Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

§13. ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ

У повсякденному житті трапляються предмети однакової форми, але різних розмірів, наприклад, футбольний м’яч та металева кулька, картина та її фотознімок, літак і його модель, географічні карти різного масштабу. У геометрії фігури однакової форми прийнято називати подібними. Так, подібними між собою є всі квадрати, усі круги, усі відрізки.

Два трикутники називають подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого.

Це означає, що коли трикутники ABC і A1B1C1 подібні між собою (мал. 127), то ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1 і  =  =  

Мал. 127

Нехай значення кожного з отриманих відношень відповідних сторін дорівнює k. Число k називають коефіцієнтом подібності трикутника ABC до трикутника A1B1C1, або коефіцієнтом подібності трикутників ABC і A1B1C1.

Подібність трикутників прийнято позначати символом ∾. У нашому випадку ∆ABC ∾ ∆A1B1C1. Зауважимо, що із співвідношення  =  =   слідує співвідношення AB : BC : AC = A1B1 : B1C1 : A1C1.

Задача 1. Доведіть, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін цих трикутників.

Д о в е д е н н я. Нехай ∆ABC ∾ ∆A1B1C1 і  =  =   = k

Тоді AB = kA1B1, BC = kB1C1, AC = kA1C1.

Маємо:  =  =  =  = k .

Задача 2. Сторони трикутника ABC відносяться як 4 : 7 : 9, а більша сторона подібного йому трикутника A1B1C1 дорівнює 27 см. Знайдіть інші сторони другого трикутника.

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки за умовою AB : BC : AC = 4 : 7 : 9 і ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, то A1B1: B1C1: A1C1= 4 : 7 : 9. Позначимо A1B1 = 4x, B1C1 = 7x, A1C1 = 9x. За умовою 9x = 27, тоді x = 3 (см). Маємо: A1B1 = 4 ∙ 3 = 12 (см), B1C1 = 7 ∙ 3 = 21 (см).

В і д п о в і д ь. 12 см, 21 см.

Зауважимо, що подібні трикутники легко створювати за допомогою сучасних комп’ютерних програм, зокрема графічних редакторів. Для цього достатньо побудований трикутник розтягнути або стиснути, «потягнувши» за один з кутових маркерів.

А ще раніше...

Однакові за формою, але різні за розміром фігури використовувалися ще у вавилонських та єгипетських пам'ятках архітектури. Так, наприклад, у камері батька фараона Рамзеса II є стіна, що вкрита сіткою квадратиків, за допомогою яких на цю стіну переносили у збільшеному вигляді малюнки маленьких розмірів.

Учення про подібні фігури, яке ґрунтувалося на теорії відношень і пропорцій, було створено в Давній Греції у V-IV ст. до н. е. завдяки працям Гіпократа Хіоського, Архита Тарентського, Евдокса та інших. Узагальнив ці відомості Евклід у шостій книзі «Начал». Починається теорія подібності з наступного означення:

«Подібні прямолінійні фігури - це ті, які мають відповідно рівні кути і пропорційні сторони».

1. Наведіть з довкілля приклади предметів однакової форми.

2. Які трикутники називають подібними?

3. Що таке коефіцієнт подібності?

1

Початковий рівень

453. (Усно.) Дано: ∆ABC ∾ ∆MNK. Заповніть пропуски:

1) ∠A = ∠...;         2) ∠B = ∠...;   3) ∠C = ∠... .

454. Дано: ∆ABC ∾ ∆KLM,  = 2.

Заповніть пропуски:

1)  = …;   2)  = … .

455. Дано: ∆MLF ∾ ∆PNK. Складіть усі можливі пропорції для сторін трикутників.

2

Середній рівень

456. Дано: ∆MNL ∾ ∆ABC, ∠M = 40°, ∠B = 80°. Знайдіть невідомі кути обох трикутників.

457. Дано: ∆ABC ∾ ∆DEF, ∠A = 30°, ∠F = 90°. Знайдіть невідомі кути обох трикутників.

458. Дано: ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, AB = 8 см, A1B1 = 2 см. Знайдіть:

1)  ;  2) .

459. Дано: ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, AB = 10, BC = 8, CA = 6, A1B1 = 5. Знайдіть: B1C1, C1A1.

460. Дано: ∆KLM ∾ ∆K1L1M1, KL = 12, KM = 9, LM = 21, K1L1 = 4. Знайдіть: K1M1, L1M1.

3

Достатній рівень

461. Сторони трикутника відносяться як 7 : 8 : 9. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, якщо його:

1) менша сторона дорівнює 21 см;

2) більша сторона на 5 см більша за середню;

3) периметр дорівнює 48 см.

462. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 9. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, якщо його:

1) більша сторона дорівнює 18 см;

2) менша сторона на 3 см менша від середньої;

3) периметр дорівнює 100 см.

463. Доведіть, що два рівносторонніх трикутники між собою подібні.

4

Високий рівень

464. Периметри подібних трикутників відносяться як 2 : 3, а сума їх найбільших сторін дорівнює 20 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 2 : 3 : 4.

465. Периметри подібних трикутників відносяться як 4 : 3, а сума їх найменших сторін дорівнює 21 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 3 : 4 : 5.

Вправи для повторення

3

466. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Знайдіть усі пари рівних трикутників, що при цьому утворилися.

4

467. Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, належить середній лінії трапеції.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

468. На малюнку 128 пряма KL паралельна стороні BC різностороннього трикутника ABC. Знайдіть усі рівні між собою кути на цьому малюнку.

Мал. 128

Цікаві задачі для учнів неледачих

469. Точки K і L належать відповідно сторонам AB і AC трикутника ABC. Чи може точка перетину відрізків BL і KC ділити кожний з них навпіл?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити