Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

§25. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА

Т е о р е м а (про площу трикутника). Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Д о в е д е н н я. Нехай ABC - довільний трикутник, BH - його висота (мал. 237). Доведемо, що SABC =  AC ∙ BH.

1) Проведемо через вершину B пряму, паралельну AC, а через вершину C - пряму, паралельну AB. Одержимо паралелограм ABDC.

2) ∆ABC = ∆DCB (за трьома сторонами). Тому SABCD = 2SABC, звідки SАВС =  SABCD.

Мал. 237

1 Основою і висотою ал-Кораджи називав дві сторони прямокутника.

3) Оскільки SABCD = AC ∙ BH, то =  AC ∙ BH.

У загальному вигляді формулу площі трикутника S можна записати так:

S =  aha,

де а - сторона трикутника, ha - висота, проведена до неї.

Н а с л і д о к 1. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Н а с л і д о к 2. Якщо сторона одного трикутника дорівнює стороні другого, то площі таких трикутників відносяться як їх висоти, проведені до цих сторін.

Н а с л і д о к 3. Якщо висота одного трикутника дорівнює одній з висот другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як сторони, до яких проведено ці висоти.

Задача 1. Доведіть, що коли кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як добутки сторін, що утворюють цей кут.

Мал. 238

Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких ∠A = ∠A1. Проведемо висоти BH і B1H1 (мал. 238).

1) Маємо:

 =  =  =  ∙ .

2) ∆ABH ∾ ∆A1B1H1 (як прямокутні, за гострим кутом).

Тому  = .

3) Маємо:  =  ∙  = .

Задача 2. Знайдіть площу рівностороннього трикутника зі стороною а.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай ∆ABC - рівносторонній зі стороною завдовжки а.

Тоді SABC =  а ∙ ha. У рівносторонньому трикутнику ha = ma, де ma - медіана. Але mа =  (§ 18, задача 4), тому і ha = .

Отже, SABC =  a ∙  = .

В і д п о в і д ь. .

Задача 3. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 15 см і 17 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до найбільшої його сторони.

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки 172 = 82 + 152 (289 = 289), то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник є прямокутним. Прямий кут лежить проти сторони, що дорівнює 17 см.

Скористаємося малюнком 239. Нехай c = 17 см - гіпотенуза, b = 8 см і а = 15 см - катети трикутника, hc - його висота. Знайдемо hc.

Площу даного трикутника можна знайти

Мал. 239

за формулами: S =  а ∙ b або S =  c ∙ hc.

Тоді  а ∙ b =  с ∙ hc, тобто ab = chc, звідки hc = .

Отже, маємо:  = 7 (см).

В і д п о в і д ь. 7 см.

1. Сформулюйте і доведіть теорему про площу трикутника.

2. Сформулюйте наслідки з теореми про площу трикутника.

1

Початковий рівень

908. Сторона трикутника дорівнює a, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) a = 10 см, h = 5 см; 2) a = 3 дм, h = 5 дм.

909. Нехай a - сторона трикутника, h - висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) a = 6 дм, h = 4 дм; 2) a = 7 см, h = 1 см.

910.  Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють:

1) 4 см і 3 см; 2) 9 дм і 5 дм.

911.  Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють:

1) 6 см і 5 см; 2) 7 дм і 3 дм.

2

Середній рівень

912. Площа трикутника дорівнює 36 дм2, а одна з його висот - 8 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту.

913. Площа трикутника дорівнює 20 см2, а одна з його сторін - 8 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

914.  Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 240 і 241, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

Мал. 240

Мал. 241

915.  Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках 242 і 243, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

Мал. 242

Мал. 243

916. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а висота, проведена до основи, - 3 см. Знайдіть площу трикутника.

917.  Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 7 см, а гіпотенуза - 25 см. Знайдіть площу трикутника.

3

Достатній рівень

918.  Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть площу трикутника.

919.  Висота рівнобедреного прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу трикутника.

920. 1) Діагоналі ромба дорівнюють 8 см і 10 см. Знайдіть площу ромба.

2) Використовуючи формулу площі прямокутного трикутника, виведіть формулу площі ромба через його діагоналі d1 і d2.

921.  Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 12 см і 6 см.

922.  У прямокутнику ABCD BD = 10 см. Вершина B віддалена від прямої AC на 3 см. Знайдіть площі трикутника ABC і прямокутника ABCD.

923.  Сторона трикутника вдвічі більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа трикутника дорівнює 16 см2.

924.  Висота трикутника у 4 рази більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа трикутника дорівнює 18 см2.

925. На стороні AC трикутника ABC, площа якого дорівнює 12 см2, узято точку D так, що AD : DC = 1 : 2. Знайдіть площі трикутників ABD і DBC.

926.  На стороні AB трикутника ABC, площа якого дорівнює 20 см2, узято точку K так, що AK : KB = 1 : 3. Знайдіть площі трикутників ACK і CKB.

927. ABCD - трапеція, AD || BC. Доведіть, що SACD = SABD.

928.  У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 1 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.

929.  У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 6 см, починаючи від вершини при основі. Знайдіть площу трикутника.

930.  Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

931.  Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

4

Високий рівень

932.  У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

933.  У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 3 см і 5 см. Знайдіть площу трикутника.

934.  Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 6 см. Чи може площа трикутника дорівнювати:

1) 11 см2;        2) 12 см2;  3) 13 см2?

935.  Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, яка є серединою відрізка AB. Знайдіть відношення площ трикутників AOC і BOD, якщо CO = 3 см, DO = 6 см.

936. MN - середня лінія трикутника ABC, M ∈ AB, N ∈ AC. Знайдіть відношення площ трикутників AMN і ABC.

Вправи для повторення

2

937. Навколо кола, радіус якого дорівнює 3 см, описано квадрат. Знайдіть периметр і площу квадрата.

3

938. Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 1: 2. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 48 см.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

939. Накресліть трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см, а висота - 4 см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

940. Стіна заввишки 3,5 м відкидає тінь завдовжки 5 м. Олександр Семенович, зріст якого 1 м 75 см, стоїть на відстані 10 м від краю тіні. Яку найменшу кількість кроків він має зробити, щоб повністю потрапити в тінь, якщо довжина його кроку 0,5 м?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити