Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

§26. ПЛОЩА ТРАПЕЦІЇ

Т е о р е м а (про площу трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту.

Доведення. Нехай ABCD - довільна трапеція з основами AD і BC, BK - її висота (мал. 244). Доведемо, що площу трапеції S можна знайти за формулою:

S = ∙ BK.

1) Діагональ BD розбиває трапецію на два трикутники ABD і BDC. Тому

S = SABD + SBDC .

2) BK - висота трикутника ABD, тому SABD = AD ∙ BK.

Мал. 244

3) Проведемо у трапеції висоту DN, вона є і висотою трикутника BDC, тому SBDC = ВС ∙ DN.

4) DN = BK (як висоти трапеції). Отже, S = SABD+ SBDC = AD ∙ BK + ВС ∙ DN = + = (AD + BC) ∙ = ∙ ВК.

У загальному вигляді формулу площі трапеції S можна записати так:

S = h,

де а і b - основи трапеції, h - її висота.

Н а с л і д о к. Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту.

Задача 1. У трапеції ABCD (AD || BC), AD = 8 см, BC = 5 см, AB = 12 см, ∠A = 30°. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язання. 1) Проведемо у трапеції ABCD висоту BK (мал. 245). У ∆ABK (∠K = 90°) ВК = (за властивістю катета, що лежить проти кута 30°). Отже, ВК = = 6 (см).

2) SABCD = ∙ BK = ∙ 6 = 39 (см2).

В і д п о в і д ь. 39 см2.

Мал. 245

Мал. 246

Задача 2. Периметр трапеції 60 см, а точка дотику вписаного кола ділить одну з бічних сторін на відрізки 9 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки трапецію описано навколо кола (мал. 246), то AD + BC = АВ + CD = = = 30 (см)

2) Центр вписаного кола - точка O - є точкою перетину бісектрис кутів трапеції, отже, і кутів BAD і ABC. Тому ∠AOB = 90° (див. задачу 214).

3) Точка K - точка дотику кола до сторони AB, тому OK ⊥ AB. Отже, OK - радіус кола і висота прямокутного трикутника BOA, проведена до гіпотенузи. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику маємо: OK2 = AK ∙ KB = 9 ∙ 4 = 36, звідки OK = 6 (см).

4) MN - діаметр кола, а також висота трапеції, MN = = 2 ∙ OK = 2 ∙ 6 = 12 (см).

5) Oтжe SABCD = ∙ MN = ∙ 12 = 180 (см2).

В і д п о в і д ь. 180 см2.

1. Сформулюйте і доведіть теорему про площу трапеції.

2. Сформулюйте наслідок із цієї теореми.

1

Початковий рівень

941. Нехай а і b - основи трапеції, h - її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо:

1) а = 5 см, b = 7 см, h = 4 см;

2) а = 9 дм, b = 1 дм, h = 5 дм.

942. Нехай а і b - основи трапеції, h - її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо:

1) а = 9 см, b = 3 см, h = 2 см;

2) а = 3 дм, b = 7 дм, h = 6 дм.

943. Знайдіть площу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 4 см, а висота - 5 см.

944. Висота трапеції дорівнює 3 см, а середня лінія - 6 см. Знайдіть площу трапеції.

2

Середній рівень

945. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 13 см, а її площа - 40 см2. Знайдіть висоту трапеції.

946. Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її основи - 8 см і 10 см. Знайдіть висоту трапеції.

947. Висота трапеції дорівнює 6 см, а її площа - 24 см2. Знайдіть суму основ трапеції.

948. Висота трапеції дорівнює 8 см, а площа - 40 см2. Знайдіть середню лінію трапеції.

949. Площа трапеції дорівнює 63 см2, одна з її основ - 5 см, а висота - 7 см. Знайдіть другу основу трапеції.

950. Одна з основ трапеції дорівнює 17 см, а її висота - 3 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 33 см2.

951. ABCD (AD || BC) - рівнобічна трапеція з тупим кутом B, BK - її висота, AK = 3 см, BC = 5 см, BK = 4 см. Знайдіть площу трапеції.

952. ABCD (AB || CD) - прямокутна трапеція з тупим кутом D, DK - висота трапеції, AK = 4 см, CD = 7 см, DK = 5 см. Знайдіть площу трапеції.

3

Достатній рівень

953. Площа прямокутної трапеції дорівнює 30 см2, її периметр - 28 см, а менша бічна сторона - 3 см. Знайдіть більшу бічну сторону.

954. Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 32 см, її бічна сторона - 5 см, а площа - 44 см2. Знайдіть висоту трапеції.

955. У трапеції ABCD менша основа AB дорівнює 6 см, а висота трапеції - 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо площа трикутника ADC дорівнює 40 см2.

956. У трапеції ABCD основи AD і BC дорівнюють відповідно 10 см і 8 см. Площа трикутника ABD дорівнює 25 см2. Знайдіть площу трапеції.

957. Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її висота - 6 см. Знайдіть основи трапеції, якщо вони відносяться як 1 : 3.

958. Основи трапеції відносяться як 1 : 4. Знайдіть ці основи, якщо висота трапеції дорівнює 4 см, а площа трапеції - 50 см2.

959. Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють а см і b см, а бічна сторона завдовжки c см утворює з меншою основою кут 150°.

960. У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 6 см і утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Знайдіть площу трапеції, якщо її тупий кут дорівнює 135°.

961. У прямокутній трапеції менша бічна сторона дорівнює 4 см і утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Гострий кут трапеції також дорівнює 45°. Знайдіть площу трапеції.

962. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а більша основа - 12 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см.

963. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 17 см, а висота - 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 5 см.

964. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 38 см і 52 см, а бічна сторона - 25 см. Знайдіть площу трапеції.

965. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см, бічна сторона - 13 см, а висота - 12 см. Знайдіть площу трапеції.

966. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 6 см, бічна сторона - 5 см, а висота - 3 см. Знайдіть площу трапеції.

4

Високий рівень

967. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

968. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 см і 6 см. Знайдіть площу трапеції.

969. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює h см. Знайдіть площу трапеції.

970. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, а основи дорівнюють 10 см і 4 см.

971. Точка дотику кола, вписаного у прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

Вправи для повторення

2

972. Обчисліть суму кутів опуклого 17-кутника.

3

973. Скільки плиток квадратної форми зі стороною 20 см знадобиться, щоб викласти ними підлогу в кімнаті прямокутної форми, довжина якої 4,6 м, а ширина 3,4 м?

974. Один з кутів ромба на 120° більший за другий, а сторона ромба дорівнює 6 см. Знайдіть площу ромба.

Цікаві задачі для учнів неледачих

975. Із трьох квадратів, довжина сторони кожного з яких є цілим числом сантиметрів, складено прямокутник, площа якого 150 см2. Знайдіть периметр прямокутника.

Домашня самостійна робота № 5

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.

1

1. На якому з малюнків 247-250 зображено п’ятикутник, описаний навколо кола?

А. мал. 247; Б. мал. 248; В. мал. 249; Г. мал. 250.

Мал. 247

Мал. 248

Мал. 249

Мал. 250

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 7 см і 4 см.

А. 28 см; Б. 22 см; В. 28 см2; Г. 11 см2.

3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а висота, проведена до цієї сторони, - 5 см.

А. 40 см2; Б. 26 см2; В. 20 см2; Г. 13 см2.

4. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 10-кутника.

А. 360°; Б. 1800°; В. 1620°; Г. 1440°.

5. Знайдіть сторону трикутника, якщо його площа дорівнює 24 см2, а висота, проведена до цієї сторони, - 6 см.

А. 4 см; Б. 18 см; В. 8 см; Г. 12 см.

6. Одна з основ трапеції дорівнює 5 см, а її висота - 4 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 28 см2.

А. 11 см; Б. 2 см; В. 7 см; Г. 9 см.

7. Прямокутник, сторони якого дорівнюють 16 дм і 9,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки отримали квадратів?

А. 612; Б. 608; В. 51; Г. 618.

8. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а висота - 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см.

А. 50 см2; Б. 52,5 см2; В. 100 см2; Г. 62,5 см2.

9. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см.

А. 80 см2; Б. 20 см2; В. 40 см2; Г. 36 см2.

4

10. У прямокутному трикутнику гіпотенуза точкою дотику вписаного кола ділиться на відрізки 3 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника.

А. 60 см2; Б. 50 см2; В. 40 см2; Г. 30 см2.

11. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

А. 75 см2; Б. 50 см2; В. 100 см2; Г. 150 см2.

12. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 9 см, а сума двох його висот, проведених з одн ієї вершини, - 7 см. Знайдіть площу паралелограма.

А. 108 см2; Б. 48 см2; В. 36 см2; Г. 27 см2.

Завдання для перевірки знань до § 22-26

1. Накресліть коло, впишіть у нього п’ятикутник та опишіть навколо нього семикутник.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 9 см.

3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 7 см, а висота, проведена до цієї сторони, - 4 см.

2

4. Обчисліть суму кутів опуклого 15-кутника.

5. Площа трикутника дорівнює 30 см2, а одна з його сторін - 12 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

6. Площа трапеції дорівнює 35 см2, одна з її основ - 8 см, а висота - 7 см. Знайдіть другу основу трапеції.

7. Прямокутник, сторони якого 12 дм і 7,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів?

8. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 6 см і 12 см.

9. Менша основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

Додаткові завдання

10. Відношення площ двох квадратів дорівнює 7. Знайдіть відношення їх периметрів.

11. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а сума двох його суміжних сторін - 22 см. Знайдіть площу паралелограма.

Вправи для повторення розділу 4

До § 22

976. Накресліть опуклий п’ятикутник A1A2A3A4A5 та неопуклий шестикутник В1В2В3В4В5В6. Проведіть усі діагоналі в п’ятикутнику, обчисліть їх кількість.

977. Накресліть коло. Впишіть у нього та опишіть навколо нього будь-які многокутники з однаковою кількістю сторін.

2

978. Усі зовнішні кути п’ятикутника між собою рівні. Чому дорівнюють внутрішні кути цього п’ятикутника?

979. Знайдіть, скільки діагоналей у восьмикутника.

3

980. Усі внутрішні кути n-кутника дорівнюють по 135°. Знайдіть n.

981. Як зміниться сума внутрішніх кутів опуклого многокутника, якщо кількість його сторін збільшиться на дві?

4

982. Сума кутів опуклого n-кутника у k разів більша за суму кутів опуклого (n - 1)-кутника (k - натуральне число). Знайдіть k.

До § 23

1

983. Порівняйте площу квадрата зі стороною 6 см із площею прямокутника зі сторонами 4 см і 9 см.

2

984.

1) Накресліть довільний прямокутник, площа якого 12 см2.

2) Накресліть квадрат, площа якого 9 см2.

985. На продовженні сторони AD квадрата ABCD за вершину A взято точку P, CP = 10 см, ∠CPD = 30°. Знайдіть площу квадрата.

3

986.

1) Периметр квадрата дорівнює P см. Знайдіть його площу.

2) Площа квадрата дорівнює S см2. Знайдіть його периметр.

3) Площа квадрата чисельно дорівнює його периметру. Знайдіть сторону квадрата.

987. На малюнку 251 зображено геометричне доведення формули (a + b)2= a2 + 2ab + b2. Поясніть його.

988. Скільки треба плиток прямокутної форми зі сторонами 30 см і 20 см, щоб викласти ними частину стіни, що має форму прямокутника зі сторонами 2,4 м і 3,6 м?

Мал. 251

4

989. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть площу цього прямокутника. Скільки розв’язків має задача?

990. У прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат MNKL так, що точки N і K належать гіпотенузі (причому N лежить між A і K), M належить AC, L належить BC. AN = m, KB = n. Знайдіть площу квадрата.

До § 24

1

991. Накресліть паралелограм, одна зі сторін якого дорівнює 4 см, а висота, проведена до неї, - 2 см. Знайдіть площу паралелограма.

2

992. Знайдіть площу ромба ABCD, у якого AB = 4 см, а висота, проведена до сторони BC, дорівнює 3 см.

3

993. У паралелограмі ABCD ∠B - тупий, CE - висота паралелограма, ∠DCE = 60°, AD = 5 см, AB = 4 см. Знайдіть площу паралелограма.

994. Чи існує паралелограм, у якого:

1) сторони дорівнюють 6 см і 8 см, а висоти - 3 см і 4 см;

2) сторони дорівнюють 9 см і 6 см, а висоти - 4 см і 2 см?

4

995. Квадрат і ромб мають рівні між собою сторони, а тупий кут ромба дорівнює 150°. Яка з фігур має більшу площу? У скільки разів?

996. У паралелограмі ABCD гострий кут дорівнює 30°, а бісектриса цього кута, перетинаючи сторону, ділить її навпіл. Знайдіть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 24 см.

997. У ромб ABCD вписано коло, радіус якого 8 см. K - точка дотику кола до сторони AB. Знайдіть площу ромба, якщо AK : KB = 1 : 4.

До § 25

2

998. Накресліть три різних трикутники (гострокутний, прямокутний і тупокутний), у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 3 см, а висота, проведена до неї, - 4 см. Знайдіть площу кожного із трикутників.

3

999. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 9 см, а висота, проведена до більшої з них, - 4 см. Знайдіть висоту, проведену до меншої з них.

1000. У трикутнику ABC ∠C = 135°, AC = 4 см, BD - висота трикутника, CD = 3 см. Знайдіть площу трикутника.

4

1001. У трикутнику проведено всі середні лінії. Доведіть, що площа кожного із чотирьох трикутників, які утворилися, дорівнює 14 площі початкового трикутника.

1002. CK - медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою AB. На цій медіані вибрано деяку точку M. Доведіть, що SAMC = SBMC

До § 26

1

1003. Накресліть трапецію, основи якої 4 см і 2 см, а висота - 3 см. Знайдіть площу цієї трапеції.

2

1004. Площа трапеції дорівнює 32 см2, а її середня лінія - 8 см. Знайдіть висоту трапеції.

1005. Знайдіть площі трапецій, зображених на малюнках 252-254. Довжина однієї клітинки дорівнює 0,5 см.

Мал. 252

Мал. 253

Мал. 254

3

1006. Висоти, проведені з вершин меншої основи рівнобічної трапеції, ділять більшу основу на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа і висота дорівнюють по а см.

1007. Обчисліть площу прямокутної трапеції, у якої дві менші сторони дорівнюють по b см, а гострий кут - 45°.

4

1008. EF - середня лінія трикутника ABC, EF || AB. У скільки разів площа трикутника CEF менша за площу трапеції AEFB?

1009. У рівнобічну трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на відрізки довжиною 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити