Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

У цьому розділі ви:

• пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;

• дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутники; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;

• навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до певного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв’язування задач.

§1. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА

Чотирикутником називають фігуру, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають.

Ніякі три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні мати жодних інших спільних точок, крім даних.

Будь-який чотирикутник обмежує певну частину площини, яка є внутрішньою областю чотирикутника.

На малюнку 1 зображено чотирикутник ABCD. Точки A, B, C, D називають вершинами чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD і DA, що їх сполучають, - сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника, які є кінцями однієї його сторони, називають сусідніми, несусідні вершини називають протилежними. На мал. 1 вершини A і B - сусідні, A і C - протилежні.

Сторони чотирикутника, які мають спільну вершину, називають сусідніми або суміжними, а які не мають спільної вершини, - протилежними. На мал. 1 сторони AB і BC - сусідні (суміжні), сторони AB і CD - протилежні.

Мал. 1

Мал. 2

Суму довжин усіх сторін чотирикутника називають його периметром.

Периметр позначають літерою P. Наприклад, периметр чотирикутника ABCD можна позначити як PABCD:

PАBCD = AB + BC + CD + DA.

Відрізки, які сполучають протилежні вершини чотирикутника, називають діагоналями чотирикутника. На мал. 2 відрізки KM і LN - діагоналі чотирикутника KLMN. Будь-який чотирикутник має дві діагоналі.

Кутами чотирикутника ABCD називають кути DAB, ABC, BCD і CDA (мал. 1). Кути чотирикутника називають протилежними, якщо їх вершини - протилежні вершини чотирикутника, і сусідніми, якщо їх вершини - сусідні вершини чотирикутника. На малюнку 1 кути A і C - протилежні, A і B - сусідні.

Один з кутів чотирикутника може бути більшим за розгорнутий. Наприклад, на малюнку 3 кут A чотирикутника ABCD є більшим за розгорнутий. Такий чотирикутник називають неопуклим. Якщо ж усі кути чотирикутника менші від 180°, то його називають опуклим. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються (мал. 2), а неопуклого не перетинаються (мал. 4).

Мал. 3

Мал. 4

Мал. 5

Т е о р е м а (про суму кутів чотирикутника). Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - деякий чотирикутник. Проведемо в ньому діагональ AC (мал. 5). Тоді ∠A = ∠1 + ∠2, ∠C = ∠3 + ∠4. Враховуючи, що ∠2 + ∠B + ∠3 = 180° (як сума кутів ∆ABC), ∠1 + ∠D + ∠4 = 180° (як сума кутів ∆ADC), матимемо: ∠А + ∠B + ∠C + ∠D = ∠1 + ∠2 +∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D = (∠2 + ∠B + ∠3) + (∠1 + ∠D + ∠4) = 180° + 180° = 360°.

Задача. Знайдіть кути чотирикутника, якщо їх градусні міри відносяться як 3 : 10 : 4 : 1. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?

Р о з в’ я з а н н я. Нехай кути чотирикутника дорівнюють 3x, 10x, 4x і x. Маємо рівняння 3x + 10x + 4x + x = 360, звідки x = 20. Отже, кути чотирикутника дорівнюють 3 ∙ 20° = 60°, 10 ∙ 20° = 200°, 4 ∙ 20° = 80° і 20°. Оскільки один з кутів чотирикутника більший за 180°, то цей чотирикутник - неопуклий.

В і д п о в і д ь. 60°, 200°, 80°, 20°; неопуклий.

1. Яку фігуру називають чотирикутником?

2. Що називають вершинами чотирикутника, сторонами чотирикутника?

3. Які вершини чотирикутника називають сусідніми, які - протилежними?

4. Що таке діагоналі чотирикутника?

5. Які сторони чотирикутника називають сусідніми, які - протилежними?

6. Що називають периметром чотирикутника?

7. Що називають кутами чотирикутника?

8. Які кути чотирикутника називають протилежними, а які - сусідніми?

9. Який чотирикутник називають неопуклим, а який - опуклим?

10. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів чотирикутника.

1

Початковий рівень

1. (Усно.) Які з фігур (мал. 6-9) є чотирикутниками? Назвіть опуклі та неопуклі чотирикутники.

Мал. 6

Мал. 7

Мал. 8

Мал. 9

2. Назвіть пари протилежних сторін чотирикутника EGOR (мал. 9), пари сусідніх сторін. Назвіть пари сусідніх вершин цього чотирикутника, пари протилежних вершин.

3. Накресліть чотирикутник KLMN. Назвіть пари його протилежних сторін, сусідніх сторін, протилежних вершин, сусідніх вершин. Проведіть діагоналі цього чотирикутника.

4. Накресліть опуклий чотирикутник ABCD і неопуклий PMLK. Проведіть діагональ у кожному з них.

5. Чи існує чотирикутник з кутами:

1) 80°, 90°, 100° і 110°; 2) 150°, 60°, 70° і 80°?

6. Чи можуть кути чотирикутника дорівнювати:

1) 120°, 80°, 90° і 70°; 2) 130°, 110°, 80° і 50°?

2

Середній рівень

7. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють:

1) 150°, 110° і 80°; 2) 80°, 60° і 30°.

Яким - опуклим чи неопуклим - є кожний чотирикутник?

8. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють:

1) 20°, 70° і 80°; 2) 120°, 50° і 40°.

Яким - опуклим чи неопуклим - є кожний чотирикутник?

9. Знайдіть периметр чотирикутника, сторони якого дорівнюють 32 мм, 2,5 см, 0,4 дм і 0,07 м.

10. Знайдіть периметр чотирикутника, сторони якого дорівнюють 0,08 м, 0,7 дм, 6,3 см і 54 мм.

11. Чи можуть усі кути чотирикутника бути:

1) гострими; 2) прямими; 3) тупими?

12. Один з кутів чотирикутника дорівнює 120°, а інші - між собою рівні. Знайдіть невідомі кути чотирикутника.

13. Периметр чотирикутника дорівнює 60 см, а одна з його сторін - 24 см. Знайдіть невідомі сторони чотирикутника, якщо вони між собою рівні.

14. У чотирикутнику ABCD (мал. 10) BC = CD і ∠ACB = ∠ACD. Доведіть, що ∠B = ∠D.

15. У чотирикутнику ABCD (мал. 11) ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD. Доведіть, що AB = CD.

Мал. 10

Мал. 11

3

Достатній рівень

16. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 4, 5, 8 і 9, а периметр чотирикутника дорівнює 65 см.

17. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 4, 5, 7 і 8.

18. Знайдіть невідомі кути чотирикутника, якщо один з них дорівнює 90°, другий і третій відносяться як 7 : 5, а четвертий дорівнює півсумі другого та третього.

19. Знайдіть невідомі сторони чотирикутника, периметр якого дорівнює 54 см, одна зі сторін 18 см, друга та третя відносяться як 7 : 3, а четверта дорівнює піврізниці другої та третьої.

20. Доведіть, що в кожному чотирикутнику є кут, не більший за 90°.

21. Доведіть, що в кожному чотирикутнику є кут, не менший від 90°.

22. Чи може кут чотирикутника бути більшим за суму інших його кутів?

4

Високий рівень

23. Побудуйте чотирикутник зі сторонами 6 см, 6 см, 3 см, 4 см та кутом 50° між рівними сторонами. Скільки розв’язків має задача?

24. Побудуйте чотирикутник зі сторонами 5 см, 5 см, 4 см, 3 см та кутом 70° між рівними сторонами. Скільки розв’язків має задача?

25. Опуклий чотирикутник називають дельтоїдом, якщо він має дві пари рівних сусідніх сторін (мал. 12). Доведіть, що:

1) діагональ BD ділить навпіл як кут B, так і кут D;

2) діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.

Мал. 12

26. Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 29 см, периметр трикутника ADB - 20 см, а трикутника CDB - 21 см. Знайдіть довжину діагоналі BD.

Вправи для повторення

2

27. Градусна міра одного з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть градусні міри решти семи кутів.

3

28. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них дорівнює 70°. Скільки розв’язків має задача?

4

29. У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а сума меншого катета і медіани, проведеної до гіпотенузи, - 10 см. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

30. Пряма AB є січною для прямих KL і MN (мал. 13). Запишіть усі пари внутрішніх односторонніх кутів, внутрішніх різносторонніх кутів та відповідних кутів.

Мал. 13

Мал. 14

Мал. 15

31. Яким є взаємне розміщення прямих а і b (мал. 14), якщо:

1) ∠2 + ∠4 = 180°;

2) ∠1 > ∠4;

3) ∠3 = 120°; ∠4 = 121°;

4) ∠2 = 60°; ∠4 = 119°;

5) ∠1 = ∠4 = 122°;

6) ∠3 = ∠4?

32.

1) Доведіть, що ∆ABC = ACDA (мал. 15), якщо AB = CD і ∠BAC = ∠ACD.

2) Доведіть, що BC = AD і ∠BCA = ∠CAD.

3) Чи паралельні прямі BC і AD?

Цікаві задачі для учнів неледачих

33. (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1964 р.) Знайдіть найбільше значення n, при якому n точок можна розмістити на площині так, щоб кожні три з них були вершинами прямокутного трикутника.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити