Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

§21. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

Розв’язати трикутник - означає знайти невідомі його сторони і невідомі його кути за відомими сторонами і кутами.

Для того щоб можна було розв’язати прямокутний трикутник, відомими мають бути або дві сторони трикутника або одна зі сторін і один з гострих кутів трикутника.

Використовуючи у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) позначення AB = c, BC = a, AC = b, ∠A, ∠B, ∠C (мал. 198) та співвідношення між його сторонами і кутами:

∠A + ∠B = 90°;

a2 + b2 = c2 (теорема Піфагора);

a = c sin A = c cos B = b tg A = ;

b = c sin B = c cos A = a tg B = ;

c = = = = ,

Мал. 198

можна розв’язати будь-який прямокутний трикутник.

Розглянемо чотири види задач на розв’язування прямокутних трикутників.

Зразки запису їх розв’язування в загальному вигляді та приклади задач подано у вигляді таблиці.

1. Розв’язування прямокутних трикутників за гіпотенузою і гострим кутом.

Задача 1. Дано гіпотенузу c прямокутного трикутника і гострий кут А. Знайдіть другий гострий кут трикутника і його катети.

Розв’язання в загальному вигляді

Д а н о: c, ∠A.

З н а й т и: ∠В, a, b.

Р о з в я з а н н я.

1. ∠B = 90° - ∠A.

2. a = c sin A.

3. b = c cos A.

Д а н о: а = 7, ∠А = 29°.

З н а й т и: ∠В, a, b.

Р о з в я з а н н я.

1. ∠В = 90° - 29° = 61°.

2. a = 7 sin 29° ≈ 3,39.

2. b = 7 cos 29° ≈ 6,12.

Відповідь: 61°, ≈ 3,39, ≈ 6,12.

2. Розв’язування прямокутних трикутників за катетом і гострим кутом.

Задача 2. Дано катет а прямокутного трикутника і гострий кут A. Знайдіть другий гострий кут трикутника, його другий катет і гіпотенузу.

Розв’язання в загальному вигляді

Д а н о: а, ∠A.

З н а й т и: ∠В, b, c.

Р о з в я з а н н я.

1. ∠B = 90° - ∠A.

2. b = (або b = atg B).

3. c = (або с = ).

Д а н о: а = 5, ∠А = 63°.

З н а й т и: ∠В, b, c.

Р о з в я з а н н я.

1. ∠В = 90° - 63° = 27°.

2. b = ≈ 2,55.

3. c = ≈ 5,61.

Відповідь: 27°, ≈ 2,55, ≈ 6,61.

3. Розв’язування прямокутних трикутників за двома катетами.

Задача 3. Дано катети а і b прямокутного трикутника. Знайдіть гіпотенузу та гострі кути трикутника.

Розв’язання в загальному вигляді

Д а н о: а, b.

З н а й т и: c, ∠А, ∠В.

Р о з в я з а н н я.

1. b = .

2. tg A = .

Далі ∠А знаходимо за допомогою калькулятора або таблиць.

3. ∠В ≈ 90° - ∠А.

Д а н о: а = 4, b = 7.

З н а й т и: c, ∠А, ∠В.

Р о з в я з а н н я.

1. b = = = 8,06.

2. tg A = . ∠А ≈ 29°45’.

3. ∠В ≈ 90° - 29°45’ ≈ 60°15’.

Відповідь: ≈ 8,06, ≈ 29°45’ ≈ 60°15’.

4. Розв’язування прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою.

Задача 4. Дано катет а і гіпотенузу c прямокутного трикутника. Знайдіть другий катет і гострі кути трикутника.

Розв’язання в загальному вигляді

Д а н о: а, с.

З н а й т и: b, ∠А, ∠В.

Р о з в я з а н н я.

1. b = .

2. sin A = .

Далі ∠А знаходимо за допомогою калькулятора або таблиць.

3. ∠В ≈ 90° - ∠А.

Д а н о: а = 5, с = 12.

З н а й т и: b, ∠А, ∠В.

Р о з в я з а н н я.

1. b = = = 10,91.

2. sin A = . ∠А ≈ 24°37’.

3. ∠В ≈ 90° - 24°37’ ≈ 65°23’.

Відповідь: ≈ 10,91, ≈ 24°37’ ≈ 65°23’.

Розв’язування прямокутних трикутників використовують під час розв’язування прикладних задач.

Задача 5. Знайдіть вис оту дерева MN, основа N якого є недоступною (мал. 199).

Р о з в’ я з а н н я. Позначимо на прямій, яка проходить через точку N, основу дерева, точки A та B і виміряємо відрізок AB та ∠MAN = а і ∠MBN = р.

1) У ∆MAN: AN = ;

2) У ∆MBN: BN = ;

3) Оскільки AB = BN - AN, маємо:

AB = - = MN ( - ) = MN ∙ ; звідки MN =

В і д п о в і д ь.

Мал. 199

1. Що означає розв’язати трикутник?

2. Які співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника використовують для розв’язування трикутників?

3. Як розв’язати прямокутний трикутник: 1) за гіпотенузою і гострим кутом; 2) за катетом і гострим кутом; 3) за двома катетами; 4) за катетом і гіпотенузою?

2

Середній рівень

756. За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знайдіть із точністю до сотих).

1) AB = 10 см; ∠A = 30°; 2) AB = 8 дм; ∠B = 45°;

3) AB = 15 см; ∠A = 18°; 4) AB = 12 дм; ∠B = 73°.

757. За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знайдіть із точністю до сотих).

1) AB = 6 дм; ∠A = 45°; 2) AB = 14 см; ∠B = 60°;

3) AB = 8 дм; ∠A = 82°; 4) AB = 3 см; ∠B = 25°.

758. За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2) і 3) знайдіть із точністю до сотих).

1) AC = 8 см; ∠B = 30°; 2) AC = 13 см; ∠A = 24°;

3) BC = 6 дм; ∠A = 42°; 4) BC = 5 см; ∠B = 45°.

759. За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2) і 3) знайдіть із точністю до сотих).

1) AC = 15 см; ∠A = 60°; 2) AC = 6 дм; ∠B = 12°;

3) BC = 8 см; ∠B = 71°; 4) BC = 10 дм; ∠A = 45°.

760. Діагональ прямокутника дорівнює 6 см і утворює кут 25° з однією з його сторін. Знайдіть кут, що утворює діагональ прямокутника з другою стороною, та сторони прямокутника (з точністю до сотих см).

761. З точки, що знаходиться на відстані 6 см від прямої, проведено похилу, що утворює з прямою кут 52°. Знайдіть кут, який утворює похила з перпендикуляром, проведеним з тієї самої точки, довжину перпендикуляра та проекцію похилої (з точністю до сотих см).

762. Знайдіть висоту дерева AC (мал. 200), якщо BC = 40 м, а ∠B = 27°.

763. За малюнком 201 знайдіть відстань від об’єкта B до недоступного об’єкта A, якщо ∠C = 90°, BC = 80 м, ∠B = 57°.

Мал. 200

Мал. 201

3

Достатній рівень

764. За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути із точністю до мінут:

1) AC = 4 см; ВС = 4 см;

2) AC = 8 дм; BC = 15 дм;

3) AC = 3 см; BC = 9 см;

4) AC = 7m дм; BC = 24m дм.

765. За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути із точністю до мінут:

1) AC = 2 ;

см; BC = 2 см;

2) AC = 8 см; BC = 6 см;

3) AC = 2 дм; BC = 5 дм;

4) AC = 9k дм; BC = 40k дм.

766. За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути із точністю до мінути:

1) AB = 6 см; АС = 3 см;

2) AB = 65 дм; BC = 16 дм;

3) AB = 7 дм; AC = 4 см;

4) AB = 13a см; BC = 5а см.

767. За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠С = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути із точністю до мінути:

1) AB = 8 см; АС = 4 см;

2) AB = 37 дм; BC = 12 дм;

3) AB = 10 см; AC = 7 см;

4) AB = 61b дм; BC = 60b дм.

768. Тінь від антени мобільного зв’язку, висота якої 5 м, дорівнює 2,6 м (мал. 202). Знайдіть з точністю до мінути висоту сонця над горизонтом (кут а).

769. Знайдіть укіс дороги (значення тангенса кута а) за малюнком 203. Знайдіть міру кута а.

770. Переріз залізничного насипу має форму рівнобічної трапеції (мал. 204). Нижня основа трапеції дорівнює 10 м, висота насипу - 2 м, а його укіс - 35°. Знайдіть ширину верхньої частини насипу (верхню основу трапеції).

Мал. 202

Мал. 203

Мал. 204

4

Високий рівень

771. На горі знаходиться башта, висота якої l м (мал. 205). За деяким об’єктом A, що знаходиться біля підніжжя гори, спостерігають спочатку з вершини M башти під кутом 60° до горизонту, а потім від основи башти N під кутом 30°. Знайдіть висоту х гори.

Мал. 205

Вправи для повторення

2

772. Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 30 см. Знайдіть периметр ромба.

3

773. У ∆ABC ∠C = 90°, BC = 12 см, sin B = . Знайдіть периметр трикутника.

774. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, які дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть найменшу сторону трикутника.

Цікаві задачі для учнів неледачих

775. Аркуш паперу склали вчетверо так, що отримали прямокутник зі сторонами вдвічі меншими, ніж сторони аркуша. Потім отриманий прямокутник прокололи у двох місцях, аркуш розгорнули і через кожні дві отримані точки (проколи) провели пряму. Яку найменшу і яку найбільшу кількість прямих при цьому можна отримати?

Домашня самостійна робота № 4

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.

1

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 7 см і 24 см.

А. см; Б. 31 см; В. 25 см; Г. 23 см.

2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а один з його катетів - 12 см. Знайдіть другий катет трикутника.

А. 8 см; Б. 9 см; В. 10 см; Г. см.

3. На малюнку 206 зображено прямокутний трикутник ABC. Знайдіть sin B.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

Мал. 206

4. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть сторону ромба.

A. 8 см; Б. 10 см;

B. 16 см; Г. 20 см.

5. Точка знаходиться на відстані 8 см від прямої. З неї до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з перпендикуляром кут 60°. Знайдіть довжину похилої.

A. 8 см; Б. 12 см; В. 8 см; Г. 16 см.

6. AB - гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, AC = 8 см, ∠A = 50°. Знайдіть AB з точністю до десятих.

A. 12,5 см; Б. 10,4 см;

B. 12,4 см; Г. 9,5 см.

7. Знайдіть x за малюнком 207.

A. 13; Б. 7;

B. 6; Г. 8.

Мал. 207

8. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 1 см. Знайдіть довжину меншої похилої, якщо проекції похилих дорівнюють 4 см і 7 см.

А. 15 см; Б. 16 см; В. 17 см; Г. 18 см.

9. У ∆ABC ∠C = 90°, AB = 20 см, tg A = 0,75. Знайдіть PABC.

А. 50 см; Б. 38 см; В. 52 см; Г. 48 см.

10. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 10 см і 26 см. Знайдіть гіпотенузу.

А. 36 см; Б. 38 см; В. 39 см; Г. 52 см.

11. Сторони трикутника - 5 см, 29 см і 30 см. Знайдіть проекцію меншої сторони трикутника на його більшу сторону.

А. 1,4 см; Б. 1,6 см; В. 1,8 см; Г. 2,4 см.

12. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

А. 31°; Б. 61°; В. 62°; Г. 64°.

Завдання для перевірки знань до § 18-21

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 10 см і 24 см.

2. За малюнком 208 назвіть:

1) перпендикуляр, проведений з точки A до прямої m;

2) похилу, проведену з точки A до прямої m;

3) проекцію цієї похилої.

Мал. 208

Мал. 209

3. За малюнком 209 знайдіть:

1) sin A; 2) cos B; 3) tg A; 4) sin B.

2

4. Сторона ромба дорівнює 25 см, а одна з його діагоналей - 14 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

5. Точка знаходиться на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та довжину проекції похилої на пряму.

6. AB = 16 см - гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, ∠A = 35°. Розв’яжіть цей прямокутний трикутник. (Сторони трикутника знайдіть із точністю до сотих сантиметра.)

3

7. У трикутнику ABC ∠A - тупий, BC = 20 см, AB = 15 см, BK = 12 см - висота трикутника. Знайдіть AC.

8. У ∆ABC ∠C = 90°, AC = 24 см, sin A = . Знайдіть PABC.

9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см. Знайдіть сторони трикутника.

Додаткові завдання

10. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть проекції двох менших сторін на більшу сторону.

11. Діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 12 см. Знайдіть кути ромба з точністю до мінут.

Вправи для повторення розділу 3

До § 18

776. Нехай а і b - катети прямокутного трикутника, c - його гіпотенуза. Знайдіть:

1) с, якщо а = 11 см; b = 60 см;

2) а, якщо c = 13 см; b = 12 см;

3) b, якщо а = 24 см; c = 25 см.

777. Сторона квадрата - 5 см. Знайдіть його діагональ.

778. У рівнобедреному трикутнику ABC AB = AC = 37 см, BC = 24 см. Знайдіть довжину висоти AK.

779. Чи є прямокутним трикутник, сторони якого пропорційні числам:

1) 3; 4; 5; 2) 6; 7; 10?

780. Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін - 3 см. Знайдіть діагональ прямокутника.

781. На малюнку 210 AB - дотична до кола із центром у точці O, OC = 3 см, CB = 2 см. Знайдіть AB.

Мал. 210

3

782. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 17 см, а більша бічна сторона - 15 см. Знайдіть периметр трапеції.

783. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 26 см, висота - 12 см, а діагональ - 20 см. Знайдіть меншу основу трапеції та її бічну сторону.

784. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 15 см, а катети відносяться як 3 : 4. Знайдіть периметр трикутника.

785. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5 : 6. Висота трикутника, проведена до основи, дорівнює 8 см. Знайдіть периметр трикутника.

786. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 50 см і 80 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть висоту трикутника, проведену до основи.

787. У трикутнику ABC АВ = см, BC = 2 см. На стороні AC позначено точку K так, що AK = KB = 1 см. Знайдіть градусну міру кута ABC.

788. Бічні сторони трапеції дорівнюють 9 см і 12 см, а основи - 30 см і 15 см. Знайдіть кут, що утворюють між собою продовження бічних сторін.

789. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 25 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо його найменша висота дорівнює 24 см.

До § 19

790. З точки до прямої проведено похилу, довжина якої 5 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проекція похилої дорівнює 4 см.

791. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою рівні кути. Відстань між основами похилих дорівнює 8 см. Знайдіть проекції похилих на дану пряму.

792. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з прямою кут 60°. Знайдіть перпендикуляр і проекцію похилої, якщо довжина похилої 12 см.

793. З точки, що знаходиться на відстані 4 см від прямої, проведено до неї дві похилі. Довжина однієї з них 5 см, а друга утворює з прямою кут 45°. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

794. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 13 : 15, а довжини їх проекцій дорівнюють 10 см і 18 см. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до прямої.

795. Знайдіть меншу з висот трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см.

До § 20

1

796. На малюнку 211 трикутник ABC - прямокутний. Чи правильні рівності:

1) sin A = ;

2) cos А = ;

3) tg A = ;

4) sin В = ;

5) cos B = ;

6) tg B = ?

Мал. 211

2

797. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута M трикутника MNP (∠P = 90°), якщо MP = 24 см, MN = 25 см.

798. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Знайдіть:

1) синус гострого кута, що лежить проти меншого катета;

2) косинус гострого кута, прилеглого до більшого катета;

3) тангенси обох гострих кутів.

3

799. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює R. Діагональ прямокутника утворює зі стороною кут а. Знайдіть периметр прямокутника.

800. Кут ромба дорівнює 80°, а діагональ, що лежить проти цього кута, - 10 см. Знайдіть (з точністю до со т их см) периметр ромба.

801. У ∆ABC ∠C = 90°, CK - висота, CA = b, ∠A = а. Знайдіть CK і KB.

802. У рівнобедреному трикутнику синус кута при основі дорівнює 0,96, а основа - 28 см. Знайдіть бічну сторону.

4

803. Радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, дорівнює r, а один з його гострих кутів - р. Знайдіть катет, прилеглий до цього гострого кута.

804. Основи трапеції дорівнюють 14 см і 10 см, кути при більшій основі дорівнюють 60° і 30°. Знайдіть висоту і діагоналі трапеції.

805. З точки до прямої проведено дві похилі, що утворюють з прямою кути 30° і 60°. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо відстань між основами похилих дорівнює а см. Скільки випадків треба розглянути?

806. Дано: ∆ABC, ∠С = 90°. Доведіть, що sin2A + cos2A = 1. (Запис sin2A є тотожним запису (sinA)2.)

До § 21

2

807. За двома елементами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть інші його сторони та кути:

1) AB = 7 см; ∠A = 19°; 2) AB = 20 дм; ∠B = 48°;

3) BC = 5 см; ∠B = 57°; 4) AC = 18 дм; ∠B = 32°.

3

808. За двома сторонами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його третю сторону та гострі кути:

1) AC = 9 см; BC = 12 см; 2) AC = 7 дм; BC = 5 дм;

3) AB = 34 см; BC = 30 см; 4) AB = 8 дм; AC = 7 дм.

4

809. Для визначення ширини l річки взяли два будинки A і B на одному березі та будинок C на другому (мал. 212), AB = а м, ∠ CAB = а, ∠CBA = β. Знайдіть ширину річки.

Мал. 212





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити