Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

Розділ 1

Чотирикутники

1010. На сторонах AB і CD паралелограма ABCD зовні нього побудовано два рівносторонніх трикутники ABK і CDL. Доведіть, що відрізок KL проходить через точку перетину діагоналей паралелограма.

1011. На основі AB рівнобедреного трикутника ABC взято довільну точку K. Через цю точку паралельно BC і AC проведено прямі, які перетинають сторони трикутника. Доведіть, що периметр паралелограма, який при цьому утворився, не залежить від положення точки K.

1012. Точки A, B і C лежать на колі із центром O. ABCO - паралелограм. Знайдіть його кути.

1013. Побудуйте паралелограм за двома діагоналями і висотою.

1014. Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники, периметри яких однакові. Визначте вид чотирикутника.

1015. Коло з діаметром AC проходить через середину сторони AB ромба ABCD. Знайдіть тупий кут ромба.

1016. Зовні прямокутника ABCD вибрано точку K так, що ∠AKC = 90°. Знайдіть ∠DKB.

1017. На катетах AC і BC прямокутного трикутника ABC побудовано квадрати ACDE і BCKL. Прямі ED і KL перетинаються в точці P. Під яким кутом перетинаються прямі PC і AB?

1018. Сторони прямокутника дорівнюють а і b (a > b). Бісектриси чотирьох кутів прямокутника, перетинаючись, утворюють чотирикутник. Знайдіть його діагоналі.

1019. Доведіть, що бісектриса кута паралелограма ділить навпіл кут між висотами, проведеними з вершини цього кута.

1020. Усередині квадрата ABCD узято точку P і на відрізку AP, як на стороні, побудовано квадрат APNM, сторона якого PN перетинає сторону AD квадрата ABCD. Порівняйте між собою відрізки BP і DM.

1021. Доведіть, що в будь-якій трапеції сума бічних сторін більша за різницю більшої і меншої основ.

1022. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони трапеції. Знайдіть периметр трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см.

1023. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції, один з кутів якої дорівнює 40°. Знайдіть інші кути трапеції.

1024. Основи трапеції дорівнюють а і b (a > b), а сума кутів, прилеглих до більшої основи, дорівнює 90°. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.

1025. Діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перетинаються в точці M. Відомо, що ∠ABC = 73°, ∠BCD = 103°, ∠ AMD = 110°. Знайдіть ∠ACD.

1026. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1, BH2 і CH3. H - точка їх перетину. Серед семи точок A, B, C, H1, H2, H3 і H укажіть усі такі їх четвірки, через які можна провести коло.

Розділ 2

Подібність трикутників

1027. У п’ятикутнику ABCDE всі кути однакові і всі сторони між собою рівні. Діагоналі AD і BE перетинаються в точці O. Доведіть, що ∆AED ∾ ∆AOE.

1028. Через вершину A паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає продовження сторін CB і CD відповідно в точках N і M. Доведіть, що добуток BN ∙ DM не залежить від того, як проведено цю пряму.

1029. Діагональ трапеції ділить її на два подібних трикутники. Визначте довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють а і b.

1030. Через середину найбільшої сторони трикутника проведено пряму, яка відтинає від нього трикутник, подібний даному. Знайдіть найменшу сторону трикутника, що відтинається, якщо сторони даного дорівнюють:

1) 42 см; 49 см; 56 см;

2) 42 см; 49 см; 63 см;

3) 42 см; 49 см; 70 см.

Скільки розв’язків має задача в кожному з випадків?

1031. У трикутнику ABC кут B - тупий. Позначте на стороні AC таку точку D, щоб виконувалася рівність AB2 = AD ∙ AC.

1032. AD і BC - основи трапеції ABCD. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. AC = 15 см, CE - висота трапеції, AE = 9 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

Розділ 3

Розв’язування прямокутних трикутників

1033. Діагоналі чотирикутника ABCD взаємно перпендикулярні. Доведіть, що AD2 + BC2= AB2+ CD2.

1034. Точка M лежить усередині кута, який дорівнює 60°. Відстані від точки M до сторін кута дорівнюють а і b. Знайдіть відстань від точки M до вершини кута.

1035. Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN - їх спільна зовнішня дотична, M і N - точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл.

1036. 1) У гострокутному трикутнику ABC BH - висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 - 2AC ∙ AH.

2) У трикутнику ABC ∠A - тупий, BH - висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 + 2AC ∙ AH.

1037. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо центр вписаного кола знаходиться на відстані m від вершини прямого кута.

1038. Нехай а і b - катети прямокутного трикутника, c - його гіпотенуза, h - висота, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник зі сторонами h, c + h і а + b - прямокутний.

1039. ABCD - прямокутна трапеція, ∠A = ∠B = 90°, AB = а, CD = b, BC = c, BC < DA. Знайдіть відстань від точки B до прямої, що містить CD.

1040. Обчисліть: 1) sin 15°; 2) sin 75°.

Розділ 4

Многокутники. Площі многокутників

1041. Чи існує многокутник, у якого:

1) 20 діагоналей; 2) 21 діагональ?

1042. В опуклому n-кутнику п’ять кутів мають градусну міру 140° кожний, інші кути - гострі. Знайдіть n.

1043. Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні довжинам цих сторін.

1044. Усередині прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) узято точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і CMA рівні між собою. Доведіть, що MA2 + MB2 = 5MC2.

1045. У скільки разів площа трикутника ABC більша за площу трикутника ABM, де M - точка перетину медіан трикутника ABC?

1046. У трикутнику ABC h1, h2, h3 - висоти, проведені відповідно до сторін AB, BC і CA, а d1 d2, d3 - відстані від довільної точки P, що знаходиться всередині цього трикутника, до сторін AB, BC і CA відповідно. Доведіть, що

+ + = 1.

1047. Точка перетину бісектрис трикутника на 3 см віддалена від прямої, що містить одну зі сторін трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо йог о периметр дорівнює 36 см.

1048. На сторонах AB, BC, AC трикутника ABC позначено точки M, K, P так, що AM : MB = BK : KC = CP : PA = 2 : 1. Площа трикутника ABC дорівнює S. Знайдіть площу чотирикутника APKM.

1049. Бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в точці O, яка знаходиться на відстані d від більшої сторони трапеції. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють m і n.

1050. AD і BC - основи трапеції ABCD, CD = c. Точка K - середина бічної сторони AB. Відстань від точки K до прямої, що містить сторону CD, дорівнює d. Знайдіть площу трапеції.

1051. У трапеції ABCD M - середина більшої основи AD, AB = BC = CD = а. Точка перетину діагоналей трапеції збігається з точкою перетину висот трикутника BMC. Знайдіть площу трапеції.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити