Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ

§9. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Ви знаєте, як додавати й віднімати одночлени. Розглянемо властивості дій першого ступеня з многочленами.

Додати (відняти) многочлени — означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо.

Задача 1. Знайдіть суму многочленів 15у2 - х2у + 3 і 6х3y2 + 7х2у - 25у- 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є сумою даних многочленів. Оскільки обидва многочлени є доданками, то при розкритті дужок знаки їх членів залишаються без змін:

(15у2 - х2у + 3) + (6x3y2 + 7х2у - 25у- 5) =

= 15у2 - х+ 3 + 6х3y2 + 7х2у - 25у2 - 5.

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у2- х2у + 3 + 6x3y2 + 7x2у -25у- 5 =

= -10 у2 + 6х2y - 2 + 6х3у2

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

-10у2 + 6х2у - 2 + 6х3у2 =

=6х3y2 + 6х2у - 10у- 2.

? Чи завжди сума многочленів має зміст? Так, оскільки многочлени-доданки і многочлен-сума не містять дію ділення на вираз зі змінними.

Задача 2. Знайдіть різницю многочленів 15у2 - х2y + 3 і 6х3у+ 7х2у - 25у- 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є різницею даних многочленів. Розкриваючи дужки, знаки членів многочлена-від’ємника змінимо на протилежні:

(15у2 - х2у + 3) - (6х3y2 + 7х2у - 25у2- 5) =

= 15у2 - х2у + 3 - 6х3у2- 7х2у + 25 у2 + 5 =

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у- х2у + 3 - 6х3y2 - 7x2у + 25у2 + 5 =

= 40у2 - 8х2у + 8 - 6х3y2.

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

= 40у2 - 8х2у + 8 - 6х3y2 =

= -6х3у- 8х2у + 40у2 + 8.

Зверніть увагу:

під час додавання (віднімання) двох многочленів знаки членів другого компонента дії:

— залишаємо без змін, якщо виконуємо додавання;

— змінюємо на протилежні, якщо виконуємо віднімання.

Додавання многочленів підкоряється переставному і сполучному законам. Якщо позначити многочлени літерами А, В і С, то коротко можна записати так:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С) для будь-яких А, В і С. Для віднімання многочленів ці закони не справджуються, так само, як і для віднімання одночленів.

Дізнайтеся більше

1. Щоб коротко записати число, v якого а сотень, й десятків і с одиниць, використовують запис: 7klas_1.files/image249.jpg

Його розгортають у суму розрядних доданків так:

7klas_1.files/image250.jpg = 100а + 10b + с.

Скорочений запис числа використовують у розв’язуванні задач. Нерідко й умову задачі подають за допомогою такого запису числа. Розглянемо приклади.

Задача 3. Знайдіть усі трицифрові числа 7klas_1.files/image251.jpg, для яких виконується умова 7klas_1.files/image252.jpg 

Розв’язання.

7klas_1.files/image253.jpg = 100а + 10с + с,

7klas_1.files/image254.jpg = 100с + 10а + а.

Тоді

7klas_1.files/image255.jpg = 100а + 10с + с + 100с + 10а +а = 111а + 111с . За умовою, 111а + 111с = 555. Звідси а + с = 5. Оскільки а і с — цифри, то можливі такі випадки: а = 1, с = 4; а = 3, с = 2; а = 2, с = 3; а = 4, с = 1. Отже, шуканими числами є: 144, 322,233, 411.

Задача 4. Знайдіть двоцифрове число, яке більше за суму своїх цифр на 18, а за добуток цифр — на 14.

Розв'язання. Нехай 7klas_1.files/image256.jpg — шукане число, тоді 7klas_1.files/image257.jpg = 10а + с, а + с — сума цифр шуканого числа, ас — добуток його цифр. За умовою, 10а + с - (а + с) = 18, звідси 10а + с - а - с = 18, 9а = 18, а = 2. За умовою, 10а + с - ас= 14. Ураховуючи, що а = 2, дістанемо: 20 + с - 2с = 14, с = 6 Отже, 26 — шукане число.

2. Система числення — це система запису чисел за допомогою певного набору знаків і правил їх утворення. У десятковій системі числення для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. У цій системі будь-яке ціле невід’ємне число можна подати за допомогою степенів числа 10(101 =10; 102= 100 і т.д.). Наприклад: 25 = 20 + 5 = 2 ∙ 10 + 5 = 2 - 101 + 5 = 2510. Індекс внизу вказує систему числення, у якій записане дане число. Це число також називають основою системи числення. Отже, у десяткової системи числення основа 10.

Двійкова система числення — це система, у якій для запису чисел використовуються дві цифри: 0 і 1. Основою двійкової системи числення є число 2. Для запису числа у двійковій системі його подають за допомогою степенів числа 2. Наприклад, 4 = 22 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 = 1002. Число 25 подають у вигляді такої суми чисел: 25 =16 + 8 + 1. Тобто 25 = 24 + 23 + 1 = 1 ∙ 2+ 1 ∙ 23 + 0 ∙ 2+ 0 ∙ 2+ 1. Звідси 25 = 110012.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що означає — додати многочлени?

2. Як віднімають многочлени?

3. Які закони справджуються для дій першого ступеня з многочленами?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

422. Чи правильно виконано додавання двочлена a + х і одночлена х:

1) (а + х) + х = а + 2х;      

2) (а + х) + х = а + x2?

423. Чи правильно виконано віднімання одночлена х і двочлена а + х:

1)(а + х) - х = а + х - х = а;

2)х - (а + х) = х - а + х = -а + 2х;

3)х - (а + х) = х -  а - х = -а?

424. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо суму:

1)х і х + у,           2)х і х - у;        3) 2 і х - 3.

425. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо різницю:

1)2х і 3у + 4х;       

2)2х і 6y - 2х;

3)4 і у2 + 8у.

426. Чи правильно виконано дії з многочленами:

1) (1,8 + х) + (4х - 5) = 1,8 + х + 4х - 5 = 4,2 + 5х;

2) (2х2 + х) - (х2 + х - 4) = 2х2 + х - х2 - х + 4 = х2 + 4?

427. Знайдіть суму одночлена і двочлена:

1)m i m + m2;

2) k2 і k2 - 3;

3) mn i nm +m2;

4) 10 і 5d + 0,4.

428. Знайдіть суму многочленів:

1) x2 + 3x i x2 + 2,

2) у2 + 5у i x - 5y;

3) x + 4 i -x - 6;

4) x2 + 3x i x - x2;

5) 1,25x і 0,25x + 1,5x2;

6) x і -x + у;

7) 3с і 4d - 3c;

8) cd i 3 + 2cd - c2;

9)-5d i -d + (-d2) + 1;

10) -5z і z- 5z + 8;

11) k7klas_1.files/image018.gifk + 1 і k2 - 0,5k;

12) 7k2 + 2k + 2 і -3k2 - k + 4.

429. Знайдіть суму многочленів:

1) х + у і -х + у;

2) m + 3n і -m - n;

3) х2 + у і х- у;

4) х+ y і -х- у;

5) a + 3с і а- 2а + 3;

6) 3а - 7 і -3а + 7;

7) 4k2 - k і -4k2 + k;

8) 4х+ 2х + ху і -х + 4ху.

430. Спростіть вираз:

1) (-3аb + 2a2b) + (6аb - 2а2b + 5b);

2) (0,5a + 7klas_1.files/image006.gifb) + (7klas_1.files/image018.gifa + 7klas_1.files/image004.gifb);

3) (17klas_1.files/image004.gifa2 + 6,3b2) + (7klas_1.files/image258.gifa2 – 4b2) + (-a2 - 22).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

431. Спростіть вираз:

1) (2а2+ 3а + 4b) + (2а - 3а- b);

2) (7хy2 + х2у - 5Х+ 3у+ 2) + (3ху + 3ху- х- 3у2).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

432. ЯКИМИ даними треба доповнити таблицю 7?

Таблиця 7

Одночлен

х2

y

3ах

Многочлен

а + b + 3

-5 + х2

-y + 1

а - 3ах

Сума

       

Різниця

       

433. Знайдіть різницю многочленів:

1) n i n + n2;                    5) 1,25х і 0,25х + 2,45х2;

2) k- 5 і 2k2 + 8;            6) х і -х + у;

3) 2n2 + n3 і n- 3m3;       7) -5d + di -d + 2d+ 1;

4) 10 - с і с- с;               8)-3z + 8 і -9z- 3z + 8.

434. Знайдіть різницю многочленів:

1) 0,9a + 0,8b i 0,1a - 0,2b;         3)0,2m3 + m + 7klas_1.files/image018.gif i 0,5 + m;

2)7klas_1.files/image018.gif + m i 7klas_1.files/image013.gifm + 7klas_1.files/image259.gif + n;                    4) 100 + k+ 1,4k і 1,2k2- 0,6k - 100.

435. Якими даними треба доповнити таблицю 8?

Таблиця 8

Многочлен

a + b

8x + x2

y + 5

4a5 - 2

Многочлен

a - b

5 + x2 - 8x

-y + 5

a5 + 3a

Сума

       

Різниця

       

436. Знайдіть значення виразу:

1) (4x + 9) - (3х - 4) - 63, якщо х =-100;

2) (3х + 2) - (х - 7) + (-2х - 14) + 5, якщо х = 0,643;

3) (х+ х3 + х2 +3х) -(х+ х3 + х2 - 2х - 25) - 10, якщо х = 5.

437. Знайдіть значення виразу (2,5mn + 3,5m + n) - (2,5mn + 3,5m + 3n), якщо m = 3,705, n =-0,98

438. Запишіть многочлен 3а + а2 - 4 - а3 як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) а2 - 4; 2) 2а + а2.

439. Доведіть тотожність: (2х + у) - (3х - у) + (х - 2у) = 0.

440. Запишіть у вигляді многочлена різницю чисел, перше з яких має а тисяч, 7 сотень, b десятків і 4 одиниці, а друге — 2а тисяч, 9 сотень, 9 десятків і b одиниць.

441. Запишіть у вигляді многочлена суму чисел, перше з яких має х тисяч, у сотень і 2 десятків, а друге — z тисяч, у сотень, 5 десятків і 8 одиниць.

442. Знайдіть суму многочленів:

1) 4,8а+ 5,6b2, 3,7а- 3b2, -3,5а- 2, -4,34 - 0,1b2 і -5а+ 3,1b2 + 2;

2)- 7klas_1.files/image008.gif а+ 8,5b+ 6, -4a2- 2 7klas_1.files/image018.gifb2,   7klas_1.files/image018.gifа+ 4 - 7klas_1.files/image018.gifb2, -7klas_1.files/image018.gifa2 + 3 - bi -а2 + 7,2b2;

3) a2bc2 + a2cb- abc2, -bac2 + acb, -c2a2b + a2b2c і -abc + 100;

4) x8+ x6n, -(x2)2n ∙ (хn)+ (-х)2n.

443. Знайдіть суму многочленів:

1) 0,24a2 + b2 + 4, 0,36а2 + 2,3b2 - 0,5, -0,3а + 0,41b + 0,4а2i 0,5 + 0,2b2;

2)7klas_1.files/image258.gifa+ -7klas_1.files/image018.gifb+ 5, 7klas_1.files/image260.gifа+ b- 2,7 і -2а7klas_1.files/image018.gifb7klas_1.files/image018.gif;

3) 3х2y2 - х+ 3ух+ у2х, -5,4х2y + у- 6у2х + у2х2 і -4y2х+ 5у2х + х2 + 2,4x2y.

444. Якими даними треба доповнити таблицю 9?

Таблиця 9

Многочлен

2- у- 6

 

у3 - 4у4 + 5

4a2+ a - 2

Многочлен

 

х3 + х - 5

   

Сума

5x+ 3y- 3

х4 + х3+ х+ 4х

   

Різниця

   

-y+ y4 - 3

a- a + 3

445. Нехай А = ух2 + 2у2х - 2,4ух - 2, В = 3ху2 - 5,2ху + 15 + у,

С = 17 - 5ху2 + 7klas_1.files/image130.gifху. Спростіть вираз: 1)A + В + С; 2)А - В + С.

446.  Доведіть тотожність: а2 + 2b+ (3а+ с - b2) - (c +2а2) = 2a2 + b2.

447.  Доведіть, що сума многочленів 7klas_1.files/image018.gif аm - 7klas_1.files/image013.gifа, -0,5аm + 7klas_1.files/image018.gif + 2a і -1,25а - 6 не залежить від значень змінних, що входять до них.

448. Доведіть, що сума многочленів 7klas_1.files/image005.gifmn2 + 17klas_1.files/image018.gif m2n + 3, 7klas_1.files/image004.gif mn2 + 2,5m2n і і mn2 - 4m2n + 4 не залежить від значень змінних, що входять до них.

449.  Запишіть многочлен -3а3 - 1 + 3а як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) 0,4а2+ 1,6а3;

2) а2+ 6;

3) -а3 + 8.

450.  Знайдіть значення виразу:

1) 1,4ху2 + 5ху + 0,25 - (ху -1,8ху2 + 0,75) - (3,2y2х - 3ху), якщо ху =-1;

2) 4у2 - у - 5х+ 8 - (3у2 - 1,25у + 10 - 6х2) - 0,25у, якщо х2 + у2 = 2.

451. Знайдіть значення виразу:

1) 3x2 + 4х + 1 + (-х + 5) - (2х- 6х), якщо х = 3;

2) 7у2+(3у2 + у - 4) - ((2у)- 3у +1) - 3у, якщо у = -2.

452. Знайдіть значення виразу:

1) x - (-2)3 + xn ∙ x - (-x + x1+n) - 8, якщо x = 0,607;

2) 9х2 + (х2 - х3) + (x- x4) +...+ (x- x10) - (4 - х10), якщо x = 0,5.

453. Доведіть, що різниця многочленів х2 + 4х + 2 і х2 - 12х - 2 є — кратною числу 4 для будь-якого значення х.

454. Доведіть, що різниця многочленів 46а - 3 і а - 12 є кратною числу 9 для будь-якого значення а.

455. Доведіть, що:

1) сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3;

2) сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5;

3) сума трьох послідовних парних натуральних чисел ділиться на 6.

456. Доведіть, що сума п'яти послідовних парних натуральних чисел ділиться на 10.

457. Позначимо 7klas_1.files/image261.jpg — число, у якого а — кількість сотень, b — кількість десятків, с — кількість одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

1) 7klas_1.files/image262.jpg

458. Позначимо 7klas_1.files/image263.jpg — число, у якого а — кількість десятків, b — одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

7klas_1.files/image264.jpg

459. Доведіть, що різниця двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9.

460. Доведіть, що сума двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 11.

461. Доведіть, що сума многочленів 5х4 + 0,3х3 + 2х + 6, -2х3+ 7х2 - 2х і 1,7х3 + 10 за будь-якого значення х набуває додатного значення.

462. Позначимо 7klas_1.files/image265.jpg — число, у якого a — кількість сотень, b — кількість десятків, с — кількість одиниць. Знайдіть усі трицифрові числа 7klas_1.files/image266.jpg, для яких виконується умова 7klas_1.files/image267.jpg

463. Сума трицифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, менша від числа 505 на кількість десятків даного числа, помноженого на 81. Знайдіть yсі такі числа.

464. У чотирицифрового числа перша цифра (кількість тисяч) — 7. Якщо в даному числі цю цифру переставити на останнє місце, то отримаємо число, менше відданого на 864. Знайдіть це число.

465. Знайдіть трицифрове число 7klas_1.files/image268.jpg якщо воно дорівнює сумі чисел 7klas_1.files/image269.jpg

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

466. Ви поклали в банк А х грн під 20 % річних, а в банк В — у грн під 30 % річних. Який прибуток ви отримаєте через два роки?

467. У вас є три відра, кожне з яких уміщує цілу кількість літрів.

Якщо вилити повне перше відро води у друге, то вона займе 7klas_1.files/image004.gif його об’єму, а якщо вилити у третє, то 7klas_1.files/image013.gif його об’єму. Сума об'ємів трьох відер менша від 30 літрів. Знайдіть об’єми відер.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

468. Знайдіть довжину ліній Харківського метрополітену, що становить 62 7klas_1.files/image013.gif % від довжини ліній Київського метрополітену, яка дорівнює 60 км.

469. Станція Арсенальна Київського метрополітену — найглибша у світі. Знайдіть її глибину, якщо вона становить 25 % від 420 м.

470. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів солі треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 4 %?

471. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів прісної води треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 1 %?




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити