klas_1.files/image227.gif

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

318. Відстань від Землі до Сонця 150 ∙ 106 км. За який час світло подолає цю відстань, якщо швидкість світла у вакуумі дорівнює 3 ∙ 108 м/с?

319. Апогей — це найбільш можлива відстань від Землі до Місяця. Вона становить близько 4 ∙ 105 км. За який час космічний апарат, що рухається зі швидкістю 2 ∙ 108 м/год, подолає цю відстань?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

320. Знайдіть значення виразу:

1) (7klas_1.files/image228.gif - 7klas_1.files/image039.gif - 7klas_1.files/image229.gif : 27klas_1.files/image018.gif) ∙ 17klas_1.files/image130.gif : (3,2 + 0,8(5,5 - 37klas_1.files/image016.gif);

2) 43,75 : 117klas_1.files/image004.gif + 127klas_1.files/image131.gif ∙ 37klas_1.files/image013.gif - 23,4 : 1,8.

321. Знайдіть різницю виразу а - с і числа р, якщо:

1) а = 93,06, с = 21,65, р = 103,06;

2) а = 340,5, с = 20,05, p = 214,5.

322. прямокутнику зі сторонами 10 дм і 20 дм кожну сторону збільшили на 50 %. Якого периметра прямокутник одержали.

323. У трикутнику зі сторонами 10 см, 8 см і 6 см кожну сторону зменшили на 20 %. На скільки сантиметрів зменшився периметр трикутника?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити