Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

§15. СЕРЕДНІ ПРОПОРЦІЙНІ ВІДРІЗКИ У ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ

Л е м а. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два подібних прямокутних трикутники, кожний з яких подібний даному трикутнику.

Д о в е д е н н я. Нехай ABC - прямокутний трикутник (∠C = 90°), CD - висота трикутника (мал. 145). Доведемо, що ∆ABC ∾ ∆ACD, ∆ABC ∾ ∆CBD і ∆ACD ∾ ∆CBD.

1) У прямокутних трикутників ABC і ACD кут A - спільний. Тому ∆ABC ∾ ∆ACD (за гострим кутом).

2) Аналогічно ∆ABC ∾ ∆CBD (∠B - спільний, ∠BCA = ∠BDC = 90°). Звідки ∠A = ∠BCD.

3) У трикутників ACD (∠D = 90°) і CBD (∠D = 90°) ∠A = ∠CD. Тому ∆ACD ∾ ∆CBD (за гострим кутом).

Мал. 145

Відрізок AD називають проекцією катета AC на гіпотенузу AB, а відрізок BD - проекцією катета BC на гіпотенузу AB.

Відрізок k називають середнім пропорційним (або середнім геометричним) відрізків m і n, якщо k2 = m ∙ n.

Т е о р е м а (про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику). 1) Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу. 2) Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.

Д о в е д е н н я. Розглянемо малюнок 145.

1) ∆ACD ∾ ∆CBD (за лемою). Тому = , або CD2 = AD ∙ BD.

2) ∆ABC ∾ ∆ACD (за лемою). Тому = , або AC2 = AB ∙ AD.

3) ∆ABC ∾ ∆CBD (за лемою). Тому = , або BC2 = AB ∙ BD.

Задача 1. CD - висота прямокутного трикутника ABC з прямим кутом С. Доведіть, що = .

Д о в е д е н н я. Розглянемо малюнок 145. Оскільки AC2 = AB ∙ AD, то АВ = , а оскільки BC2 = AB ∙ AD, то АВ = .

Тому = , звідки = .

Задача 2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 9 см і 16 см. Знайдіть периметр трикутника.

Р о з в’ я з а н н я. Розглянемо малюнок 145, де AD = 9 см, DB = 16 см.

1) AB = AD + DB = 9 + 16 = 25 (см).

2) AC2= AB ∙ AD, тобто AC2= 25 ∙ 9 = 225. Оскільки 152 = 225, то AC = 15 (см).

3) BC2 = AB ∙ BD, BC2 = 25 ∙ 16 = 400. Оскільки 202 = 400, то BC = 20 (см).

4) PAВСD = 25 + 15 + 20 = 60 (см).

В і д п о в і д ь. 60 см.

Під час розв’язування задач цього параграфа радимо використовувати таблицю квадратів натуральних чисел (див. форзац).

1. Сформулюйте і доведіть лему із цього параграфа.

2. Який відрізок називають середнім пропорційним двох відрізків?

3. Сформулюйте і доведіть теорему про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1

Початковий рівень

519. (Усно.) На малюнку 146 NK - висота прямокутного трикутника PNM (∠N = 90°). Назвіть:

1) проекцію катета NM на гіпотенузу;

2) проекцію катета NP на гіпотенузу.

520. (Усно.) NK - висота прямокутного трикутника PNM (мал. 146). Які з рівностей правильні:

1) NK = PK ∙ KM; 2) NM2 = KM ∙ PM;

3) PN = PK ∙ KM; 4) PK ∙ KM = NK2?

Мал. 146

521. NK - висота прямокутного трикутника PNM з прямим кутом N (мал. 146). Заповніть пропуски:

1) NK2 = …; 2) NM2 = …;

3) PK ∙ PM = …; 4) PK ∙ KM = … .

522. Знайдіть середнє пропорційне відрізків завдовжки:

1) 2 см і 8 см; 2) 27 дм і 3 дм.

523. Знайдіть середнє пропорційне відрізків завдовжки:

1) 16 дм і 1 дм; 2) 4 см і 9 см.

2

Середній рівень

524. Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 9 см і 25 см.

525. Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену з вершини прямого кута, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 2 см і 8 см.

526. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза - 16 см.

527. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 25 см, а проекція катета на гіпотенузу - 9 см.

528. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см, а його проекція на гіпотенузу - 9 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

529. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а гіпотенуза - 9 см. Знайдіть проекцію цього катета на гіпотенузу.

530. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 8 см і 4,5 см. Знайдіть катети трикутника.

531. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 50 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу - 18 см. Знайдіть катети трикутника.

3

Достатній рівень

532. Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки 1 см і 8 см, починаючи від вершини кута при основі. Знайдіть периметр трикутника.

533. Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки 6 см і 2 см, починаючи від вершини, протилежної основі. Знайдіть периметр трикутника.

534. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки, що відносяться як 9 : 16. Знайдіть катети трикутника, якщо його висота дорівнює 24 см.

535. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких дорівнює 16 см, а другий відноситься до висоти як 3 : 4. Знайдіть висоту трикутника.

536. Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону ромба на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть радіус кола.

4

Високий рівень

537. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої 10 см і 8 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

538. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основа якої 13 см і 5 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

539. Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трапеції.

540. Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику одну з бічних сторін на відрізки завдовжки 2 см і 8 см, а другу - на відрізки, один з яких дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трапеції.

Вправи для повторення

541. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює зі стороною трикутника кут 18°. Знайдіть кути трикутника.

542. Про трикутники ABC і KLM відомо, що ∠A + ∠B = ∠K + ∠L, ∠B + ∠C = ∠L + ∠M. Чи подібні ці трикутники?

543. У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Доведіть, що тупий кут трапеції дорівнює тупому куту між діагоналями.

Цікаві задачі для учнів неледачих

544. (Олімпіада Нью-Йорка, 1976 р.) Висоти гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці O, а на відрізках OB і OC позначено точки B1 і C1, для яких ∠AB1C = ∠AC1B = 90°. Доведіть, що AB1 = AC1.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити