Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 2 ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

§17. ЗАСТОСУВАННЯ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Розглянемо деякі цікаві властивості геометричних фігур, які легко встановити з подібності трикутників, та застосування подібності до практичних задач.

1. Пропорційність відрізків хорд.

Т е о р е м а 1 (про пропорційність відрізків хорд). Якщо хорди AB і CD перетинаються в точці S, то AS BS = CS DS.

Д о в е д е н н я. Нехай хорди AB і CD перетинаються в точці S (мал. 150). Розглянемо ASAD і ASCB, у яких ∠ASD = ∠ CSB (як вертикальні), ∠DAB = ∠DCB (як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу).

Тоді ∆SAD ∾ ∆SCB за двома кутами, а отже, , тобто AS ∙ BS = CS ∙ DS.

Мал. 150

Н а с л і д о к. Якщо О — центр кола, то AS ∙ BS = MS ∙ NS = R2 - а2, де R — радіус кола, а = SO.

Д о в е д е н н я. Проведемо діаметр MN, що проходить через точку S (мал. 151). Тоді AS ∙ BS = MS ∙ NS, AS ∙ BS = (R + a)(R - a), AS ∙ BS = R2 - a2. Остаточно маємо: AS ∙ BS = MS ∙ NS = R2 - a2.

Мал. 151

Мал. 152

Задача 1. AL - бісектриса трикутника ABC. Доведіть формулу бісектриси: AL2 = AB ∙ AC - BL ∙ CL.

Д о в е д е н н я. Опишемо навколо трикутника ABC коло і продовжимо AL до перетину з колом у точці T (мал. 152).

1) ∠ABC = ∠ATC (як вписані кути, що опираються на одну й ту саму дугу AC), ∠ BAL = ∠CAL (за умовою). Тому ∆ABL ∾ ∆ATC (за двома кутами).

2) Маємо: , звідки AL ∙ AT = AB ∙ AC;

AL ∙ (AL + LT) = AB ∙ AC; AL2 + AL ∙ LT = AB ∙ AC. Але за теоремою про пропорційність відрізків хорд:

AL ∙ LT = BL ∙ CL.

3) Отже, AL2 + BL ∙ CL = AB ∙ AC, тобто AL2 = AB ∙ AC - BL ∙ CL.

2. Пропорційність відрізків січної і дотичної.

Т е о р е м а 2 (про пропорційність відрізків січної і дотичної). Якщо з точки S, що знаходиться поза колом, провести січну, яка перетинає коло в точках A і B, та дотичну SC, де C — точка дотику, то SC2 = SA ∙ SB.

Д о в е д е н н я. Розглянемо мал. 153. ∠ABC - вписаний, тому ∠ABC = ∠ SCA = (див. задачу 243), тобто

∠SCA = ∠ABC. Тому ∆CSA ∾ ∆BSC (за двома кутами), отже, = .

Звідки SC2= SA ∙ SB.

Мал. 153

Мал. 154

Н а с л і д о к 1. Якщо з точки S провести дві січні, одна з яких перетинає коло в точках A і B, а друга — у точках M і N, то SA ∙ SB = SM ∙ SN.

Наслідок є очевидним, оскільки кожний з добутків SA ∙ SB і SM ∙ SN за теоремою дорівнює SC2.

Н а с л і д о к 2. Якщо О — центр кола, то SC2 = SA ∙ SB = = а2 — R2, де R — радіус кола, а = SO.

Д о в е д е н н я. Проведемо січну через центр кола - точку O (мал. 154). Тоді за теоремою:

SC2= SM ∙ SN; SC2= (a - R)(a + R).

Отже, SC2= a2- R2. А тому SC2= SA ∙ SB = a2- R2.

3. Вимірювальні роботи на місцевості.

Припустимо, що нам необхідно виміряти висоту деякого предмета, наприклад висоту ялини M1N1 (мал. 155). Для цього встановимо на деякій відстані від ялини жердину MN з планкою, що обертається навколо точки N. Спрямуємо планку на верхню точку N1 ялини, як показано на малюнку 155. На землі позначимо точку A, у якій планка впиратиметься в поверхню землі.

Розглянемо ∆ANM (∠M = 90°) і ∆AN1M1 (∠M1 = 90°). ∠A - їх спільний гострий кут.

Тоді ∆ANM ∾ ∆AN1M1 (за гострим кутом).

Тому , звідки M1N1 = .

Мал. 155

Якщо, наприклад, MN = 2 м, AM = 3,2 м, AM1 = 7,2 м, то M1N1 = = 4,5 (м).

4. Задачі на побудову.

Задача 2. Побудуйте трикутник за двома кутами та медіаною, проведеною з вершини третього кута.

Р о з в’ я з а н н я. На малюнку 156 зображено два заданих кути і заданий відрізок. Побудуємо трикутник, у якого два кути відповідно дорівнюють двом заданим кутам, а медіана, проведена з вершини третього кута, дорівнює заданому відрізку.

Мал. 156

Мал. 157

1) Будуємо деякий трикутник, подібний до шуканого. Для цього побудуємо довільний трикутник ABC, у якого кути A1 і B1 дорівнюють заданим (мал. 157).

2) Проводимо медіану CM1 трикутника A1CB1 і відкладаємо на прямій CM1 відрізок CM, що дорівнює заданому.

3) Через точку M проводимо пряму, паралельну A1B1. Вона перетинає сторони кута C у деяких точках A і B (мал. 157).

4) Оскільки AB || A1B1, то ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Отже, два кути трикутника ABC дорівнюють заданим.

Доведемо, що M - середина AB.

∆A1CM1 ∾ ∆ACM (за двома кутами). Тому .

∆B1CM ∾ ∆BCM (за двома кутами). Тому .

Отже, = , тобто = .

Але A1M1 = B1M1 (за побудовою), тому = 1 і AM = BM.

Отже, CM - медіана трикутника ABC і трикутник ABC - шуканий.

1. Сформулюйте теорему про пропорційність відрізків хорд та наслідок з неї.

2. Сформулюйте теорему про пропорційність відрізків січної і дотичної та наслідки з неї.

1

Початковий рівень

561. (Усно.) T - точка перетину хорд AB і CD (мал. 158). Які з рівностей є правильними:

1) AT ∙ TC = BT ∙ TD; 2) AT ∙ TB = CT ∙ TD;

3) AT ∙ DT = CT ∙ BT; 4) CT ∙ DT = AT ∙ BT?

Мал. 158

Мал. 159

562. (Усно.) TA - відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках B і C та M і N (мал. 159). Які з рівностей є правильними:

1) TA2 = TB ∙ BC; 2) TA2 = TM ∙ TN;

3) TB ∙ TC = TM ∙ MN; 4) TM ∙ TN = TB ∙ TC?

2

Середній рівень

563. Хорди AB і CD кола перетинаються в точці P, AP = 9, PB = 2, DP = 4. Знайдіть CP.

564. Хорди MN і KL кола перетинаються в точці A, KA = 6, AL = 3, MA = 4. Знайдіть AN.

565. SA - відрізок дотичної до кола, A - точка дотику. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках B і C, SA = 6 см, SB = 4 см. Знайдіть SC і BC.

566. MP - відрізок дотичної до кола, P - точка дотику. Січна, що проходить через точку M, перетинає коло в точках B і C. MP = 4 см, MC = 8 см. Знайдіть MB і BC.

567. Хорда AB, довжина якої 16 см, перетинається з хордою CD в точці T. AT = 2 см, CT = 1 см. Знайдіть довжину хорди CD.

568. Хорда CD завдовжки 13 см, перетинає хорду MN у точці A. CA = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть довжину хорди MN.

569. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а інша січна, що проходить через точки S і центр кола O, - у точках C і D (мал. 160). SA = 4 см, SB = 16 см, SC = 2 см. Знайдіть радіус кола.

570. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що проходить через точки S і центр кола O, - у точках С і D (мал. 160). SA = 4 см, SB = 9 см, SC = 3 см. Знайдіть діаметр кола.

571. Для знаходження висоти ліхтаря B1C1 використали жердину BC завдовжки 1,5 м (мал. 161). AB = 1 м, AB1 = 6 м. Знайдіть висоту ліхтаря B1C1.

Мал. 160

Мал. 161

572. Двірник виміряв висоту ліхтаря B1C1, використавши жердину BC з планкою AC1 (мал. 161). Знайдіть довжину використаної жердини BC, якщо висота ліхтаря склала 8 м і AB1 = 10 м, AB = 2,5 м.

573. Щоб знайти на місцевості відстань від точки A до недоступної точки C, вибрали точку B, а потім на папері побудували трикутник A1B1C1 так, що ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1(мал. 162). Знайдіть AC, якщо AB = 30 м, A1B1 = 5 см, A1C1 = 7 см.

