Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

§16. ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ ТРИКУТНИКА

Т е о р е м а (властивість бісектриси трикутника). Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Д о в е д е н н я. Нехай AL - бісектриса трикутника ABC (мал. 147). Доведемо, що  = .

1) Проведемо через точку C пряму, паралельну AB, та продовжимо бісектрису AL до перетину із цією прямою в точці K. Тоді ∠LKC = ∠BAL (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CK та січній AK).

2) Трикутник AKC - рівнобедрений (оскільки ∠BAL = ∠LAC і ∠BAL =  ∠LKC, а тому ∠KAC = ∠AKC), а отже, AC = KC.

3) ∠BLA = ∠CLK (як вертикальні). Тому ∆ABL ∾ ∆KCL (за двома кутами). Отже,  = .

Але KC = AC, тому  = .

Мал. 147

З пропорції  =  можна отримати й таку:  = .

Задача 1. У трикутнику ABC AB = 8 см, AC = 4 см, BC = 9 см, AL - бісектриса трикутника. Знайдіть BL і LC.

Р о з в’ я з а н н я. Розглянемо ДABC на малюнку 147. Нехай BL = x (см), тоді LC = BC - BL = 9 - x (см). Оскільки  = , маємо рівняння:  = ,  звідки x = 6 (см).

Отже, BL = 6 см, LC = 9 - 6 = 3 (см).

В і д п о в і д ь. 6 см, 3 см.

Задача 2. Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 24 см, а бічна сторона відноситься до основи як 3 : 2. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай у трикутнику ABC AB = BC, BK - медіана (мал. 148).

Тоді BK є також висотою і бісектрисою. Оскільки точка I - центр вписаного кола - є точкою перетину бісектрис трикутника, то I є BK, IK - радіус кола.

Оскільки AB : AC = 3 : 2, позначимо AB = 3x, AC = 2x. K - середина AC, тому AK =  =  = x.

Оскільки AI - бісектриса трикутника ABK, то  = 

Мал. 148

Нехай IK = r. Тоді BI = 24 - r. Маємо:  = звідки r = 6 (см).

В і д п о в і д ь. 6 см.

Сформулюйте й доведіть теорему про властивість бісектриси трикутника.

1

Початковий рівень

545. BP - бісектриса трикутника ABC (мал. 149). Які з рівностей є пропорціями:

1)  = ;

2)  = ;

3)  = ;

4)  = ?

Мал. 149

546. BP - бісектриса трикутника ABC (мал. 149). AP : PC = 1 : 2, AB = 4 см. Знайдіть BC.

547. BP - бісектриса трикутника ABC (мал. 149). AB : BC = 1 : 2, AP = 7 см. Знайдіть PC.

2

Середній рівень

548. BD - бісектриса трикутника ABC, AD = 3 см, DC = 9 см. Знайдіть відношення сторін  .

549. MA - бісектриса трикутника MNL, ML = 4 см, MN = 16 см. Знайдіть відношення відрізків .

550. MD - бісектриса трикутника KMP, KM = 8 cм, MP = 6 см. Менший з відрізків, на які бісектриса MD ділить сторону KP, дорівнює 3 см. Знайдіть KP.

551. У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 12 см. Більший з відрізків, на які бісектриса BK ділить сторону AC, дорівнює 6 см. Знайдіть AC.

3

Достатній рівень

552. AL - бісектриса трикутника ABC, AB = 15 см, AC = 12 см, BC = 18 см. Знайдіть BL і LC.

553. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця довжин яких 1 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 8 см і 6 см.

554. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18  см, а бісектриса ділить бічну сторону на відрізки, з яких той, що суміжний з основою, дорівнює 12 см. Знайдіть периметр трикутника.

555. У рівнобедреному трикутнику основа менша від бічної сторони на 9 CМ, а бісектриса ділить бічну сторону на відрізки, які відносяться як 2 : 5. Знайдіть периметр трикутника.

4

Високий рівень

556. У трикутнику, сторони якого дорівнюють 15 CМ, 21 см і 24 CМ, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр півкола ділить більшу сторону?

557.  У трикутник ABC вписано ромб CKLM так, що кут C у них спільний, K ∈ AC, L ∈ AB, M ∈ BC. Знайдіть довжини відрізків AL і LB, якщо AC = 18 cм, BC = 12 cм, AB = 20 см.

Вправи для повторення

3

558. Чи може діагональ AC трапеції ABCD ділити навпіл як кут A, так і кут C?

4

559. У трикутнику ABC проведено висоту CH, причому CH² = AH ∙ BH і точка H належить стороні AB. Доведіть, що трикутник ABC - прямокутний (∠C = 90°).

Цікаві задачі для учнів неледачих

560.  1) Розв’яжіть задачу та отримайте прізвище видатного українця - ученого в галузі ракетобудування та космонавтики, конструктора перших штучних супутників Землі і космічних кораблів.

Знайдіть кути A і B паралелограма ABCD, якщо ...	∠A	∠ B
∠A на 20° більший за ∠B	Л	Р
∠A втричі менший від ∠B	К	В
∠A : ∠B = 7 : 5	Ь	О

45°	75°	80°	75°	100°	105°	75°	135°

2) Поцікавтеся (використовуючи різні джерела інформації) біографією та досягненнями нашого видатного земляка.