Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік
Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ
§24. ПЛОЩА ПАРАЛЕЛОГРАМА
Т е о р е м а (про площу паралелограма). Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - довільний паралелограм, BM - його висота (мал. 231). Доведемо, що площу S паралелограма можна обчислити за формулою S = AD ∙ BM.
1) Проведемо висоту CN до прямої, що містить сторону AD паралелограма ABCD.
2) ∠BAM = ∠CDN (як відповідні кути при паралельних прямих AB і CD та січній AN). Тому ∆BAM = ∆CDN (за гіпотенузою і гострим кутом).
3) Паралелограм ABCD складається з трапеції MBCD і трикутника BAM, а прямокутник MBCN з трапеції MBCD і трикутника CDN. Оскільки трикутники BAM і CDN між собою рівні, то рівні і їх площі, а тому рівними є площі паралелограма ABCD та прямокутника MBCN.
4) Площа прямокутника MBCN дорівнює MN ∙ BM. Але AM = DN, а тому MN = AD. Отже, S = AD ∙ BM.
Зауважимо, що коли основа висоти BM - точка M - збігається з точкою D або лежить на продовженні сторони AD, то доведення теореми є аналогічним.
У загальному вигляді формулу площі S паралелограма можна записати так:
Мал. 231
S = aha,
де a - сторона паралелограма, ha - висота, проведена до неї.
Задача 1. Доведіть, що висоти ромба, проведені з однієї вершини, між собою рівні.
Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - даний ромб, BM і BN - його висоти (мал. 232). Оскільки ромб є паралелограмом, то SABCD = AD ∙ BM = DC ∙ BN.
Але AD = DC, тому BM = BN.
Мал. 232
Задача 2. Периметр паралелограма дорівнює 36 см, а його висоти - 4 см і 5 см. Знайдіть площу паралелограма.
Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ABCD - даний паралелограм,
BM = 4 см і BN = 5 см - його висоти (мал. 232).
2) PABCD = 2(AD + DC). За умовою 2(AD + DC) = 36, тому AD + DC = 18 (см).
3) Нехай AD = x см, тоді DC = (18 - x) см.
4) За формулами площі паралелограма:
SABCD = AD ∙ BM або SABCD = DC ∙ BN.
Тому маємо рівняння: x ∙ 4 = (18 - x) ∙ 5.
Тобто 4x = 90 - 5x; звідки x = 10 (см).
5) Тоді S = 10 ∙ 4 = 40 (см2).
В і д п о в і д ь. 40 см2.
Сформулюйте і доведіть теорему про площу паралелограма.
1
Початковий рівень
882. Сторона паралелограма дорівнює a, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
1) a = 5 см, h = 7 см; 2) a = 8 дм, h = 4 дм.
883. Сторона паралелограма дорівнює a, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
1) a = 6 см, h = 3 см; 2) a = 5 дм, h = 9 дм.
884. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, а одна з його сторін - 6 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони.
885. Площа паралелограма - 18 дм2, а одна з його висот дорівнює 3 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту.
2
Середній рівень
886. Діагональ паралелограма завдовжки 5 см перпендикулярна до сторони паралелограма, що дорівнює 6 см. Знайдіть площу паралелограма.
887. Сторона паралелограма завдовжки 8 см перпендикулярна до діагоналі паралелограма, що дорівнює 5 см. Знайдіть площу паралелограма.
888. Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 233 і 234, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.
889. Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 235 і 236, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.
Мал. 233
Мал. 234
Мал. 235
Мал. 236
890. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, - 4 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 36 см2.
891. Площа паралелограма дорівнює 48 см2. Одна з його сторін - 8 см, а одна з висот - 4 см. Знайдіть периметр паралелограма.
3
Достатній рівень
892. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см. Висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 3 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.
893. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до неї, - 6 см. Знайдіть другу сторону паралелограма, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 4,8 см.
894. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а його гострий кут - 30°. Знайдіть площу паралелограма.
895. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один з його кутів - 150°. Знайдіть площу ромба.
896. Висота паралелограма втричі більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа паралелограма дорівнює 12 см2.
897. Сторона паралелограма в 5 разів більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа паралелограма дорівнює 45 см2.
898. Периметр ромба дорівнює P см. Знайдіть його площу, якщо одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 75°.
4
Високий рівень
899. Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, дорівнює 15 см. Знайдіть площу паралелограма.
900. Дві висоти паралелограма дорівнюють 2 см і 3 см, а сума двох його суміжних сторін - 10 см. Знайдіть площу паралелограма.
901. Висоти паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а кут між ними - 30°. Знайдіть площу паралелограма.
902. Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см. Чи може його площа дорівнювати:
1) 41 см2; 2) 40 см2; 3) 39 см2?
903. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 12 см, а одна з його висот - 6 см. Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків має задача?
Вправи для повторення
3
904. Сума кутів одного з многокутників на 540° більша за суму кутів другого многокутника. На скільки більше вершин у першого многокутника, ніж у другого?
4
905. Середини сторін ромба послідовно сполучено відрізками. Обчисліть площу чотирикутника, що утворився, якщо діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 10 см.
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
906. Накресліть два нерівних між собою трикутники, у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 4 см, а висоти, проведені до цих сторін, - 2,5 см.
Цікаві задачі для учнів неледачих
907. (Задача ал-Еораджи.) Знайдіть площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру1.