3

Достатній рівень

574. Хорди кола AB і CD перетинаються в точці E. AE : BE = 1 : 3, CD = 20 см, DE = 5 см. Знайдіть AB.

575. Через точку M, що знаходиться всередині кола, проведено дві хорди AB і CD, AM = MB, CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4. Знайдіть AB.

576. На малюнку 163 AB - дотична до кола, AB = 3 см. Точка O - центр кола, AO = 5 см. Знайдіть діаметр кола.

577. На малюнку 163 AB - дотична до кола, точка O - центр кола, AB = 8 см, AO = 10 см. Знайдіть радіус кола.

Мал. 162

Мал. 163

578. Діаметр кола AB перпендикулярний до хорди CD. AB і CD перетинаються в точці M. AM = 2 см, CM = 4 см. Знайдіть радіус кола.

579. Діаметр кола MN і хорда AB - взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці P. PB = 12 см, NP = 18 см. Знайдіть діаметр кола.

4

Високий рівень

580. Перпендикуляр, проведений з точки кола до радіуса, дорівнює 24 см і ділить радіус у відношенні 5 : 8, починаючи від центра. Знайдіть радіус кола.

581. Знайдіть бісектрису AL трикутника ABC, якщо AC = 15 см, AB = 12 см, BC = 18 см.

582. Побудуйте трикутник за двома кутами і бісектрисою, проведеною з вершини третього кута.

583. Побудуйте трикутник за двома кутами і висотою, проведеною з вершини третього кута.

584. Побудуйте трикутник ABC за даним кутом C, відношенням сторін AC : CB = 3 : 2 та медіаною CM.

Вправи для повторення

585. PL - бісектриса трикутника PMN, PN = 6 см, PM = 10 см. Більший з двох відрізків, на які бісектриса PL ділить сторону MN, дорівнює 5 см. Знайдіть менший із цих відрізків.

586. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 6. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 52 см.

4

587. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a см і b см (a > b). Знайдіть квадрат висоти трапеції, якщо її бічна сторона перпендикулярна до діагоналі.

Цікаві задачі для учнів неледачих

588. На продовженні найбільшої сторони AC трикутника ABC відкладено відрізок CM = BC. Чи може кут ABM бути: 1) гострим; 2) прямим?

Домашня самостійна робота № 3

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.

1

1. Дано: AB || CD (мал. 164), OA = 3 см; OB = 4 см; BD = 12 см.

Знайдіть AC.

A. 8 см; Б. 9 см;

B. 10 см; Г. 16 см.

Мал. 164

2. ∆ABC ∾ ∆DEF; AB : DE = 2 : 3. Знайдіть відношення EF : BC.

A. 5 : 2; Б. 3 : 5;

B. 2 : 3; Г. 3 : 2.

3. При яких з наведених умов ∆ABC ∾ ∆A1B1C1?

A. ∠A = ∠A1 = 30°;

Б. ∠A = ∠A1; ∠B = 40°; ∠B1 = 50°;

B. ∠B = ∠B1; ∠C = 47°; ∠C1 = 47°;

Г. ∠A = ∠A1; ∠B = 150°; ∠C1 = 150°.

4. На малюнку 165 ABC - різносторонній трикутник, AD = AB. Укажіть правильне твердження.

A. ∆ABC ∾ ∆ADL; Б. ∆ABC ∾ ∆ALD;

B. ∆ABC ∾ ∆DAL; Г. ∆ABC ∾ ∆DLA.

Мал. 165

5. CL - бісектриса трикутника ABC. AC = 6 см; BC = 9 см. Більший з відрізків, на які бісектриса CL ділить сторону AB, дорівнює 3 см. Знайдіть AB.

А. 7,5 см; Б. 6 см; В. 5 см; Г. 6,5 см.

6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція на гіпотенузу - 8 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

А. 15 см; Б. 18 см; В. 16 см; Г. 24 см.

3

7. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Знайдіть найменшу сторону подібного йому трикутника, якщо сума його середньої за величиною і найбільшої сторін дорівнює 72 см.

А. 18 см; Б. 27 см; В. 30 см; Г. 24 см.

8. ABCD - трапеція, AB і CD - її основи, O - точка перетину діагоналей. AB - CD = 4 см; AO = 8 см; OC = 6 см. Знайдіть AB.

А. 12 см; Б. 16 см; В. 14 см; Г. 18 см.

9. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K є AB, L є AC (мал. 166). BC = 9 см; KL = 6 см; KB = 4 см. Знайдіть довжину сторони AB.

A. 12 см; Б. 8 см;

B. 16 см; Г. 10 см.

Мал. 166

10. Периметр паралелограма дорівнює 30 см, а його висоти - 4 см і 6 см. Знайдіть більшу сторону паралелограма.

А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см.

11. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Висота трапеції дорівнює 6 см і ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює 3 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см.

12. У трикутнику, сторони якого дорівнюють 8 см; 12 см і 15 см, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр

півкола ділить більшу сторону трикутника?

A. 6 см і 9 см; Б. 8 см і 7 см;

B. 7,5 см і 7,5 см; Г. 5 см і 10 см.

Завдання для перевірки знань до § 12-17

1

1. ∆ABC ∾ ∆LMN, = 3. Знайдіть відношення .

2. Доведіть, що ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A1B1 = 6 см, B1C1 = 8 см, A1C1 = 10 см.

Мал. 167

Мал. 168

3. Дано: KL || MN (мал. 167), OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см. Знайдіть KM.

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза - 25 см.

5. AL - бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AL ділить сторону BC, дорівнює 4 см. Знайдіть BC.

6. На малюнку 168 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

7. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, якщо сума його більшої і меншої сторін дорівнює 24 см.

8. O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB || CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 20 см.

4

9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 6 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Додаткові завдання

4

10. У двох рівнобедрених трикутниках кути при вершині між собою рівні. Периметр одного з трикутників дорівнює 56 см. Знайдіть його сторони, якщо дві сторони другого трикутника відносяться як 2 : 3.

11. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K таку, що ∠ABK = ∠С, AB = 8 см, AK = 4 см. Знайдіть KC.

Вправи для повторення розділу 2

До § 12

589. На малюнку 169 MN || KL.

1) OM : ON = 2 : 3. Знайдіть MK : NL.

2) OL : ON = 7 : 5. Знайдіть OK : OM.

590. Паралельні прямі MN і KL перетинають сторони кута з вершиною O (мал. 169). OM = 4, NL = 9, ON = MK. Знайдіть довжину відрізка ON.

Мал. 169

Мал. 170

591. Дано відрізки а і b. Побудуйте відрізок х = .

592. На малюнку 170 AE : EC = 2 : 1, BD : DC = 3 : 2. Знайдіть BK : KE.

До § 13

593. ∆ABC ∾ ∆KLM. Заповніть порожні комірки:

594. ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, AB = 8 см, BC = 6 см, A1B1 = 12 см, A1C1 = 18 см. Знайдіть невідомі сторони обох трикутників.

595. Сторони трикутника відносяться як 2 : 5 : 6. Знайдіть периметр трикутника, подібного даному, якщо:

1) його середня за розміром сторона дорівнює 20 см;

2) сума більшої і меншої сторін дорівнює 40 см.

596. У трикутнику проведено середню лінію. Чи подібний трикутник, що утворився, даному трикутнику?

До § 14

597. За яких умов два трикутники подібні:

1) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого;

2) три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого;

3) три кути одного трикутника дорівнюють трьом кутам другого?

598. На катеті AC і гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точки P і L такі, що ∠APL = 90°. Доведіть, що ∆APL ∾ ∆ACB.

599. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, OB = 3OA, OC = 3OD. Доведіть, що ∆AOD ∾ ∆BOC.

600. Діагоналі трапеції діляться точкою перетину у відношенні 2 : 3. Менша основа трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

601. У трикутниках KLM і K1L1M1 ∠K = ∠K1, а сторони трикутника KLM, що утворюють кут K, у 2,5 раза більші за сторони, що утворюють кут K1. Знайдіть LM, якщо L1M1 = 4 см.

602. ABCD - трапеція, AD || BC, ∠BAC = ∠ADC.

1) Знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

2) Доведіть, що AC2 = AD ∙ BC.

603. На сторонах AC і BC трикутника ABC позначено точки M і N так, що AC ∙ CM = BC ∙ CN. Знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

604. На стороні AC трикутника ABC вибрано точку K так, що ∠BKC = ∠ABC, причому ∠BKC - тупий. Знайдіть BC, якщо AK = 16 см, CK = 9 см.

605. У трикутнику ABC через точку N, що належить стороні BC, проведено прямі, що перетинають сторони AB і AC відповідно в точках M і K і паралельні AC і AB. Доведіть, що MN ∙ NK = BM ∙ CK.

606. ∆ABC ∾ ∆A1B1C1, точки I і I1 - точки перетину бісектрис даних трикутників. Доведіть, що ∆AIB ∾ ∆A1I1B1.

607. У трикутник ABC вписано прямокутник KLMN, у якого KN = 16 см, LK = 10 см. Причому K ∈ AC, N ∈ AC, M ∈ BC, L ∈ AB. Знайдіть висоту трикутника, проведену з вершини B, якщо AC = 24 см.

608. BD і AE - висоти гострокутного трикутника ABC. Доведіть, що DC ∙ AC = EC ∙ BC.

До § 15

609. Накресліть прямокутний трикутник KLM (∠K = 90°) та проведіть у ньому висоту KP. Які відрізки є проекціями катетів KL і KM на гіпотенузу?

610. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 1 см і 8 см. Знайдіть менший катет трикутника.

611. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 24 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу - 18 см. Знайдіть проекцію другого катета на гіпотенузу та катети трикутника.

612. BM - бісектриса рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC). З точки M до BC проведено перпендикуляр MK. Знайдіть BM і периметр трикутника, якщо KC = 9 см, MK = 12 см.

613. Перпендикуляр, проведений з вершини кута прямокутника до діагоналі, ділить її на відрізки, довжини яких відносяться як 9 : 16. Знайдіть периметр прямокутника, якщо довжина перпендикуляра 12 см.

614. Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону ромба на відрізки 3,6 см і 6,4 см. Знайдіть діагоналі ромба.

615. У рівнобічній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Висота трапеції дорівнює 6 см, а середня лінія - 9 см. Знайдіть основи трапеції.

До § 16

616. BM - бісектриса трикутника ABC. Знайдіть відношення , якщо = .

617. BD - бісектриса трикутника ABC. Знайдіть сторону AB, якщо AD : DC = 3 : 5, BC = 20 см.

618. Одна зі сторін паралелограма на 9 см більша за другу. Бісектриса кута паралелограма ділить діагональ паралелограма на відрізки 4 см і 10 см. Знайдіть периметр паралелограма.

619. Периметр прямокутника 60 см. Бісектриса, що виходить з вершини кута прямокутника, ділить його діагональ на відрізки, що відносяться як 7 : 8. Знайдіть сторони прямокутника.

620. Точка D належить стороні AB трикутника ABC. Порівняйте кути ACD і BCD, якщо AC = 6 см, BC = 8 см, AD = 3 см, DB = 7 см.

621. У рівнобедреному трикутнику радіус вписаного кола в 5 разів менший від висоти, проведеної до основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 90 см.

До § 17

622. S точка перетину хорд AB і CD. AS = 4, SB = 1. Якому числу дорівнює добуток CS ∙ DS?

623. Січні а і b виходять з точки M, що лежить поза колом. Січна а перетинає коло в точках A і B, а січна b - у точках C і D. Відомо, що MA ∙ MB = 28, MC = 4. Знайдіть MD і CD.

624. З точки A до кола проведено дотичну AM та січну AP (мал. 171). Знайдіть довжини відрізків AK і PK, якщо AM = 8 см, AP = 16 см.

625. З точки A до кола проведено дотичну AM та січну, яка перетинає коло в точках K і P (мал. 171). AM = 10 см, AP : AK = 4 : 1. Знайдіть AK, AP та KP.

Мал. 171

626. Продовження медіани AM рівнобедреного трикутника ABC (AB = AC) перетинає коло, описане навколо трикутника, у точці P. AM = 6 см, BC = 8 см. Знайдіть AP.

627. У трикутнику ABC з вершини В проведено бісектрису BL. Відомо, що BL = 5 см, AL = 4 см, LC = 5 см. Знайдіть АВ і ВС.

628. Побудуйте трикутник ABC за даним кутом A, відношенням сторін AC : AB = 4 : 3 і бісектрисою AL.

Найвеличніший геометр XX століття

На початку 80-х років ХХ століття Американське математичне товариство видало багатотомник «Видатні математики ХХ століття». Четвертий його том було присвячено монографії «Проблема Монжа-Ампера» - праці Олексія Васильовича Погорєлова. В анотації на суперобкладинці цього тому Погорєлова було названо «найвеличнішим геометром ХХ століття».

Саме так було оцінено внесок нашого видатного земляка в розвиток геометрії, однієї з найдавніших наук на Землі.

Народився Олексій Погорєлов 3 березня 1919 року в маленькому місті Короча Білгородської губернії (Росія). У 1929 році сім’я Погорєлових переїжджає до Харкова. Батьки маленького Олексія працювали спочатку на будівництві Харківського тракторного заводу, а потім на цьому заводі. Родина Погорєлових протягом довгого часу мешкала у крихітній, відгородженій від сусідів клітинці бараку.

Ліжок на всіх у родині бракувало, і батькові доводилося спеціально працювати в нічну зміну, щоб його діти могли виспатися в нормальних умовах. Незважаючи на складні умови проживання, Олексій добре навчався у школі з усіх предметів, але найбільше його цікавила математика. Уже згодом на одному з ювілеїв шкільні друзі згадували, що ще у школі однокласники дали йому прізвисько Паскаль.

У 1935 році в Києві було започатковано проведення математичних олімпіад1, а у 1937 році харківський десятикласник Олексій Погорєлов став її переможцем та був запрошений на навчання до Харківського державного університету (нині - Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна). Отже, він став студентом математичного відділення вказаного вишу. Олексій був дуже обдарованим студентом, про що свідчить той факт, що у 1943-1944 рр. під час Другої світової війни його було направлено на навчання до Військово-повітряної академії ім. Жуковського - в один із найелітніших військово-навчальних і наукових центрів СРСР. Після стажування в діючій армії та закінчення академії у 1945 році Олексія Погорєлова направляють на конструкторську роботу у відомий Центральний аерогідродинамічний інститут (ЦАГІ) у Москві. У той же час Олексій Васильович заочно навчається в аспірантурі Математичного інституту Московського державного університету. Саме в ці роки класичний математик-геометр Погорєлов сформувався і як інженер-конструктор, що має справу з конкретною технікою. У 1947 році Погорєлов починає викладацьку діяльність у Харківському університеті. У 1950 році йому було присвоєно звання професора. Із цього часу і протягом наступних двадцяти років його діяльність відзначалася багатьма державними і міжнародними преміями, він обирався членом-кореспондентом, а потім і дійсним членом Академії наук УРСР, а у 1976 році став академіком АН СРСР.

1 Розповідь про становлення і розвиток українського математичного олімпіадного руху можна знайти в підручнику «Алгебра. 7 клас» (автор - О.С. Істер, видавництво «Генеза», 2015 р., с. 43-45).

У 1960 році в Харкові було створено Фізико-технічний інститут низьких температур (ФТІНТ), і Погорєлов очолив там відділ геометрії. В інституті він пропрацював 40 років та створив новий напрям у механіці та геометрії - геометричну теорію стійкості тонких пружних оболонок, пошук якої розпочав ще академік О.Д. Александров, видатний російський математик, якого Погорєлов уважав своїм наставником у науці. Ця теорія підтвердилася під час досліджень, проведених у ФТІНТі. Інженерний талант класичного математика знайшов своє відображення у двох впроваджених авторських свідоцтвах, співпраці з машинобудівниками під час створення унікальних кріотурбогенераторів та надпровідних двигунів. А скільки оригінальних технічних ідей Погорєлова не було доведено до впровадження й офіційного визнання, оскільки це потребувало чималого клопоту та зусиль! Серед цих винаходів - безінерційна спінінгова котушка, незвичний плуг, двигун внутрішнього згоряння принципово нової схеми.

Але головною справою його життя, безперечно, була чиста математика, геометрія. Цілу бібліотеку - близько 40 монографій, перекладених мовами багатьох народів світу, залишив нам у спадок Олексій Васильович. Серед них є й ті, які зрозуміє лише невелике коло фахівців, а є й підручники з геометрії, написані для десятків тисяч студентів-математиків. Але найвідомішим і найвизначнішим для класичної математики став його підручник з геометрії для середньої загальноосвітньої школи, перше видання якого відбулося в 1972 році і за яким протягом майже 30 років навчалися десятки мільйонів школярів СРСР та ще кілька років поспіль українські школярі після здобуття Україною незалежності.

Помер Олексій Васильович Погорєлов у грудні 2002 року.

Нашому видатному земляку вдалося розв’язати задачі, які було сформульовано найвидатнішими математиками ХІХ і початку XX століття: Коші, Дарбу, Гільбертом, Вейлем, Мінковським, Кон-Фессетом і Бернштейном.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити