Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ  1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§10. СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

На малюнку 105 KL - середня лінія трикутника ABC.

Т е о р е м а 1 (властивість середньої лінії трикутника). Середня лінія трикутника, що сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Д о в е д е н н я. Нехай KL - середня лінія трикутника ABC (мал. 105). Доведемо, що KL || AB і KL =  AB.

1) Проведемо через точку L пряму, паралельну AB. За теоремою Фалеса вона перетинає сторону AC в її середині, тобто в точці K. Отже, ця пряма містить середню лінію KL. Тому KL || AB.

2) Проведемо через точку L пряму, паралельну AC, яка перетинає AB у точці M. Тоді AM = MB (за теоремою Фалеса).

Чотирикутник AKLM - паралелограм. KL = AM (за властивістю паралелограма), але AM =  AB. Тому KL =  AB.

Мал. 105

Мал. 106

Задача. Доведіть, що середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма, один з кутів якого дорівнює куту між діагоналями чотирикутника.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - даний чотирикутник, а точки K, L, M, N - середини його сторін (мал. 106).

KL - середня лінія трикутника ABC, тому KL || AC і KL = AC. Аналогічно MN || AC, MN = AC.

Отже, KL || MN, KL = MN. Тоді KLMN - паралелограм (за ознакою паралелограма).

KN - середня лінія трикутника ABD. Тому KN || BD. Отже, KFOP - також паралелограм, звідки: ∠NKL = ∠BOA.

Розглянемо властивість медіан трикутника.

Т е о р е м а 2 (властивість медіан трикутника). Медіани трикутника перетинають ся в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

Д о в е д е н н я. Нехай M - точка перетину медіан AK і CN трикутника ABC (мал. 107).

1) Побудуємо чотирикутник LDTK, де D - середина AM, T - середина BM.

2) DT - середня лінія трикутника ABM, тому DT || AB і DT =  AB.

3) KL - середня лінія трикутника ABC, тому KL || AB і KL = AB.

4) Отже, DT || KL і DT = KL. Тому DTKL - паралелограм (за ознакою).

5) M - точка перетину діагоналей TL і DK паралелограма DTKL, тому MT = ML, DM = MK. Але MT = BT, DM = AD. Тоді BT = TM = ML і AD = DM = MK. Отже, точка M ділить кожну з медіан AK і BL у відношенні 2 : 1, починаючи від вершин A і B відповідно.

6) Точка перетину медіан AK і CN повинна також ділити у відношенні 2 : 1 кожну медіану. Оскільки існує єдина точка - точка M, яка в такому відношенні ділить медіану AK, то медіана CN також проходить через цю точку.

7) Отже, три медіани трикутника перетинаються в одній точці і цією точкою діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

Точку перетину медіан ще називають центром мас трикутника, або центроїдом трикутника.

Мал. 107

1. Що називають середньою лінією трикутника?

2. Сформулюйте і доведіть властивість середньої лінії трикутника.

3. Сформулюйте властивість медіан трикутника.

1

Початковий рівень

284.  (Усно.) Які відрізки на малюнку 108 є середніми лініями трикутника ABC, де AM = MB, BK = KC, AL = LC?

285.  Накресліть довільний тупокутний трикутник MNK і його найбільшу середню лінію.

286.  Накресліть рівнобедрений трикутник ABC і його середню лінію, кінці якої належать бічним сторонам.

287. KL - середня лінія трикутника ABC (мал. 105).

1) AB =14 см. Знайдіть KL;

2) KL = 6 дм. Знайдіть AB.

Мал. 108

288. KL - середня лінія трикутника ABC (мал. 105).

1) AB = 20 см. Знайдіть KL;

2) KL = 7 дм. Знайдіть AB.

2

Середній рівень

289. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 5 см. Знайдіть основу трикутника.

290. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18 дм. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини бічних сторін трикутника.

291. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см.

292. Сторони трикутника дорівнюють 12 дм, 16 дм і 18 дм. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії цього трикутника.

293. Дано: ED - середня лінія трикутника ABC, E ∈ AC, D ∈ BC. Довести: ∠CED = ∠CAB.

294. (Усно.) Визначте вид трикутника, якщо:

1) дві його середні лінії рівні між собою;

2) три його середні лінії рівні між собою.

295. Дано трикутник, периметр якого дорівнює 24 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого є серединами сторін даного трикутника.

296.  Периметр трикутника, вершини якого - середини сторін даного трикутника, - дорівнює 18 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

3

Достатній рівень

297.  Сторони трикутника відносяться як 4 : 3 : 5. Знайдіть його сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 60 см.

298.  Периметр трикутника дорівнює 80 см. Сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, відносяться як 4 : 9 : 7. Знайдіть сторони даного трикутника.

299.  Сторона трикутника дорівнює 10 см, а одна із середніх ліній - 6 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з них у 1,5 раза більша за другу. Скільки випадків слід розглянути?

300. E, F, G, H - середини сторін AB, BC, CD і DA опуклого чотирикутника ABCD. Знайдіть периметр чотирикутника EFGH, якщо AC = 16 см, BD = 10 см.

301. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см. Чому дорівнює периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін цього прямокутника?

302. O - точка перетину діагоналей ромба ABCD. Точки M і K - середини сторін AD і DC відповідно. Доведіть, що MK ⊥ OD.

303.  AK - медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою BC. Точки P і F - середини сторін AB і AC відповідно. Доведіть, що PF ⊥ AK.

304. Доведіть, що коли два трикутники рівні, то рівні й трикутники, вершинами яких є середини сторін даних трикутників.

4

Високий рівень

305.  Точка M - середина катета AC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Відстань від точки M до гіпотенузи дорівнює а см. Знайдіть гіпотенузу.

306. Точка K - середина катета BC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC з гіпотенузою AB = 20 см. Знайдіть відстань від точки K до гіпотенузи.

307. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.

308. У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = AC) M - точка перетину медіан. Відомо, що AM = 8 см. Знайдіть відстань від середини бічної сторони до основи трикутника.

309. Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника KLM (KL = KM) віддалена від основи трикутника на 9 см. Знайдіть відстань від точки перетину медіан трикутника до вершини K.

Вправи для повторення

310. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 80°, O - центр описаного кола. Знайдіть ∠AOB, ∠BOC, ∠COA.

311. Одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 30°, а друга діагональ дорівнює 7 см. Знайдіть периметр ромба.

312. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють а і b (а > b), а гострий кут - 60°. Знайдіть:

1) бічну сторону трапеції;     2) периметр трапеції;

3) умову, за якої у трапецію можна вписати коло.

Цікаві задачі для учнів неледачих

313.  Чи існує трикутник, дві бісектриси якого взаємно перпендикулярні?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити