ДОДАТОК 2 ТЕОРЕМА ПРО ПЛОЩУ ПРЯМОКУТНИКА

Т е о р е м а (про площу прямокутника). Площа S прямокутника зі сторонами а і b обчислюється за формулою S = а ∙ b.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - довільний прямокутник, у якого AB = a, AD = b (мал. 255). Доведемо, що S = ab.

1) Якщо довжини відрізків AB і AD є раціональними числами (цілими або дробовими), то існує відрізок такої довжини h, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку AB, і на відрізку AD.

Зведемо числа а і b до спільного знаменника n. Матимемо:

a = , b =  .

Тоді h = .

Маємо а = ph, b = qh. Розіб’ємо відрізок AB на p рівних частин завдовжки h, а AD - на q рівних частин завдовжки h. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні сторонам прямокутника (мал. 255). Ці прямі розіб’ють увесь прямокутник на pq рівних між собою квадратів зі стороною h =  (один з таких квадратів зафарбовано на малюнку 255). Оскільки одиничний квадрат вміщує рівно n² квадратів зі стороною  , то площа одного квадрата з такою стороною дорівнює .

Мал. 255

Площа прямокутника дорівнює сумі площ усіх квадратів. Маємо:

S = pq ∙  =  ∙  = ab.

2) Розглянемо випадок, коли хоч одна з довжин відрізків AB або AD є числом ірраціональним (нескінченним десятковим дробом).

Нехай число a_n одержали із числа а відкиданням усіх десяткових знаків після коми, починаючи з (n + 1)-го.

Оскільки а відрізняється від аn не більше ніж на , то a_n ≤ a ≤ a_n + .

Аналогічно розглянемо число b_n таке, що b_n ≤ a ≤ b_n + .

На прямих AB і AD відкладемо відрізки AB₁, AB₂, AD₁, AD₂, де AB₁ = a_n, AB₂ = a_n + ; AD₁ = b_n, AD₂ = bn +AD₂=b_n +  і побудуємо прямокутники AB₁C₁D₁ і AB₂C₂D₂ (мал. 256). Тоді

S_AB1C1D1 ≤ _SABCD ≤ S_AB2C2D2; a_nb_n ≤ S_ABCD ≤ (a_n + )(b_n + ).

Мал. 256

Будемо необмежено збільшувати число n. Тоді число  стає дуже малим, а тому число  практично не відрізнятиметься від числа a_n, а число b_n +  практично не відрізнятиметься від числа b_n. Тому добуток

(a_n + )( b_n + )

практично не відрізнятиметься від добутку a_nb_n. Отже, з останньої подвійної нерівності випливає, що площа прямокутника ABCD практично не відрізняється від числа a_nb_n.

Тому S = a_nb_n.

Але з нерівностей а_n ≤ а ≤ а_n +  і b_n ≤ b ≤ b_n +  при необмеженому збільшенні числа n слідує, що число a практично не відрізняється від числа a_n, а число b - від числа b_n.

Отже, число a_nb_n практично не відрізняється від числа ab. Остаточно маємо: S = ab.