Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

§23. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКА. ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА

Будь-який многокутник обмежує деяку частину площини. Цю частину площини називають внутрішньою областю многокутника. На малюнку 226 внутрішню область многокутника зафарбовано. Будемо розглядати многокутник разом з його внутрішньою областю.

Кожному многокутнику можна поставити у відповідність значення його площі, вважаючи, що площа многокутника - це та частина площини, яку займає многокутник. Поняття площі нам відомо з повсякденного життя (площа кімнати, площа городу, площа аркуша). Також з поняттям площі ви ознайомилися на уроках математики у 5-6-х класах.

Мал. 226

Сформулюємо основні властивості площі:

1) площа кожного многокутника є додатним числом;

2) рівні між собою многокутники мають рівні площі;

3) якщо многокутник розбито на кілька многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників;

4) одиницею вимірювання площі є площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання довжини (такий квадрат ще називають одиничним квадратом).

Наприклад, якщо за одиницю вимірювання довжини взяти 1 см, то відповідною одиницею вимірювання площі буде площа квадрата зі стороною 1 см. Такий квадрат має площу 1 см2 (читається: один квадратний сантиметр). Іншими одиницями вимірювання площі є 1 мм2; 1 дм2; 1 м2; 1 км2. Для площ ділянок землі використовують одиниці вимірювання ар і гектар: 1 а = 100 м2; 1 га = 100 а = 10 000 м2.

Площу фігури прийнято позначати літерою S.

Задача 1. Знайдіть площу многокутника, зображеного на малюнку 227, якщо сторона клітинки дорівнює 1 см.

Мал. 227

Р о з в’ я з а н н я. Внутрішня область многокутника складається з шістнадцяти клітинок зі стороною завдовжки 1 см, площа кожної з яких - 1 см2, і чотирьох трикутників, площа кожного з яких дорівнює половині площі клітинки. Отже, площа фігури

S = 16 ∙ 1 +   ∙ 1 ∙ 4 = 18 (см2).

В і д п о в і д ь. 18 см2.

Площі деяких фігур можна знаходити за формулами. Наприклад, з попередніх класів нам відомо формули для обчислення площі прямокутника, квадрата, круга.

Т е о р е м а (про площу прямокутника). Площа S прямокутника зі сторонами а і b обчислюється за формулою

S = а ∙ b.

Доведення цієї теореми є досить громіздким, ознайомитися з ним можна у Додатку 2 (с. 194).

Якщо сторони прямокутника a = 1 дм і b = 6 см, то S = 10 ∙ 6 = 60 (см2), а якщо a =  м i b =  м, S =  ∙  =  = 4 (м2).

Н а с л і д о к. Площа S квадрата зі стороною а обчислюється за формулою S = а2.

Задача 2. Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 6 см, а одна зі сторін прямокутника в 4 рази більша за другу. Знайдіть периметр прямокутника.

Розв’язання. Нехай SK - площа квадрата, SП - площа прямокутника, P - периметр прямокутника.

1) SK = SП = 6 = 36 (см2).

2) Нехай одна зі сторін прямокутника дорівнює х cм, тоді друга дорівнює 4х см. За формулою площі прямокутника маємо рівняння:

х ∙ 4х = 36, тобто 4х2 = 36, звідки х2 = 9.

Враховуючи, що х > 0, маємо: х = 3. Отже, сторони прямокутника дорівнюють 3 см і 4 ∙ 3 = 12 (см).

3) P = 2(3 + 12) = 30 (см).

В і д п о в і д ь. 30 см.

А ще  раніше...

Дещо про вимірювання площ було відомо геометрам багато тисячоліть тому.

2-3 тисячі років до н. е. вавилоняни вже вміли обчислювати площі прямокутника і трапеції у квадратних одиницях. Еталоном обчислення площ для них був квадрат зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Для обчислення площ прямокутника, трикутника і трапеції давні єгиптяни 4000 років тому використовували ті самі формули, що й ми зараз.

У «Началах» Евклід не вживав термін «площа», оскільки під терміном «фігура» мав на увазі частину площини, що обмежена замкненою лінією, тобто площу. Евклід не подавав результат вимірювання площі числом, а порівнював площі різних фігур між собою, використовуючи термін «рівновеликі». Так, наприклад, у першій книзі «Начал» можна зустріти задачу 16: «Паралелограми, що знаходяться на рівних основах і між тими самими паралельними, рівновеликі. Доведіть!».

Як і інші вчені, Евклід досліджував питання перетворення одних фігур в інші, їм рівновеликі. Так, наприклад, він розв'язав задачу про побудову квадрата, рівновеликого даному многокутнику.

1. Поясніть, що таке площа многокутника.

2. Сформулюйте основні властивості площі.

3. Сформулюйте теорему про площу прямокутника та наслідок з неї.

1

Початковий рівень

843.  Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 2 см;         2) 4 дм;     3) 12 см;     4) 3 м.

844.  Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 5 см;         2) 7 дм;     3) 9 см;       4) 6 м.

845.  Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють:

1) 5 см і 9 см; 2) 12 дм і 4 дм.

846.  Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють:

1) 7 см і 6 см; 2) 10 дм і 5 дм.

847. Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін - 4 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

848. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 5 см, а його площа - 20 см2. Знайдіть другу сторону прямокутника.

2

Середній рівень

849. (Усно.) Знайдіть площі многокутників, зображених на малюнках 228 і 229, якщо сторона клітинки дорівнює 1 см.

Мал. 228

Мал. 229

850. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює:

1) 4 см2;         2) 25 дм2.

851. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює:

1) 9 дм2;         2) 100 см2.

852. Розміри футбольного поля 110x70 м. Більша чи менша за гектар його площа?

853. Квадрат і прямокутник мають рівні площі. Сторона квадрата дорівнює 4 см, а одна зі сторін прямокутника - 2 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

854. Прямокутник і квадрат мають рівні площі. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 4 см, а сторона квадрата - 8 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

855. Знайдіть площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а діагональ - 13 см.

856.  Діагональ прямокутника дорівнює 17 см, а одна з його сторін - 8 см. Знайдіть площу прямокутника.

3

Достатній рівень

857. Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює:

1) 8 см; 2) d см.

858. Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4см.

859.  Периметр прямокутника 26 см, а одна з його сторін на 5 см більша за другу. Знайдіть сторону квадрата, що має таку саму площу, як і прямокутник.

860.  Прямокутник і квадрат мають рівні площі. Периметр прямокутника дорівнює 50 см, а одна з його сторін на 15 см більша за другу. Знайдіть сторону квадрата.

861.  Як зміниться площа прямокутника, якщо:

1) одну з його сторін збільшити вдвічі;

2) одну з його сторін зменшити втричі;

3) кожну зі сторін збільшити в 4 рази;

4) одну сторону збільшити вдвічі, а другу - у 5 разів;

5) одну зі сторін збільшити у 12 разів, а другу - зменшити вдвічі?

862.  Як зміниться площа квадрата, якщо кожну з його сторін:

1) збільшити в 5 разів;    2) зменшити втричі?

863.  (Усно.) Чи можуть два не рівних між собою квадрати мати рівні площі?

864.  1) Чи можуть два не рівних між собою прямокутники мати рівні площі?

2) Два прямокутники мають рівні площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні?

3) Два прямокутники мають рівні площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні, якщо одна зі сторін першого прямокутника дорівнює стороні другого?

865.  Сторони квадратів 15 см і 17 см. Чому дорівнює сторона квадрата, площа якого дорівнює різниці площ даних квадратів?

866.  Сторони квадратів 8 дм і 6 дм. Чому дорівнює сторона квадрата, площа якого дорівнює сумі площ даних квадратів?

867. Прямокутник, сторони якого 8 м і 6,5 м, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 м. Скільки утворилося квадратів?

868.  Знайдіть площу квадрата, описаного навколо кола, радіус якого r.

869.  Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 3 : 4, а площа дорівнює 108 см2.

870.  Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 24 см2, а одна зі сторін у 1,5 раза більша за другу.

871.  Бісектриса AM кута прямокутника ABCD поділяє сторону BC на відрізки BM = 3 см і MC = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

872.  Бісектриса BK кута прямокутника ABCD поділяє сторону AD на відрізки AK = 7 см і KD = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

873.  Одна зі сторін прямокутника на 3 см більша за іншу, а діагональ прямокутника дорівнює 15 см. Знайдіть площу прямокутника.

874. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 7 см, а його діагональ на 1 см більша за іншу сторону. Знайдіть площу прямокутника.

4

Високий рівень

875.  На малюнку 230 ABCD - прямокутник, M - середина відрізка AK. Доведіть, що SABCD = SAKD.

876.  Відношення площ двох квадратів дорівнює 5. Знайдіть відношення їх периметрів.

877.  Відношення периметрів двох квадратів дорівнює 3. Знайдіть відношення їх площ.

Мал. 230

Вправи для повторення

3

878. Сума кутів одного опуклого многокутника дорівнює сумі кутів іншого опуклого многокутника. Чи можна стверджувати, що многокутники мають однакову кількість сторін?

4

879. Доведіть, що навколо паралелограма, який не має прямих кутів, не можна описати коло.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

880. Накресліть будь-який паралелограм, у якого одна зі сторін дорівнює 5 см, а висота, що проведена до цієї сторони, - 3 см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

881. Центри трьох рівних між собою кіл є вершинами рівностороннього трикутника. Ці кола не мають спільних точок. Скільки існує кіл, які мають зовнішній або внутрішній дотик із трьома даними колами?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити