Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

§14. ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Подібність трикутників аналогічно до рівності трикутників можна встановлювати за допомогою ознак.

Перш ніж їх розглянути, сформулюємо і доведемо лему, тобто допоміжне твердження, яке є правильним і використовується для доведення однієї або кількох теорем.

Л е м а. Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

Д о в е д е н н я. Нехай пряма B1C1 перетинає сторони AB і AC трикутника ABC відповідно у точках B1 і C1 (мал. 129). Доведемо, що ∆ABC ∾ ∆AB1C1.

1) Кут A є спільним для обох трикутників, ∠B = ∠B1 (як відповідні кути при паралельних прямих BC і B1C1 та січній AB), ∠C = ∠C1 (аналогічно для січної AC). Отже, три кути трикутника ABC дорівнюють відповідним кутам трикутника AB1C1.

2) За наслідком 2 з узагальненої теореми Фалеса маємо:

 = .

Мал. 129

3) Доведемо, що  = .

Проведемо через точку B1 пряму, паралельну AC, що перетинає BC у точці M. Оскільки B1MCC1 - паралелограм, то B1C1 = MC. За узагальненою теоремою Фалеса:  = .

Додамо число 1 до обох частин цієї рівності.

Матимемо:  + 1 =  + 1;  =  = .

Але MC = B1C1. Отже,  = .

4) Остаточно маємо: ∠A = ∠A, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1 і  =  =   .

Отже, ∆ABC ∾ ∆AB1C1.

T е о р е м а 1 (ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути, утворені цими сторонами, між собою рівні, то трикутники подібні.

Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких ∠A = ∠A1 і  = (мал. 130). Доведемо, що ∆ABC ∾ ∆A1B1C1.

1) Відкладемо на стороні AB трикутника ABC відрізок AB2 = A1B1 і проведемо через B2 пряму, паралельну BC (мал. 131). Тоді ∆ABC ∾ ∆AB2C2 (за лемою).

Мал. 130

Мал. 131

2) За наслідком 2 з узагальненої теореми Фалеса  = .

Але AB2 = A1B1 (за побудовою). Тому  =  .

За умовою  =   , отже,  =  і звідси A1C1 = AC2.

3) Оскільки ∠A = ∠A1, AB= A1Bі AC2 = A1C1, то ∆AB2C2 = ∆A1B1C1 (за двома сторонами і кутом між ними).

4) Але ∆ABC ∾ ∆AB2C2, отже, ∆ABC ∾ ∆A1B1C1.

Н а с л і д о к 1. Прямокутні трикутники подібні, якщо катети одного з них пропорційні катетам другого.

Н а с л і д о к 2. Якщо кут при вершині одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при вершині другого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні.

Т е о р е м а 2 (ознака подібності трикутників за двома кутами). Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то ці трикутники подібні.

Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (мал. 130).

1) Виконаємо побудови, аналогічні до тих, що й у доведенні теореми 1 (мал. 131). Маємо: ∆ABC ∾ ∆AB2C2.

2) ∠AB2C2 = ∠B, але ∠B = ∠B1. Тому ∠AB2C2 = ∠B1.

3) Тоді ∆AB2C2 = ∆A1B1C1 (за стороною і двома прилеглими кутами).

4) Отже, ∆ABC ∾ ∆A1B1C1.

Н а с л і д о к 1. Рівносторонні трикутники подібні.

Н а с л і д о к 2. Якщо кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівно- бедреного трикутника, то ці трикутники подібні.

Н а с л і д о к 3. Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.

Т е о р е м а 3 (ознака подібності трикутників за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то ці трикутники подібні.

Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких  =  = (мал. 130).

1) Виконаємо побудови, аналогічні до тих, що й у доведенні теореми 1 (мал. 131).

Маємо: ∆ABC ∾ ∆AB2C2.

2) Тоді  =  = , але AB= A1B1, тому  =  = .

Враховуючи, що  =  = , маємо: AC2 = A1C1, B2C2 = B1C1.

3) Тоді ∆AB2C2 = ∆A1B1C1 (за трьома сторонами).

4) Отже, ∆ABC ∾ ∆A1B1C1.

Задача 1. Сторони одного трикутника дорівнюють 9 см, 15 см і 18 см, а сторони другого трикутника відносяться як 3 : 5 : 6. Чи подібні ці трикутники?

Р о з в’ я з а н н я. Позначимо сторони другого трикутника через 3x, 5x і 6x. Оскільки  =  =  = , то трикутники подібні (за трьома сторонами).

В і д п о в і д ь. Так.

Задача 2. Сторони паралелограма дорівнюють 15 см і 10 см, а висота, проведена до більшої сторони, - 8 см. Знайдіть висоту, проведену до меншої сторони.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай ABCD - паралелограм (мал. 132). AD = 15 см, AB = 10 см, BM = 8 см - висота паралелограма. Проведемо DN - другу висоту паралелограма.

∆ABM ∾ ∆ADN (як прямокутні зі спільним гострим кутом). Тоді  = , тобто  = , звідки 10 ∙ DN = 8 ∙ 15, отже, DN = 12 (см).

В і д п о в і д ь. 12 см.

Мал. 132

Сформулюйте і доведіть ознаки подібності трикутників та наслідки з них.

1

Початковий рівень

470. (Усно.) За яких умов два трикутники подібні:

1) у трикутників є спільний кут;

2) два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого;

3) дві сторони одного трикутника дорівнюють двом сторонам другого?

471. За яких умов ∆АВС ∾ ∆DEF:

1) ∠A =  ∠ D;

2) ∠A = 30°, ∠B = 40°, ∠D = 30°, ∠E = 40°;

3) AB = 2DE, BC = 2EF;

4) ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠D = 40°, ∠E = 90°?

472. За яких умов ∆ABC ∾ ∆MNK:

1) AB = MN = 20 см, BC = NK = 10 см;

2) ∠A = ∠M;  = ;

3) ∠A = 100°, ∠B = 30°, ∠M = 70°, ∠N = 20°;

4) ∠C = ∠K, CB = 5, CA = 2, KN = 10, KM = 4?

473. Доведіть, що ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, якщо:

1) AB = 2, BC = 3, AC = 4, A1B1 = 4, B1C1 = 6, A1C1 = 8;

2) ∠A = 20°, ∠A1 = 20°, AB = 3, AC = 5, A1B1 = 9, A1C1 = 15;

3) ∠A = 30°, ∠B = 40°, ∠B1 = 40°, ∠C1 = 110°.

474. Доведіть, що ∆MNK ∾ ∆M1N1K1, якщо:

1) M = ∠M1, MN = 5, MK = 6, M1N1 = 10, M1K1 = 12;

2) ∠M = 90°,∠= 50°, ∠K1 = 40°, ∠N1 = 50°;

3) MN = 3, NK = 4, MK = 5, M1N1 = 6, N1K1 = 8, M1K1 = 10.

2

Середній рівень

475. Прямі AB і CD перетинаються в точці O, AC || BD. Доведіть, що ∆AOC ∾ ∆BOD.

476. Прямі MN і KL перетинаються в точці O, ∠MLO = ∠NKO. Доведіть, що ∆MOL ∾ ∆NOK.

477. На сторонах AB і AC трикутника ABC відповідно позначено точки P і L так, що AP =  AB, AL =  AC. Доведіть, що ∆APL ∾ ∆ABC.

478. На сторонах KL і KN трикутника KLN відповідно позначено точки A і B так, що  KA =  KL, KB = KN.

Доведіть, що ∆KAB ∾ ∆KLN.

479. Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо:

1) AB : BC : CA = 3 : 4 : 6, A1B1= 6, B1C1 = 8, C1A1= 11;

2) ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠A1 : ∠B1 : ∠C1 = 1 : 2 : 3?

480. Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо:

1) AB : BC : CA = 4 : 3 : 7, A1B1 = 8, B1C1 = 6, C1A1 = 14;

2) ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4, ∠A1 = 20°, ∠B1 = 50?

481.  На малюнках 133-135 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

Мал. 133

Мал. 134

Мал. 135

482. На малюнках 136-138 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

Мал. 136

Мал. 137

Мал. 138

483. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB || CD). Доведіть, що ∆AOB ∾ ∆COD.

484. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD, у якої AB || CD. AB = 10 см, CD = 5 см, OD = 4 см. Знайдіть OB.

485. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB || CD) поділяє діагональ BD на відрізки DO = 3 см, OB = 9 см. Знайдіть AB, якщо DC = 2 см.

486.  У трикутнику ABC (∠C = 90°) на катеті AC і гіпотенузі AB позначено точки M і N так, що AM =  AC, AN = AB. Доведіть, що ∆AMN - прямокутний.

487. На катеті BC і гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точки P і F так, що BP =  BC, BF =  BA.

Доведіть, що PF =  CA.

488. Кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикутника. Периметр першого трикутника - 36 см. Знайдіть його сторони, якщо у другого трикутника бічна сторона відноситься до основи як 5 : 2.

489. Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при вершині одного з них дорівнює куту при вершині другого. Периметр першого трикутника - 30 см. Знайдіть його сторони, якщо у другого трикутника основа відноситься до бічної сторони як 1 : 2.

3

Достатній рівень

490. На малюнках 139-141 ABCD - паралелограм. Знайдіть на цих малюнках усі пари подібних трикутників і доведіть їх подібність.

Мал. 139

Мал. 140

Мал. 141

491. На малюнку 142 ABCD - трапеція, ∠ABC = ∠ACD. Знайдіть подібні трикутники на цьому малюнку і доведіть, що CA2 = BC ∙ AD.

Мал. 142

492. Кути одного трикутника відносяться як 2 : 3 : 4, а один з кутів другого трикутника на 20° більший за другий і на 20° менший від третього. Чи подібні ці трикутники?

493. Кути одного трикутника відносяться як 1 : 3 : 2, а другий трикутник є прямокутним, у якого один з гострих кутів дорівнює половині другого. Чи подібні ці трикутники?

494. У паралелограмі ABCD точки E, F, M і N належать відповідно сторонам AB, BC, CD і DA.

.

Доведіть, що ∠BFE = ∠DNM.

495. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, .

Доведіть, що ∠BCO = ∠ADO.

496. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD || BC), BO = 4 см, DO = 7 см. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 22 см.

497. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD || BC), AD = 11 см, BC = 5 см. Знайдіть відрізки BO і OD, якщо їх різниця дорівнює 3 см.

498. У трикутнику ABC AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 18 см. На стороні AC відкладено відрізок CK = 6 см, на стороні BC - відрізок CP = 4 см.

1) Чи подібні трикутники ABC і KPC?

2) Чи паралельні прямі AB і KP?

3) Знайдіть довжину відрізка PK.

499.  Пряма MN паралельна стороні AB трикутника ABC, M ∈ AC, N ∈ BC. AB = 10 см, MN = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть довжину сторони AC.

500.  Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC. KB = 6 см, BC = 12 см, KL = 9 см. Знайдіть довжину сторони AB.

501.  На малюнку 143 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

502.  На малюнку 144 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

Мал. 143

Мал. 144

4

Високий рівень

503.  Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при вершині одного з них дорівнює куту при вершині другого. Периметр першого трикутника дорівнює 90 см. Знайдіть його сторони, якщо сторони другого трикутника відносяться як 4 : 7. Скільки випадків слід розглянути?

504.  Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при основі одного трикутника дорівнює куту при основі другого. Сторони одного з трикутників відносяться як 5 : 8, а периметр другого дорівнює 126 см. Знайдіть сторони другого трикутника. Скільки випадків слід розглянути?

505. ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, CD і C1D1 - бісектриси даних трикутників. Доведіть, що ∆ADC ∾ ∆ДA1D1C1.

506. ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, AM і A1M1 - медіани даних трикутників. Доведіть, що ∆AMC ∾ ∆A1M1C1.

507. На стороні BC трикутника ABC позначено точку F так, що ∠BAF = ∠C, BF = 4 см, AB = 6 см. Знайдіть BC.

508. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K так, що  ∠ABK = ∠C. Знайдіть KC, якщо AB = 2 см, AK = 1 см.

509.  У прямокутний трикутник ABC з катетами а см і b см і прямим кутом A вписано квадрат AKLM, K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ AC. Знайдіть сторону квадрата.

510. Периметр паралелограма дорівнює 24 см, а його висоти відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони паралелограма.

511. Периметр паралелограма дорівнює 30 см, а його висоти - 4 см і 8 см. Знайдіть сторони паралелограма.

512. У трикутник ABC вписано ромб AKFP так, що кут A у них спільний, P ∈ AB, F ∈ BC, K ∈ AC. Знайдіть сторону ромба, якщо CK = 4 см, PB = 9 см.

513. У рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 6 см, а бічна сторона - 10 см, вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін.

Вправи для повторення

2

514. Знайдіть кути трикутника, якщо три його середні лінії рівні між собою.

3

515. У рівнобічній трапеції ABCD (AD || BC) E - середина A, D, F - середина BC, K - середина AB. Доведіть, що KE = KF.

516. Кожна з бічних сторін рівнобедреного трикутника дорівнює а см. З точки, узятої на основі трикутника, проведено прямі, паралельні бічним сторонам. Обчисліть периметр паралелограма, який утворився.

517. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат.

Цікаві задачі для учнів неледачих

518. Чи можуть бісектриса і медіана, що виходять з вершини прямого кута трикутника, утворювати рівнобедрений трикутник? Якщо так, то знайдіть менший з гострих кутів прямокутного трикутника.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити