Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

ДОДАТОК 2 ТЕОРЕМА ПРО ПЛОЩУ ПРЯМОКУТНИКА

Т е о р е м а (про площу прямокутника). Площа S прямокутника зі сторонами а і b обчислюється за формулою S = а ∙ b.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - довільний прямокутник, у якого AB = a, AD = b (мал. 255). Доведемо, що S = ab.

1) Якщо довжини відрізків AB і AD є раціональними числами (цілими або дробовими), то існує відрізок такої довжини h, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку AB, і на відрізку AD.

Зведемо числа а і b до спільного знаменника n. Матимемо:

a = , b =  .

Тоді h = .

Маємо а = ph, b = qh. Розіб’ємо відрізок AB на p рівних частин завдовжки h, а AD - на q рівних частин завдовжки h. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні сторонам прямокутника (мал. 255). Ці прямі розіб’ють увесь прямокутник на pq рівних між собою квадратів зі стороною h =  (один з таких квадратів зафарбовано на малюнку 255). Оскільки одиничний квадрат вміщує рівно n2 квадратів зі стороною  , то площа одного квадрата з такою стороною дорівнює .

Мал. 255

Площа прямокутника дорівнює сумі площ усіх квадратів. Маємо:

S = pq ∙  =  ∙  = ab.

2) Розглянемо випадок, коли хоч одна з довжин відрізків AB або AD є числом ірраціональним (нескінченним десятковим дробом).

Нехай число an одержали із числа а відкиданням усіх десяткових знаків після коми, починаючи з (n + 1)-го.

Оскільки а відрізняється від аn не більше ніж на , то an ≤ a ≤ an + .

Аналогічно розглянемо число bn таке, що bn ≤ a ≤ bn + .

На прямих AB і AD відкладемо відрізки AB1, AB2, AD1, AD2, де AB1 = an, AB2 = an + ; AD1 = bn, AD2 = bn +AD2=bn +  і побудуємо прямокутники AB1C1D1 і AB2C2D2 (мал. 256). Тоді

SAB1C1D1 ≤ SABCD ≤ SAB2C2D2; anbn ≤ SABCD ≤ (an + )(bn + ).

Мал. 256

Будемо необмежено збільшувати число n. Тоді число  стає дуже малим, а тому число  практично не відрізнятиметься від числа an, а число bn +  практично не відрізнятиметься від числа bn. Тому добуток

(an + )( bn + )

практично не відрізнятиметься від добутку anbn. Отже, з останньої подвійної нерівності випливає, що площа прямокутника ABCD практично не відрізняється від числа anbn.

Тому S = anbn.

Але з нерівностей аn ≤ а ≤ аn +  і bn ≤ b ≤ bn +  при необмеженому збільшенні числа n слідує, що число a практично не відрізняється від числа an, а число b - від числа bn.

Отже, число anbn практично не відрізняється від числа ab. Остаточно маємо: S = ab.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити