Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

У цьому розділі ви:

• дізнаєтеся про подібні трикутники та їх властивості; про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику та їх властивості; про властивість бісектриси трикутника;

• навчитеся обґрунтовувати подібність трикутників, використовувати узагальнену теорему Фалеса та подібність трикутників до розв’язування задач.

§12 УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ФАЛЕСА

Нагадаємо, що відношенням відрізків AB і CD називають відношення їх довжин, тобто .

Кажуть, що відрізки AB і CD пропорційні відрізкам A1B1 і C1D1, якщо = .

Наприклад, якщо AB = 6 см; CD = 8 см; A1B1 = 3 см; C1D1 = 4 см, то = .

Справді = = 2.

Поняття пропорційності можна поширити і на більшу кількість відрізків. Наприклад, три відрізки AB, CD і MN пропорційні трьом відрізкам A1B1, C1D1 і M1N1, якщо = = .

У з а г а л ь н е н а т е о р е м а Ф а л е с а (теорема про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.

Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі BC і B1C1 перетинають сторони кута A (мал. 123). Доведемо, що = .

1) Розглянемо випадок, коли довжини відрізків AC і CC1 є раціональними числами (цілими або дробовими). Тоді існує відрізок завдовжки h, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку AC, і на відрізку CC1.

Нехай AC = a, CC1 = b, а і b - раціональні числа. Запишемо

їх у вигляді дробу з однаковим знаменником: CC1 = .

AC = ,

Тому h = . Маємо: AC = ph, СС = qh.

2) Розіб’ємо відрізок AC на p рівних частин завдовжки h, а відрізок CC1 — на q рівних частин завдовжки h. Проведемо через точки розбиття прямі, паралельні прямій BC (мал. 123). За теоремою Фалеса вони розіб’ють відрізок AB1 на (p + q) рівних відрізків завдовжки h1, причому AB складатиметься з p таких відрізків, а BB1 - з q таких відрізків. Маємо: AB = ph1, BB1= qh1.

Мал. 123

3) Знайдемо відношення = .

Матимемо:

= = i = = .

Отже, = .

Враховуючи, що в пропорції середні члени можна поміняти місцями, з доведеної рівності приходимо до наступного.

Н а с л і д о к 1. = .

Н а с л і д о к 2. = .

Д о в е д е н н я. Оскільки = то = .

Додамо до обох частин цієї рівності по одиниці:

1 + = 1 + тобто = .

Враховуючи, що AB + BB1 = AB1, AC + CC1 = AC1, матимемо: = . Звідки = .

Розглянемо, як побудувати один із чотирьох відрізків, що утворюють пропорцію, якщо відомо три з них.

Задача. Дано відрізки a, b, c. Побудуйте відрізок x = .

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки x = , то = i = .

Для побудови відрізка х можна використовувати як узагальнену теорему Фалеса, так і один з її наслідків. Використаємо, наприклад, наслідок 1.

1) Будуємо нерозгорнутий кут з вершиною O (мал. 124). Відкладаємо на одній з його сторін відрізок OB = b, а на другій - відрізки OA = а і AC = с.

2) Проведемо пряму AB. Через точку С паралельно AB проведемо пряму, яка перетне сторону OB кута в точці D. Тому: CD || AB.

Мал. 124

3) За наслідком 1 з узагальненої теореми Фалеса маємо:

= , звідки BD = .

Отже, BD = x.

Побудований відрізок x називають четвертим пропорційним відрізків a, b і с, оскільки справджується рівність а : b = с : х.

Відношення і пропорції в геометрії використовувалися з давніх-давен. Про це свідчать давньоєгипетські храми, деталі гробниці Менеса в Нечаді; піраміди у Гизі (III ст. до н. е.), персидські палаци, давньоіндійські пам'ятки тощо.

Гробниця Менеса

Піраміди у Гизі

У сьомій книзі «Начал» Евклід виклав арифметичну теорію вчення про відношення, яку застосував тільки до співрозмірних величин і цілих чисел. Теорія виникла на основі дій з дробами та застосовувалася для дослідження властивостей цілих чисел.

У п'ятій книзі Евклід виклав загальну теорію відношень і пропорцій, яку приблизно за 100 років до Евкліда розробив давньогрецький математик, механік і астроном Евдокс (408 р. до н. е. - 355 р. до н. е.). Ця теорія є основою вчення про подібність фігур, яку Евклід виклав у шостій книзі «Начал», де також було розв'язано задачу про ділення відрізка в даному відношенні.

Пропорційність відрізків прямих, які перетнуто кількома паралельними прямими, була відома ще вавилонським ученим, хоча багато істориків математики відносять це відкриття до надбань Фалеса Мілетського.

1. Що називають відношенням відрізків?

2. Сформулюйте узагальнену теорему Фалеса.

3. За якої умови відрізок x є четвертим пропорційним відрізків a, b і c?

1

Початковий рівень

434. (Усно.) На малюнку 125 AB || CD. Які з пропорцій справджуються:

1) = ;

2) = ;

3) = ;

4) = .

Мал. 125

435. На малюнку 125 AB || CD, OA = 2, AC = 3, BD = 6. Знайдіть OB.

436. На малюнку 125 AB || CD, OB = 6, BD = 9, OA = 4. Знайдіть AC.

2

Середній рівень

437. Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута O (мал. 126). AC = 6 см, CE = 2 см, BD = 5 см. Знайдіть BF.

438. Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута O (мал. 126), BD = 4 см, DF = 2 см, CE = 3 см. Знайдіть AE.

Мал. 126

439. Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута з вершиною O (мал. 126). OA = 3 см, AC = 4 см, BD = 5 см, DF = 2 см. Знайдіть CE і OB.

440. Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута з вершиною O (мал. 126). OB = 5, BD = 7, AC = 4, CE = 3. Знайдіть OA і DF.

3

Достатній рівень

441. Дано відрізки a, b, c. Побудуйте відрізок х = .

442. Дано відрізки l, n, т. Побудуйте відрізок х = .

443. На малюнку 125 AB || CD, OA = 4, AC = 6. Знайдіть відрізки OB і BD, якщо OD = 15.

444. На малюнку 125 AB || CD, OB = 5, BD = 7. Знайдіть відрізки OA і AC, якщо AC - OA = 1.

4

Високий рівень

445. На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так, що AM : MB = 1 : 3. У якому відношенні відрізок CM ділить медіану AP трикутника ABC?

446. AD - медіана трикутника ABC, точка M лежить на стороні AC, відрізок BM ділить AD у відношенні 5 : 3, починаючи від точки A. Знайдіть AM : MC.

Вправи для повторення

3

447. Діагональ чотирикутника дорівнює 5 см, а периметри трикутників, на які вона розбиває чотирикутник, дорівнюють 12 см і 14 см. Знайдіть периметр чотирикутника.

4

448. Тупий кут прямокутної трапеції дорівнює 120°, а менша діагональ трапеції дорівнює більшій бічній стороні. Знайдіть відношення середньої лінії трапеції до більшої бічної сторони.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

449. ∆ABC = ∆MKL. Заповніть пропуски:

1) ∠A = …;

4) MK = …;

2) ∠B = …;

5) ML = …;

3) ∠C = …;

6) KL = … .

450. Сторони одного трикутника вдвічі більші за відповідні сторони другого трикутника. У скільки разів периметр першого трикутника більший за периметр другого?

451. Дано ∆ABC і ∆A1B1C1. Відомо, що ∠A = ∠А1; ∠B = ∠B1 Чи можна стверджувати, що

1) ∠С = ∠C1; 2) ∆ABC = ∆A1B1C1?

Цікаві задачі для учнів неледачих

452. Дано квадрат ABCD. Скільки існує точок K у площині цього квадрата таких, що кожний із трикутників ABK, BCK, CDK і ADK - рівнобедрений?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити