Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

§19. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Нехай AH - перпендикуляр, проведений з точки A до прямої а (мал. 185). Точку H називають основою перпендикуляра AH. Нехай K - довільна точка прямої а, відмінна від H. Відрізок AK називають похилою, проведеною з точки A до прямої а, а точку K - основою похилої. Відрізок HK називають проекцією похилої AK на пряму а.

Розглянемо властивості перпендикуляра і похилої.

Мал. 185

1. Перпендикуляр, проведений з точки до прямої, менший від будь-якої похилої, проведеної із цієї точки до цієї прямої.

Дійсно, у прямокутному трикутнику AHK AH - катет, AK - гіпотенуза (мал. 185). Тому AH < AK.

2. Якщо дві похилі, проведені з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і їх проекції.

Нехай з точки A до прямої а проведено похилі AK і AM (AK = AM) і перпендикуляр AH (мал. 186). Тоді ∆AHK = ∆AHM (за катетом і гіпотенузою), а тому HK = HM.

Мал. 186

Правильним є і обернене твердження.

3. Якщо проекції двох похилих, проведених з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і самі похилі.

∆AHK = ∆AHM (за двома катетами), тому AK = AM (мал. 186).

4. З двох похилих, проведених з точки до прямої, більшою є та, у якої більша проекція.

Нехай AK і AL - похилі, HK > HL (мал. 187).

Тоді AK2 = AH2 + HK2 (із ∆AHK), AL2 = AH2 + HL2 (із ∆AHL).

Але HK > HL, тому AK2 > AL2, отже, AK > AL.

Властивість справджується і в тому випадку, коли точки K і L розміщені по один їх бік від точки H.

Правильним є і обернене твердження.

5. З двох похилих, проведених з точки до прямої, більша похила має більшу проекцію.

Нехай AK і AL - похилі, AK > AL (мал. 187).

Мал. 187

Тоді HK2 = AK2 - AH2 (із ∆AHK), HL2 = AL2 - AH2 (із ∆AHL).

Але AK > AL, тому HK2 > HL2, отже, HK > HL.

Задача 1. З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з них дорівнює 10 см, а її проекції - 6 см. Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 30°.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай на малюнку 187 AL = 10 см, HL = 6 см, ∠AKH = 30°.

1) Із ∆AHL:

AH = = = 8 см.

2) Із ДAHK за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, матимемо: AH = .

Тому AK = 2 ∙ AH = 2 ∙ 8 = 16 (см).

В і д п о в і д ь. 16 см.

Задача 2. З точки до прямої проведено дві похилі, проекції яких дорівнюють 30 см і 9 см. Знайдіть довжини похилих, якщо їх різниця дорівнює 9 см.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай на малюнку 187 KH = 30 см, HL = 9 см.

За властивістю 4: AK > AL. Позначимо AL = х см. Тоді AK = (х + 9) см.

Із ∆AHL: AH2 = AL2 - LH2, тому AH2 = х2 - 92.

Із ∆AHK: AH2 = AK2 - HK2, тому AH2 = (х + 9)2 - 302.

Ліві частини отриманих рівностей рівні, отже, рівні і праві їх частини.

Маємо рівняння: (х + 9)2 - 302 = х2 - 92, звідки х = 41.

Отже, AL = 41 см, AK = 41 + 9 = 50 (см).

В і д п о в і д ь. 41 см, 50 см.

1. Що називають похилою, проведеною з точки до прямої?

2. Що називають основою похилої?

3. Що називають проекцією похилої?

4. Сформулюйте властивості похилих та їх проекцій.

1

Початковий рівень

683. (Усно.) Назвіть на малюнку 188:

1) перпендикуляр, проведений з точки B до прямої b;

2) основу перпендикуляра;

3) похилу, проведену з точки B до прямої b;

4) основу похилої;

5) проекцію похилої.

Мал. 188

684. Накресліть пряму m і позначте точку P, що їй не належить. Проведіть перпендикуляр PK і похилу PM до прямої m.

685. (Усно.) BM - перпендикуляр до прямої b, BP - похила (мал. 188). Порівняйте BM і BP.

686. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 5 см, а довжина похилої, проведеної із цієї самої точки, - 13 см. Знайдіть проекцію похилої на дану пряму.

687. Перпендикуляр, проведений з даної точки до прямої, дорівнює 6 см. Із цієї самої точки до прямої проведено похилу, проекція якої на пряму дорівнює 8 см. Знайдіть довжину похилої.

2

Середній рівень

688. З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Проекція однієї з них дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між основами похилих.

689. З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Відстань між їх основами дорівнює 10 см. Знайдіть проекції похилих на дану пряму.

690. Точка лежить на відстані 10 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та її проекції на пряму.

691. Точка лежить на відстані 2 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 45°. Знайдіть проекцію похилої на цю пряму та довжину похилої.

692. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 13 см, а її проекція - 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.

693. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 12 см і утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину другої похилої, якщо її проекція на пряму - 8 см.

694. З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 13 см і 20 см. Проекція першої на пряму дорівнює 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої.

3

Достатній рівень

695. З точки, що знаходиться на відстані 24 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 25 см і 26 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

696. З точки, що знаходиться на відстані 8 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

697. З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 5 см i 8 см. Який кут утворює друга похила з прямою, якщо проекція першої похилої на пряму дорівнює 3 см?

698. З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з похилих дорівнює 41 см, а її проекції - 9 см. Який кут утворює інша похила з прямою, якщо її проекція на цю пряму дорівнює 40 см?

699. Точки M і N лежать по один бік від прямої а. Із цих точок до прямої а проведено перпендикуляри завдовжки 2 см і 7 см. Знайдіть відстань між основами перпендикулярів, якщо MN = 13 см.

700. Точки A і B лежать по один бік від прямої m. Із цих точок до прямої m проведено перпендикуляри завдовжки 1 см і 7 см. Знайдіть AB, якщо відстань між основами перпендикулярів дорівнює 8 см.

701. З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 10 см і 14 см, різниця проекцій яких дорівнює 8 см. Знайдіть проекції похилих та відстань від точки до прямої.

702. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця яких дорівнює 2 см. Знайдіть ці похилі та відстань від точки до прямої, якщо проекції похилих дорівнюють 1 см і 5 см.

4

Високий рівень

703. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть проекції двох менших сторін на більшу сторону.

704. Сторони гострокутного трикутника дорівнюють 25 см, 29 см і 36 см. Знайдіть проекції двох більших сторін на меншу сторону.

705. З точки A до прямої m проведено похилі AB і AC та перпендикуляр AK, причому точка K лежить між точками B і C. AB = 15 см, AK = 12 см, KC = 16 см. Знайдіть ABAC.

Вправи для повторення

3

706. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 11 см, а її висота - 6 см. Знайдіть діагональ трапеції.

707. Радіуси двох кіл, які мають зовнішній дотик, дорівнюють 1 см і 4 см. Пряма а - спільна дотична цих кіл. Знайдіть відстань між точками дотику прямої а з колами.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

708. У трикутнику ABC (∠C = 90°) проведено середню лінію KL (мал. 189). KL = 3 см, LB = 4 см.

1) У ∆KBL та ∆ABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до катета, прилеглого до кута B, і порівняйте отримані значення.

2) У ∆KBL і ∆ABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення.

3) У ∆KBL і ∆ABC знайдіть відношення катета, прилеглого до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення.

Мал. 189

709. Визначте міру кутів трикутника зі сторонами завдовжки:

1) 1 см; см; 2 см;

2) 1 см; 1 см; см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

710. (Задача Стенфордського університету.) Точку P так розташовано всередині прямокутника, що відстань від неї до вершини прямокутника дорівнює 5 ярдів, до протилежної вершини - 14 ярдів, а до третьої вершини - 10 ярдів. Якою є відстань від точки P до четвертої вершини?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити