Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ  1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§11. СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРАПЕЦІЇ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

Розглянемо властивість середньої лінії трапеції.

Т е о р е м а (властивість середньої лінії трапеції). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - дана трапеція, EF - її середня лінія (мал. 109). Доведемо, що EF || AD, EF || BC і EF = .

Мал. 109

1) Проведемо промінь BF до його перетину з променем AD. Нехай M - точка їх перетину. Тоді ∠BCF = ∠MDF (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AM та січній CD), ∠CFB = ∠DFM (як вертикальні), CF = FD (за умовою). Отже, ∆ CFB = ∆DFM (за стороною і двома прилеглими кутами), звідки BF = FM, BC = DM (як відповідні сторони рівних трикутників).

2) Оскільки BF = FM, то EF - середня лінія трикутника ABM. Тоді, за властивістю середньої лінії трикутника, EF || AM, отже, EF || AD. А оскільки AD || BC, то EF || BC.

3) Окрім того, EF =  AM =  = .

Задача 1. Доведіть, що відрізок середньої лінії трапеції, який міститься між її діагоналями, дорівнює піврізниці основ.

Д о в е д е н н я. Нехай EF - середня лінія трапеції ABCD, M - точка перетину AC і EF, N - точка перетину BD і EF (мал. 110). Нехай AD = a, BC = b. Доведемо, що MN = .

1) Оскільки EF || AD, EF || BC і AE = BE, то за теоремою Фалеса: M -  середина AC, N - середина BD. Тому EM - середня лінія трикутника ABC, NF - середня лінія трикутника DBC.

Тоді ЕМ =  = ; NF =  = .

Мал. 110

2) EF - середня лінія трапеції, тому EF = .

3) MN = EF - (EM + NF) =  - ( + ) =  .

Задача 2. У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться як 3 : 7, а периметр - 48 см.

Р о з в ’ я з а н н я. Нехай ABCD - дана трапеція, BC : AD = 3 : 7, ∠CAD = ∠BAC, EF - середня лінія (мал. 111). 1) Позначимо BC = 3x, AD = 7x. Тоді EF =  =  =  = 5x(см).

2) ∠CAD = ∠BCA (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC). ∠CAD = ∠BAC (за умовою). Тому ∠BCA = ∠BAC. Отже, ∆BAC - рівнобедрений (за ознакою рівнобедреного трикутника). Тоді AB = BC. Але AB = CD (за умовою). Отже, AB = BC = CD = 3x (см).

3) Оскільки PABCD = 48 см, маємо рівняння:

7x + 3x + 3x + 3x = 48, звідки x = 3 (см).

4) Тоді EF = 5 ∙ 3 = 15 (см).

Мал. 111

Те, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ, було відомо ще давнім єгиптянам; цю інформацію містив папірус Ахмеса (близько XVII ст. до н. е.).

Про властивість середньої лінії трапеції знали й вавилонські землеміри; про неї також згадується і у працях Герона Александрійського (перша половина I ст. н. е.).

1. Що називають середньою лінією трапеції?

2. Сформулюйте і доведіть властивість середньої лінії трапеції.

1

Початковий рівень

314. (Усно.) На яких з малюнків 112-115 відрізок EF є середньою лінією трапеції?

Мал. 112

Мал. 113

Мал. 114

Мал. 115

315.  Основи трапеції дорівнюють 8 см і 4 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

316.  Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи дорівнюють 7 см і 11 см.

2

Середній рівень

317. Знайдіть основу трапеції, якщо її друга основа дорівнює 9 см, а середня лінія - 7 см.

318. Одна з основ трапеції дорівнює 5 см, а середня лінія - 10 см. Знайдіть другу основу трапеції.

319. Одна з основ трапеції дорівнює 8 см, а друга - удвічі більша за неї. Знайдіть відстань між

серединами бічних сторін трапеції.

320. Середня лінія трапеції дорівнює 30 см. Знайдіть основи трапеції, якщо:

1) одна з них на 8 см більша за другу;

2) одна з них у 4 рази менша від другої;

3) вони відносяться як 3 : 2.

321. Середня лінія трапеції дорівнює 16 см. Знайдіть основи трапеції, якщо:

1) одна з них на 2 см менша від другої;

2) одна з них утричі більша за другу;

3) їх відношення дорівнює 3 : 5.

322. K - точка перетину діагоналі BD трапеції ABCD з її середньою лінією MN. Доведіть, що BK = KD.

323. Бічні сторони трапеції дорівнюють 7 см і 9 см, а її середня лінія - 10 см. Знайдіть периметр трапеції.

324. Бічні сторони трапеції дорівнюють 10 см і 12 см, а її периметр - 52 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

3

Достатній рівень

325. Чи може середня лінія трапеції:

1) дорівнювати одній з основ;

2) бути меншою від меншої основи;

3) бути більшою за більшу основу;

4) бути вдвічі меншою від більшої основи?

326. EF - середня лінія трапеції ABCD, яка перетинає діагональ BD у точці N. EN = 5 см, NF = 3 см. Знайдіть основи трапеції.

327. MN - середня лінія трапеції ABCD, яка перетинає діагональ AC у точці K. Знайдіть MK і KN, якщо основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см.

328. У трапеції ABCD AD = 30 см, BC = 12 см - основи, а точки E і T - середини AB і AE відповідно. Через E і T проведено прямі, паралельні AD. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться між бічними сторонами трапеції.

329. У трапеції ABCD M - середина бічної сторони AB, N - середина MB. Через точки M і N проведено прямі, паралельні BC, які перетинають CD у точках K і L відповідно. MK = 12 см, NL = 8 см. Знайдіть основи трапеції.

330. У рівнобічній трапеції ABCD перпендикуляр, проведений з вершини B на більшу основу AD трапеції, ділить її на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

331. З вершини B тупого кута рівнобічної трапеції ABCD проведено висоту BK до основи AD. AK = 4 см, BC = 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

332. Точки A і B лежать по один бік від прямої І. Відстань до неї від точки A дорівнює 7 см, а від точки M, яка є серединою AB, - 5 см. Знайдіть відстань від точки B до прямої І.

333. По один бік від прямої а на відстані 10 см і 16 см від неї позначено точки M і N. Знайдіть відстань від середини відрізка MN до прямої а.

4

Високий рівень

334. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 14 см. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин.

335. Діагоналі ділять середню лінію трапеції на три частини, довжини яких 7 см, 8 см і 7 см. Знайдіть основи трапеції.

336. У трапеції ABCD (AD || BC) ∠A = 90°, ∠C = 135°, AB = 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

337. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл тупий кут трапеції, а її середню лінію - на відрізки 4 см і 6 см. Знайдіть периметр трапеції.

338. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію - на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції.

Вправи для повторення

2

339. Знайдіть кути M і N чотирикутника MNKL, вписаного в коло, якщо ∠K = 37°, ∠L = 119°.

340. Коло вписано в рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює а см. Знайдіть периметр трапеції.

341. У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120°, більша основа - 14 см, а більша бічна сторона - 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

Цікаві задачі для учнів неледачих

342.  Усі стінки і дно картонної коробки без кришки мають форму квадрата зі стороною а. Розріжте коробку двома розрізами так, щоб з отриманих частин можна було скласти квадрат, площа якого дорівнює 5а2.

Домашня самостійна робота № 2

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.

1

1. На мал. 116 зображено трапецію. Укажіть її основи.

A. KN і ML;         Б. KL і MN;

B. KN і MN;        Г. ML і MN.

Мал. 116

2. Знайдіть градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому вписаного кута дорівнює 40°.

A. 40°;          Б. 20°;      В. 80°;       Г. 30°.

3. На мал. 117 M1N1 || M2N2, ON1 = N1N2; OM2 = 16 см. Знайдіть M1M2.

A.  4 см;     Б. 8 см;

B.  6 см;     Г. знайти неможливо.

4. Чотирикутник ABCD вписано в коло. ∠A = 20°, ∠B = 100°. Знайдіть кути C і D цього чотирикутника.

Мал. 117

A. ∠C = 80°; ∠D = 160°;         Б. ∠C = 150°;        ∠D = 80°;

B. ∠C = 20°; ∠D = 100°;         Г. ∠C = 160°;        ∠D = 80°.

5. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а бічна сторона - 10 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.

A. 11 см; Б.    12 см;   В.   14 см; Г. 16 см.

6. Середня лінія трапеції дорівнює 20 см, а її основи відносяться як 2 : 3. Знайдіть довжину меншої основи.

A. 16 см; Б.    24 см;   В.   18 см; Г. 8 см.

3

7. Хорди MN і KL перетинаються в точці A; ∠MKL = 30°; ∠KLN = 70°. Знайдіть ∠KAM.

А. 30°;      Б.  70°;     В.  80°;      Г. 100°.

8. Коло вписано в рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює 10 см. Знайдіть периметр трапеції.

А. 50 см;   Б.  20 см;  В.  30 см;   Г. 40 см.

9. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, а більша бічна сторона і менша основа - по 18 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

А. 36 см;   Б. 24 см;    В.  27 см;   Г.  30 см.

10. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію - на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції.

А. 32 см;   Б. 34 см;    В.  36 см;   Г.  38 см.

11. Точка N - середина медіани AD трикутника ABC. BN перетинає AC у точці F. Знайдіть AF, якщо AC = 18 см.

А. 6 см;     Б. 9 см;     В.  3 см;     Г.  2 см.

12. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 36 см. Знайдіть відстань від середини катета до гіпотенузи.

А. 12 см;   Б. 6 см;     В.  18 см;    Г.  9 см.

Завдання для перевірки знань до § 6-11

1

1. Накресліть трапецію MKPF (MK || PF). Укажіть її основи та бічні сторони.

2. Знайдіть градусну міру кута, вписаного в коло, якщо від повідний йому центральний кут дорівнює 70°.

3. На малюнку 118 A1B1|| A2B2, OB1 = B1B2, OA1 = 2 см. Знайдіть OA2.

4. Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо ∠C = 140°, ∠D = 70°.

5. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 12 см і 16 см. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії даного трикутника.

6. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за другу.

Мал. 118

7. Коло вписано в рівнобічну трапецію, периметр якої 20 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.

8. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, а більша бічна сторона і більша основа дорівнюють по 12 см. Знайдіть меншу основу.

9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут, а середню лінію - на відрізки 9 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції.

Додаткові завдання

10. Точки K, L, M ділять медіану BD трикутника ABC на чотири рівні частини (BK = KL = LM = MD). AM перетинає BC у точці F. Знайдіть CF : FB.

11.  Точка D - середина катета BC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Відстань від точки D до гіпотенузи трикутника на 15 см менша від гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Вправи для повторення розділу 1

До § 1

343. Накресліть чотирикутник AMCN. Запишіть вершини, сторони та кути цього чотирикутника.

344. Чи можуть у чотирикутнику три кути бути прямими, а четвертий:

1) гострим; 2) тупим?

345.  Два кути чотирикутника дорівнюють 40° і 80°, а два інших між собою рівні. Знайдіть невідомі кути чотирикутника.

346. Запишіть усі можливі варіанти позначення чотирикутника ABCD.

347.  Один з кутів чотирикутника на 10° менший від другого, на 50° менший від третього і удвічі менший від четвертого. Знайдіть кути чотирикутника.

348. Усі сторони чотирикутника між собою рівні. Доведіть, що сума будь-яких двох сусідніх кутів цього чотирикутника дорівнює 180°.

До § 2

1

349. Накресліть паралелограм KMTL, у якого кут K - тупий. Проведіть діагоналі паралелограма і позначте їх точку перетину через O. Укажіть на малюнку пари рівних між собою відрізків.

350.  На малюнку 119 ABCD - паралелограм, ∠ = 105°. Знайдіть ∠2.

351. У чотирикутнику ABCD ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°. Доведіть, що чотирикутник ABCD - паралелограм.

352. На малюнку 120 AD = BC, ∠1 = ∠2. Доведіть, що ABCD - паралелограм.

Мал. 119

Мал. 120

353. Прямі а і b перетинаються. Побудуйте паралелограм так, щоб його діагоналі лежали на цих прямих.

354. Дано паралелограм ABCD і трикутник ENM. Чи можливо, щоб одночасно виконувалися рівності ∠A = ∠E, ∠B = ∠N, ∠C = ∠M?

355. У паралелограмі ABCD точка M - середина AD, N - середина BC. Доведіть, що відрізки AN і BM точкою перетину діляться навпіл.

356.  Дано три точки, що не лежать на одній прямій. Скільки паралелограмів з вершинами в цих точках можна побудувати?

4

357. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині.

358. Доведіть, що бісектриси протилежних кутів паралелограма або паралельні, або збігаються.

359.  Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 30°. Знайдіть ці висоти, якщо сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 20 см.

360.  Побудуйте паралелограм за двома непаралельними сторонами і висотою, проведеною до однієї з них.

До § 3

1

361.  Накресліть прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см та знайдіть його периметр.

2

362. У чотирикутнику точка перетину діагоналей ділить діагоналі на чотири рівних між собою відрізки. З’ясуйте вид чотирикутника.

363.  Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає продовження сторони DC у точці N. Знайдіть ∠AND.

364. Побудуйте прямокутник за:

1) стороною і діагоналлю;

2) діагоналлю і кутом, який вона утворює з однією зі сторін;

3) діагоналлю і кутом між діагоналями.

365.  Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає сторону CD у точці M. Знайдіть периметр прямокутника, якщо DM = 5 см, MC = 2 см.

366. Точка перетину діагоналей прямокутника знаходиться від меншої сторони на 2 см далі, ніж від більшої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.

367.  Перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута прямокутника до діагоналі, ділить її у відношенні 1 : 3. Знайдіть меншу сторону прямокутника, якщо діагональ дорівнює а см.

368.  Бісектриси кутів A і D прямокутника ABCD перетинають його сторону BC у точках L і K відповідно. BL = 7 см, LK = 2 см. Знайдіть периметр прямокутника ABCD. Скільки випадків слід розглянути?

До § 4

1

369.  Накресліть ромб MKLN з тупим кутом M та проведіть у ньому висоти MA і MB.

2

370.  У ромбі ABCD діагоналі перетинаються в точці O, ∠BAO = 25°. Знайдіть кути ромба.

371.  Знайдіть кути ромба, якщо відношення двох з них дорівнює 2 : 3.

3

372. У ромбі ABCD з вершини гострого кута A проведено висоти AM і AN. Доведіть, що AM = AN.

373. Діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, а його периметр дорівнює m см. Знайдіть сторони паралелограма.

374.  Кут між продовженням висоти ромба, проведеної з вершини гострого кута, і продовженням діагоналі, що сполучає вершини тупих кутів, дорівнює 40°. Знайдіть кути ромба.

4

375. Висота ромба дорівнює 10 см, а його периметр - 80 см. Знайдіть:

1) кути ромба;

2) кут між висотою, проведеною з вершини тупого кута ромба, і його меншою діагоналлю.

376. Побудуйте ромб за діагоналлю і висотою.

377. На сторонах прямокутника зовні нього побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників є вершинами ромба.

До § 5

1

378. Накресліть квадрат, сторона якого дорівнює 3 см. Знайдіть периметр квадрата.

2

379. Різниця між периметром квадрата і сумою трьох його сторін дорівнює 8 см. Знайдіть сторону квадрата і його периметр.

3

380. У дане коло, положення центра якого відоме, впишіть квадрат.

381. Діагональ прямокутника ділить його кут навпіл. Чи є прямокутник квадратом?

4

382. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD позначено точки A1, B1, C1, D1 так, що AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Визначте вид чотирикутника A1B1CD1.

383. У квадрат вписано прямокутник так, що на кожній стороні квадрата лежить по одній вершині прямокутника, а сторони прямокутника паралельні діагоналям квадрата. Знайдіть периметр прямокутника, якщо діагональ квадрата дорівнює d см.

До § 6

1

384. Накресліть прямокутну трапецію NMLK і рівнобічну DCFH. Укажіть основи трапецій та їх бічні сторони.

385. Знайдіть периметр рівнобічної трапеції, основи якої 8 см і 5 см, а бічні сторони дорівнюють меншій основі.

386. У рівнобічній трапеції один з кутів на 20° більший за другий. Знайдіть кути трапеції.

387.  У прямокутній трапеції більша бічна сторона вдвічі більша за висоту. Знайдіть кути трапеції.

388. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо протилежні її кути відносяться як 4 : 5.

3

389. У трапеції ABCD з більшою основою AD через точку K - середину CD - проведено пряму BK, що перетинає пряму AD у точці M. Доведіть, що ∆BKC = ∆MKD.

390.  Висота прямокутної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 30° і ділить навпіл більшу основу. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо більша бічна сторона дорівнює m см.

391. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута, а її основи дорівнюють 10 см і 6 см. Знайдіть периметр трапеції.

392. ABCD - прямокутна трапеція, ∠D = ∠C = 90°, AD - більша основа, ∠BDC = 45°, ∠ABD = 90°, AD = 10 см. Знайдіть BC і CD.

393. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює 5 см, бічна сторона - 3 см, а кут між бічною стороною і більшою основою дорівнює 60°. Знайдіть периметр трапеції.

4

394. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі, а бічна сторона - меншій. Знайдіть кути трапеції.

395.  Побудуйте трапецію за основами і діагоналями.

396.  У трапеції ABCD BC - менша основа. Через точку C проведено пряму, паралельну AB, що перетинає AD у точці E. Знайдіть периметр трикутника ECD, якщо периметр трапеції дорівнює 56 см, а BC = 10 см.

До § 7

397. На малюнку 121 точка O - центр кола.

1) ∠1 = 40°. Знайдіть ∠2.

2) ∠2 = 25°. Знайдіть ∠1.

398. На малюнку 121 точка O - центр кола. Знайдіть ∠2, якщо:

1) ∠1 - ∠2 = 15°;    2) ∠1 + ∠2 = 54°.

Мал. 121

399.  Гострокутний трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O. Знайдіть ∠BOC, якщо ∠A = а.

400. У коло радіуса 2 см вписано кут ABC, що дорівнює 30°. Знайдіть довжину хорди AC.

401. Продовження бісектриси кута A трикутника ABC перетинає коло, описане навколо трикутника, у точці K. Доведіть, що BK = CK.

402. Коло поділено чотирма точками на частини, які відносяться як 1 : 2 : 3 : 4, і точки поділу сполучено між со - бою відрізками. Визначте кути утвореного чотирикутника.

403. Знайдіть геометричне місце точок, з яких даний відрізок MN видно під заданим кутом а.

До § 8

404. Чи можна вписати коло в чотирикутник ABCD, якщо:

1) AB = 5 см, BC = 3 см, CD = 4 см, DA = 6 см;

2) AB = 3 дм, BC = 7 дм, CD = 8 дм, DA = 10 дм?

405. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого в порядку слідування відносяться як:

1) 2 : 7 : 10 : 5;      2) 3 : 5 : 8 : 4?

406. ABCD - чотирикутник, описаний навколо кола, AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 10 см. Знайдіть AD.

407. У чотирикутнику ABCD ∠ABC = 100°, ∠ADC = 80°, ∠BDC = 30°. Знайдіть ∠BAC.

408. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, відносяться у порядку слідування як 3 : 4 : 6. Знайдіть кути чотирикутника.

4

409. Чотирикутник ABCD вписано в коло, причому AC є діаметром кола. Точка O - точка перетину діагоналей. Знайдіть ∠AOD, якщо ∠BAC = 30°; ∠CAD = 58°.

410. Гострий кут прямокутної трапеції, описаної навколо кола, у 5 разів менший від тупого. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша бічна сторона дорівнює а см.

До § 9

411. На малюнку 122 прямі A1B1, A2B2 і A3B3 - паралельні, A1A2 = A2A3. Знайдіть на цьому малюнку й інші пари рівних між собою відрізків.

Мал. 122

2

412. Поділіть даний відрізок на 9 рівних частин (не використовувати лінійку з поділками).

3

413. Поділіть даний відрізок на 3 частини, довжини яких відносяться як 3 : 1 : 2 (не використовувати лінійку з поділками).

4

414. Точка K ділить медіану AN трикутника ABC у відношенні 2 : 1, починаючи від точки A. Доведіть, що пряма CK ділить сторону AB навпіл.

До § 10

1

415. Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, дорівнює 5 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

416. Побудуйте довільний прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) і його найбільшу середню лінію.

2

417. EF - середня лінія трикутника ABC (E ∈ AC, F ∈ BC). CE = 3 см, CF = 5 см, EF = 7 см. Знайдіть периметр трикутника ABC.

418. Одна із середніх ліній рівностороннього трикутника дорівнює 2 см. Знайдіть периметр трикутника.

419.  Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 7 см, а периметр - 20 см. Знайдіть середню лінію, кінці якої належать бічним сторонам.

420. Точки D, E, F - відповідно середини сторін AB, BC і CA трикутника ABC. Доведіть, що чотирикутник DEFA - паралелограм.

3

421. Сторона трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з його середніх ліній дорівнює 5 см, а периметр трикутника, утвореного його середніми лініями, дорівнює 18 см.

422. У трикутнику проведено середні лінії. Периметри паралелограмів, що утворилися при цьому, дорівнюють 22 см, 24 см і 26 см. Знайдіть периметр заданого трикутника і трикутника, який утворюють середні лінії.

4

423. Побудуйте трикутник за трьома точками - серединами його сторін.

424.  Послідовно сполучили середини сторін квадрата, діагональ якого дорівнює d см. Визначте вид чотирикутника, що при цьому утворився, та обчисліть його периметр.

До § 11

425. Накресліть трапецію ABCD та її середню лінію EF. Виміряйте основи трапеції та обчисліть довжину її середньої лінії.

426. Сума бічних сторін трапеції дорівнює 17 см, а середня лінія - 8 см. Знайдіть периметр трапеції.

427.  Різниця основ трапеції дорівнює 2 см, а середня лінія - 14 см. Знайдіть основи трапеції.

428. Основи трапеції дорівнюють 20 см і 12 см. Бічну сторону трапеції поділено на 4 рівні частини і через точки поділу проведено прямі, паралельні основам. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться між сторонами трапеції.

429. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія, завдовжки 18 см, поділяється діагоналлю на відрізки, один з яких удвічі більший за другий.

430.  Середня лінія трапеції втричі більша за меншу основу і на 12 см менша від більшої основи. Знайдіть основи трапеції.

4

431. Середня лінія трапеції діагоналями ділиться на відрізки, відношення яких дорівнює 2 : 3 : 2. Знайдіть відношення основ трапеції.

432.  Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.

433. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює а см, бічна сторона - c см, а гострий кут 60°. Знайдіть середню лінію трапеції.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити