Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

У цьому розділі ви:

• пригадаєте поняття многокутника і його площі; формули для обчислення площ прямокутників і квадрата;

• дізнаєтеся, як обчислити суму кутів многокутника, площу паралелограма, ромба, трикутника, трапеції;

• навчитеся застосовувати вивчені поняття, властивості та формули до розв’язування задач.

§22. МНОГОКУТНИК І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ОПУКЛОГО МНОГОКУТНИКА. МНОГОКУТНИК, ВПИСАНИЙ У КОЛО, І МНОГОКУТНИК, ОПИСАНИЙ НАВКОЛО КОЛА

Розглянемо фігуру A1A2A3A4A5A6, зображену на малюнку 213. Вона складається з відрізків A1A2, A2A3, AgA4, A4A5, AgA6 і A6A1. При цьому відрізки розміщені так, що сусідні (суміжні) відрізки AA2і A2A3, A2A3 і A3A4, A6A1і A1A2) не лежать на одній прямій, а несусідні (несуміжні) відрізки не мають спільних точок. Таку фігуру називають многокутником. Точки A1, A2, …, A6 називають вершинами многокутника, а відрізки A1A2, A2A3, … A6A1 - сторонами многокутника.

Очевидно, що кількість вершин многокутника дорівнює кількості його сторін.

Суму довжин усіх сторін многокутника називають його периметром.

Найменша кількість вершин (сторін) у многокутника - три. У цьому випадку маємо трикутник. Також окремим видом многокутника є чотирикутник.

Многокутник, що має n вершин, називають n-кутником. На малюнку 213 зображено шестикутник A1A2A3A4A5A6.

Дві сторони многокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну

Мал. 213

вершину. Якщо сторони многокутника спільної вершини не мають, їх називають несусідніми. Так, наприклад, сторони A1A2 і A1A6 - сусідні, а A1A2 і A4A5 - несусідні (мал. 213).

Дві вершини многокутника називають сусідніми, якщо вони належать одній стороні, якщо ж вершини многокутника не належать одній стороні, їх називають несусідніми. Так, наприклад, вершини A1 і A2 - сусідні, A3 і A6 - несусідні (мал. 213).

Відрізок, який сполучає дві несусідні вершини многокутника, називають діагоналлю многокутника. На малюнку 214 зображено діагоналі многокутника A1А2A3A4A5A6A7, що виходять з вершини; A1:A1A3, A1A4, A1A5, A1A6.

Мал. 214

Задача 1. Скільки діагоналей має n-кутник?

Р о з в’ я з а н н я. З кожної вершини n-кутника виходить (n - 3) діагоналі. Усіх вершин n, а кожна діагональ повторюється 2 рази, наприклад A1A3 і A3A1. Тому всіх діагоналей у n-кутнику буде .

В і д п о в і д ь. .

Кути, сторони яких містять сторони многокутника, називають кутами многокутника. П’ятикутник B1B2B3B4B5 має кути В5В1В2, В1В2В3, В2В3В4, В3В4В5, В4В5В1

Якщо всі кути многокутника менші від розгорнутого кута, то многокутник називають опуклим, якщо хоча б один кут многокутника більший за розгорнутий, то многокутник називають неопуклим.

Многокутник В1В2В3В4В5 - опуклий (мал. 215), а многокутник С1С2С3С4С5С6 - неопуклий (мал. 216), оскільки кут при вершині С3 більший за 180°.

Мал. 215

Мал. 216

Т е о р е м а (про суму кутів опуклого n-кутника). Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n - 2).

Д о в е д е н н я. Виберемо у внутрішній області многокутника довільну точку O і сполучимо її з усіма вершинами n-кутника (мал. 217). Одержимо n трикутників, сума всіх кутів яких дорівнює 180° ∙ n. Сума кутів з вершиною в точці O дорівнює 360°. Сума кутів даного n-кутника дорівнює сумі кутів усіх трикутників без кутів з вершиною в точці O, тобто:

180°n - 360° = 180°(n - 2).

Кути опуклого многокутника іноді називають ще його внутрішніми кутами. Кут, суміжний з внутрішнім кутом многокутника, називають зовнішнім кутом многокутника. На малюнку 218 кут A3A4K - зовнішній кут многокутника A1A2A3A4A5 при вершині A4.

Очевидно, що кожний многокутник має по два зовнішніх кути при кожній вершині.

Мал. 217

Мал. 218

Мал. 219

Мал. 220

Задача 2. Доведіть, що сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого n-кутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Р о з в’ я з а н н я. Сума внутрішнього й зовнішнього кутів при кожній вершині многокутника дорівнює 180°. Тому сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів n-кутника дорівнює 180° ∙ n. Оскільки сума внутрішніх кутів дорівнює 180°(n - 2), то сума зовнішніх кутів дорівнює:

180°n - 180°(n - 2) = 180°n - 180°n + 360° = 360°.

Многокутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому називають описаним навколо многокутника (мал. 219).

Навколо многокутника не завжди можна описати коло. Якщо ж це можна зробити, то центром такого кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника (як і у випадку трикутника).

Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому називають вписаним у многокутник (мал. 220).

Вписати коло можна не в кожний многокутник. Якщо ж це можна зробити, то центром такого кола є точка перетину бісектрис внутрішніх кутів многокутника (як і у випадку трикутника).

1. Яку фігуру називають многокутником?

2. Що називають вершинами, кутами, сторонами многокутника?

3. Що називають периметром многокутника?

4. Які сторони многокутника називають суміжними, які - несуміжними; які вершини - сусідніми, які - несусідніми?

5. Що називають діагоналлю многокутника?

6. Який многокутник називають опуклим, а який - неопуклим?

7. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів опуклого n-кутника.

8. Що називають зовнішнім кутом опуклого многокутника?

9. Який многокутник називають вписаним у коло, а який - описаним навколо кола?

1

Початковий рівень

810. 1) Назвіть усі вершини, сторони, кути п’ятикутника ABCDE (мал. 221).

2) Назвіть деяку пару сусідніх сторін, несусідніх сторін.

3) Назвіть деяку пару сусідніх вершин, несусідніх вершин.

4) Чи є п’ятикутник опуклим?

811. Накресліть опуклий шестикутник ABCDEF. Запишіть усі його вершини, сторони і кути.

812. Накресліть опуклий семикутник. A1A2A3A4A5A6A7 та проведіть у ньому всі діагоналі, що виходять з вершини A5.

813. Накресліть будь-який неопуклий многокутник, у якого два кути більші за 180°.

814. Накресліть будь-який неопуклий п’ятикутник.

815. Знайдіть на малюнках 222-225 вписані та описані многокутники.

Мал. 222

Мал. 223

Мал. 224

Мал. 225

816. Накресліть коло та впишіть у нього п’ятикутник.

817. Накресліть коло та впишіть у нього будь-який многокутник.

818. Накресліть коло та опишіть навколо нього будь-який многокутник.

819. Накресліть коло та опишіть навколо нього шестикутник.

2

Середній рівень

820. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо:

1) n = 12; 2) n = 18.

821. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо:

1) n = 7; 2) n = 22.

822. В опуклому дев’ятикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути.

823. В опуклому шестикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути.

824. (Усно.) Чи можна побудувати опуклий п’ятикутник, усі кути якого між собою рівні? Відповідь поясніть.

825. (Усно.) Чотири кути одного опуклого п’ятикутника відповідно дорівнюють чотирьом кутам другого опуклого п’ятикутника. Чи рівні між собою їх п’яті кути?

826. Чи може найменший кут опуклого п’ятикутника дорівнювати 110°?

827. Чи може найбільший кут опуклого шестикутника дорівнювати 115°?

3

Достатній рівень

828. Визначте кути опуклого шестикутника, якщо їх градусні міри відносяться як 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7.

829. Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого, більший за попередній на 10°.

830. Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1) 1080°; 2) 2100°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього сторін і скільки діагоналей.

831. Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1) 2500°; 2) 1260°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього вершин і скільки діагоналей.

832. Кожен із зовнішніх кутів многокутника дорівнює 30°. Знайдіть кількість його сторін.

833. Усі зовнішні кути многокутника - прямі. Визначте вид цього многокутника.

4

Високий рівень

834. Чи існує многокутник, у якого кількість діагоналей дорівнює кількості сторін?

835. Сума внутрішніх кутів многокутника в 5 разів більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки вершин у многокутника?

836. Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, якщо сума його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, на 1980° менша від суми внутрішніх кутів.

837. В опуклому п’ятикутнику ABCDE вершину B сполучено рівними між собою діагоналями з двома іншими вершинами. Відомо, що ∠BEA = ∠BDC, ∠ABE = ∠CBD. Порівняйте периметри чотирикутників ABDE і BEDC.

Вправи для повторення

838. AK і BM - висоти гострокутного трикутника ABC. Використовуючи подібність трикутників, доведіть, що AK ∙ BC = AC ∙ BM.

839. Навколо кола описано трапецію, периметр якої дорівнює P см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

840. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами:

1) 5 см і 9 см; 2) 2,1 дм і 0,8 дм;

3) 7 см і 1 дм; 4) 4,1 дм і 0,32 м.

841. Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 7 см; 2) 29 мм; 3) 4,5 мм; 4) м.

Цікаві задачі для учнів неледачих

842. (Національна олімпіада Бразилії, 1983 р.) Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного в коло прямокутного трикутника знайдуться точки з обох множин.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити