Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

§20. СИНУС, КОСИНУС І ТАНГЕНС ГОСТРОГО КУТА ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ І КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА

Розглянемо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C (мал. 190). Для гострого кута A катет BC є протилежним катетом, а катет AC - прилеглим катетом. Для гострого кута Bкатет AC є протилежним, а катет BC - прилеглим.

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Мал. 190

Синус кута A позначають так: sin A. Отже, sin А = = , sin B = = .

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Косинус кута A позначають так: cos A. Отже, cos А = = , cos В = = .

Оскільки катети AC і BC менші від гіпотенузи AB, то синус і косинус гострого кута прямокутного трикутника менші за одиницю.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого.

Тангенс кута A позначають так: tg A. Отже, tg A = = , tg B = =

Доведемо, що якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні, косинуси цих кутів рівні і тангенси цих кутів рівні.

Розглянемо прямокутні трикутники ABC і A1B1C1, у яких ∠C = ∠С = 90°, ∠A = ∠A, (мал. 191). Тоді ∆АВС ∾ ∆ABC (за гострим кутом). Тому = = .

Із цього слідує, що = , а тому sin A = sinА1. Аналогічно = , тому cos A = cos A1, = , тому tg A = tgA1.

Мал. 191

Отже, приходимо до висновку: синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника залежать лише від градусної міри кута.

З означень синуса, косинуса і тангенса кута слідують такі співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1. Катет дорівнює гіпотенузі, помноженій на синус протилежного до нього кута або на косинус прилеглого: а = c sin A = c cos B та b = c sin B = c cos A.

2. Гіпотенуза дорівнює катету, поділеному на синус протилежного до нього кута або на косинус прилеглого:

c = = = = .

3. Катет, протилежний до кута А, дорівнює добутку другого катета на тангенс цього кута: а = btg A.

4. Катет, прилеглий до кута А, дорівнює частці від ділення

другого катета на тангенс цього кута: b = .

Значення sin A, cos A, tg A можна знаходити за допомогою спеціальних таблиць, калькулятора або комп’ютера. Для

обчислень використовуємо клавіші калькулятора і (на деяких калькуляторах

Послідовність обчислень у різних калькуляторів різниться. Тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до калькулятора.

Задача 1. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 12 см, cos А = .

Знайдіть AB.

Р о з в’ я з а н н я. Скористаємося малюнком 190.

АВ = = 12 : = = 16 (см).

В і д п о в і д ь. 16 см.

Задача 2. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AB = 10 см, ∠A = 17°. Знайдіть BC (з точністю до десятих сантиметра).

Р о з в’ я з а н н я. BC = AB sin A (мал. 190). За допомогою таблиць або калькулятора знаходимо sin 17° ≈ 0,2924. Отже, BC ≈ 10 ∙ 0,2924 ≈ 2,9 (см).

В і д п о в і д ь. ≈ 2,9 см.

За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера можна за даним значенням sin A, cos A або tg A знаходити кут А. Для обчислень використовуємо клавіші калькулятора

Задача 3. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 4 см, BC = 5 см. Знайдіть гострі кути трикутника.

Р о з в’ я з а н н я. tg A = = .

= 1,25 (мал. 190). За допомогою калькулятора знаходимо значення кута А у градусах: 51,34019. Подаємо у градусах та мінутах (у деяких калькуляторах це можливо зробити за допомогою спеціальної клавіші).

Маємо: ∠A ≈ 51°20'. Тоді ∠B = 90° ≈ ∠A - 90° - 51°20' ≈ 38°40'.

В і д п о в і д ь. ≈ 51°20'; ≈ 38°40'.

Знайдемо синус, косинус і тангенс кутів 30° і 60°. Розглянемо ∆ABC, у якого C ∠= 90°, ∠A = 30°, ∠B = 60°, BC = а (мал. 192). Тоді за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, AB = 2а.

За теоремою Піфагора:

Тоді

Мал. 192

sin А = , тобто sin 30° = = ;

cos А = , тобто cos 30° = = ;

tg A = , тобто tg 30° = = = ;

sin B = , тобто sin 60° = = ;

sin B = , тобто cos 60° = = ;

tg B = , тобто tg 60° = = .

Знайдемо синус, косинус і тангенс кута 45°.

Розглянемо ∆ABC, у якого ∠C = 90°, ∠А = ∠B = 45°, BC = а (мал. 193). Тоді AC = BC = а. За теоремою Піфагора:

АB = = = = .

Тоді sin А = , тобто sin 45° = = = ;

cos А = , тобто cos 45° = = = ;

tg А = , тобто tg 45° = = 1,

Мал. 193

Систематизуємо отримані дані в таблицю:

Задача 4. Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, якщо основа дорівнює 12 см, а кут при вершині трикутника дорівнює 120°.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай ABC - даний трикутник, AB = BC, AC = 12 CМ, ∠ABC = 120° (мал. 194).

Мал. 194

Проведемо до основи AC висоту BK, яка є також медіаною і бісектрисою. Тоді

KC = = = 6 (см), ∠KBC = ∠ABC : 2 = 120° : 2 = 60°.

Із ∆BKC (∠К = 90°): tg KBC = , звідси ВК = = = = = 2 (см).

В і д п о в і д ь. 2 см.

1. Що називають синусом, косинусом і тангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

2. Якими залежностями пов’язані між собою сторони і кути прямокутного трикутника?

1

Початковий рівень

711. Дано ∆ABC, ∠C = 90° (мал. 195). Знайдіть:

1) sin A; 2) cos B; 3) tgA; 4) cos A; 5) sin B; 6) tg B.

Мал. 195

Мал. 196

712. Дано ∆MNK, ∠ K = 90° (мал. 196). Знайдіть:

1) cos M; 2) sin N; 3) tg M; 4) sin M; 5) cos N; 6) tg N.

713. Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера:

1) cos 18°; 2) sin 40°; 3) tg 13°;

4) cos 12°10'; 5) sin 67°30'; 6) tg 81°48'.

714. Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера:

1) sin 58°; 2) cos 32°; 3) tg 78°;

4) sin 14°42'; 5) cos 49°30'; 6) tg 15°12'.

715. Обчисліть:

1) sin 30° + tg 45°; 2) cos 30° ∙ sin 60°.

716. Обчисліть:

1) tg 45° - cos 60°; 2) sin 45° : cos 45°.

2

Середній рівень

717. Дано: ∆ABC, ∠C = 90°, AC = 5 см, BC = 12 см. Знайти: sin A, cos A.

718. Дано: ∆ABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см. Знайти: sin B, cos B.

719. У ∆ABC ∠ C = 90°. Знайдіть:

1) AC, якщо BC = a, ∠B = β ;

2) AB, якщо AC = b, ∠A = a.

720. У ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

1) BC, якщо AC = b, ∠A = a;

2) AB, якщо BC = a, ∠B = β.

721. У ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

1) AB, якщо AC = 5 см, cos A = ;

2) AB, якщо BC = 3 см, sin A = 0,6;

3) AC, якщо AB = 8 см, sin В = ;

4) BC, якщо AB = 20 см, cos B = ;

5) AC, якщо BC = 10 см, tg B = 0,5.

722. У ∆ABC ∠ C = 90°. Знайдіть:

1) AB, якщо BC = 8 см, cos В = ;

2) AB, якщо AC = 10 см, sin B = 0,25;

3) BC, якщо AB = 6 см, sin A = ;

4) AC, якщо AB = 20 см, cos A = 0,4;

5) BC, якщо AC = 12 см, tg A = .

723. У ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

1) AB, якщо АС = 4 см, ∠A = 30°;

2) AC, якщо AB = 5 см, ∠B = 45°.

724. У ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

1) AB, якщо ВС = 6 см, ∠B = 30°;

2) BC, якщо AB = 10 см, ∠A = 45°.

725. Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут а, якщо:

1) sin а = 0,4226; 2) cos а = 0,8192; 3) tg а = 0,2679;

4) sin а = 0,8231; 5) cos а = 0,9373; 6) tg а = 0,6924.

726. Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут β, якщо:

1) cos β = 0,1908; 2) sin β = 0,8387; 3) tg β = 0,7265;

4) cos β = 0,5493; 5) sin β = 0,3518; 6) tg β = 1,1792.

727. У ∆ABC ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра:

1) AB, якщо BC = 5 см, ∠A = 42°;

2) BC, якщо AB = 10 см, ∠B = 37°;

3) BC, якщо AC = 4 см, ∠A = 82°.

728. У ∆ABC ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра:

1) AC, якщо AB = 8 см, ∠A = 15°;

2) AB, якщо BC = 9 см, ∠A = 43°;

3) BC, якщо AC = 5 см, ∠B = 29°.

3

Достатній рівень

729. Побудуйте кут:

1) тангенс якого дорівнює ;

2) синус якого дорівнює ;

3) косинус якого дорівнює .

730. Побудуйте кут:

1) тангенс якого дорівнює ;

2) синус якого дорівнює ;

3) косинус якого дорівнює .

731. Діагональ прямокутника утворює з його стороною, довжина якої а, кут β. Знайдіть периметр прямокутника.

732. Одна сторона прямокутника дорівнює b. Його діагональ утворює з другою стороною кут а. Знайдіть площу прямокутника.

733. Кут ромба дорівнює 42°, а діагональ, що лежить проти нього, - 6 см. Знайдіть другу діагональ ромба (з точністю до сотих сантиметра).

734. Сторона ромба дорівнює 8 см, а один з його кутів - 78°. Знайдіть (з точністю до сотих сантиметра) діагональ ромба, що виходить із цього кута.

735. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює с, а один з гострих кутів - а. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

736. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо один з його гострих кутів дорівнює β.

737. Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета цього трикутника як 8 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

738. Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 9 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

739. Дано: ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

а) AB і BC, якщо AC = 6 см, cos B = 0,8;

б) AC і BC, якщо AB = 13 см, tg A = .

740. Дано: ∆ABC ∠C = 90°. Знайдіть:

а) AB і BC, якщо AC = 4 см, sin A = 0,6;

б) AC і BC, якщо AB = 34 см, tg B = .

741. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 2а і 2b (а > b), а гострий кут - а. Знайдіть бічну сторону трапеції.

742. На малюнку 197 ∠ACB = ∠K = 90°, AC = b, ∠ABC = β, ∠BCK = у. Знайдіть BC, CK, KB.

743. На малюнку 197 ∠ACB = ∠K = 90°, BK = a, ∠ABC = β, ∠BCK = а. Знайдіть BC, AC, AB.

Мал. 197

4

Високий рівень

744. Сторони прямокутника дорівнюють 19 см і 50 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника (з точністю до мінути).

745. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 12 см. Знайдіть кути ромба (з точністю до мінути).

746. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює m, а кут при основі - а. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

747. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює β, а радіус вписаного кола - r. Знайдіть бічну сторону трикутника.

748. Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 20 см.

749. Гострий кут паралелограма дорівнює 60°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 3. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 24 см.

750. У трикутнику одна зі сторін дорівнює 10 см, а прилеглі до неї кути - 135° і 30°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до даної сторони.

751. У трикутнику одна зі сторін дорівнює 8 см, а прилеглі до неї кути - 60° і 45°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

Вправи для повторення

2

752. Похила, проведена з точки до прямої, у два рази більша за перпендикуляр, проведений із цієї самої точки до цієї ж прямої. Знайдіть кут між похилою і перпендикуляром.

3

753. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція на гіпотенузу - 7,2 см. Знайдіть периметр трикутника.

4

754. Побудуйте ромб за висотою і меншою діагоналлю.

Цікаві задачі для учнів неледачих

755. (Задача Архімеда.) Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити