Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

§24. ПЛОЩА ПАРАЛЕЛОГРАМА

Т е о р е м а (про площу паралелограма). Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - довільний паралелограм, BM - його висота (мал. 231). Доведемо, що площу S паралелограма можна обчислити за формулою S = AD ∙ BM.

1) Проведемо висоту CN до прямої, що містить сторону AD паралелограма ABCD.

2) ∠BAM = ∠CDN (як відповідні кути при паралельних прямих AB і CD та січній AN). Тому ∆BAM = ∆CDN (за гіпотенузою і гострим кутом).

3) Паралелограм ABCD складається з трапеції MBCD і трикутника BAM, а прямокутник MBCN з трапеції MBCD і трикутника CDN. Оскільки трикутники BAM і CDN між собою рівні, то рівні і їх площі, а тому рівними є площі паралелограма ABCD та прямокутника MBCN.

4) Площа прямокутника MBCN дорівнює MN ∙ BM. Але AM = DN, а тому MN = AD. Отже, S = AD ∙ BM.

Зауважимо, що коли основа висоти BM - точка M - збігається з точкою D або лежить на продовженні сторони AD, то доведення теореми є аналогічним.

У загальному вигляді формулу площі S паралелограма можна записати так:

Мал. 231

S = aha,

де a - сторона паралелограма, ha - висота, проведена до неї.

Задача 1. Доведіть, що висоти ромба, проведені з однієї вершини, між собою рівні.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - даний ромб, BM і BN - його висоти (мал. 232). Оскільки ромб є паралелограмом, то SABCD = AD ∙ BM = DC ∙ BN.

Але AD = DC, тому BM = BN.

Мал. 232

Задача 2. Периметр паралелограма дорівнює 36 см, а його висоти - 4 см і 5 см. Знайдіть площу паралелограма.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ABCD - даний паралелограм,

BM = 4 см і BN = 5 см - його висоти (мал. 232).

2) PABCD = 2(AD + DC). За умовою 2(AD + DC) = 36, тому AD + DC = 18 (см).

3) Нехай AD = x см, тоді DC = (18 - x) см.

4) За формулами площі паралелограма:

SABCD = AD ∙ BM або SABCD = DC ∙ BN.

Тому маємо рівняння: x ∙ 4 = (18 - x) ∙ 5.

Тобто 4x = 90 - 5x; звідки x = 10 (см).

5) Тоді S = 10 ∙ 4 = 40 (см2).

В і д п о в і д ь. 40 см2.

Сформулюйте і доведіть теорему про площу паралелограма.

1

Початковий рівень

882.  Сторона паралелограма дорівнює a, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) a = 5 см, h = 7 см; 2) a = 8 дм, h = 4 дм.

883.  Сторона паралелограма дорівнює a, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) a = 6 см, h = 3 см; 2) a = 5 дм, h = 9 дм.

884. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, а одна з його сторін - 6 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони.

885. Площа паралелограма - 18 дм2, а одна з його висот дорівнює 3 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту.

2

Середній рівень

886.  Діагональ паралелограма завдовжки 5 см перпендикулярна до сторони паралелограма, що дорівнює 6 см. Знайдіть площу паралелограма.

887.  Сторона паралелограма завдовжки 8 см перпендикулярна до діагоналі паралелограма, що дорівнює 5 см. Знайдіть площу паралелограма.

888.  Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 233 і 234, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

889.  Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 235 і 236, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

Мал. 233

Мал. 234

Мал. 235

Мал. 236

890. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, - 4 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 36 см2.

891. Площа паралелограма дорівнює 48 см2. Одна з його сторін - 8 см, а одна з висот - 4 см. Знайдіть периметр паралелограма.

3

Достатній рівень

892. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см. Висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 3 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.

893. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до неї, - 6 см. Знайдіть другу сторону паралелограма, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 4,8 см.

894. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а його гострий кут - 30°. Знайдіть площу паралелограма.

895. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один з його кутів - 150°. Знайдіть площу ромба.

896. Висота паралелограма втричі більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа паралелограма дорівнює 12 см2.

897. Сторона паралелограма в 5 разів більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа паралелограма дорівнює 45 см2.

898. Периметр ромба дорівнює P см. Знайдіть його площу, якщо одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 75°.

4

Високий рівень

899. Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, дорівнює 15 см. Знайдіть площу паралелограма.

900. Дві висоти паралелограма дорівнюють 2 см і 3 см, а сума двох його суміжних сторін - 10 см. Знайдіть площу паралелограма.

901. Висоти паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а кут між ними - 30°. Знайдіть площу паралелограма.

902. Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см. Чи може його площа дорівнювати:

1) 41 см2;               2) 40 см2;   3) 39 см2?

903. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 12 см, а одна з його висот - 6 см. Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків має задача?

Вправи для повторення

3

904. Сума кутів одного з многокутників на 540° більша за суму кутів другого многокутника. На скільки більше вершин у першого многокутника, ніж у другого?

4

905. Середини сторін ромба послідовно сполучено відрізками. Обчисліть площу чотирикутника, що утворився, якщо діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 10 см.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

906. Накресліть два нерівних між собою трикутники, у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 4 см, а висоти, проведені до цих сторін, - 2,5 см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

907. (Задача ал-Еораджи.) Знайдіть площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру1.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити