Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік
ДОДАТОК 2 ТЕОРЕМА ПРО ПЛОЩУ ПРЯМОКУТНИКА
Т е о р е м а (про площу прямокутника). Площа S прямокутника зі сторонами а і b обчислюється за формулою S = а ∙ b.
Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - довільний прямокутник, у якого AB = a, AD = b (мал. 255). Доведемо, що S = ab.
1) Якщо довжини відрізків AB і AD є раціональними числами (цілими або дробовими), то існує відрізок такої довжини h, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку AB, і на відрізку AD.
Зведемо числа а і b до спільного знаменника n. Матимемо:
a = 
, b = 
.
Тоді h = 
.
Маємо а = ph, b = qh. Розіб’ємо відрізок AB на p рівних частин завдовжки h, а AD - на q рівних частин завдовжки h. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні сторонам прямокутника (мал. 255). Ці прямі розіб’ють увесь прямокутник на pq рівних між собою квадратів зі стороною h = (один з таких квадратів зафарбовано на малюнку 255). Оскільки одиничний квадрат вміщує рівно n2 квадратів зі стороною , то площа одного квадрата з такою стороною дорівнює 
.
Мал. 255
Площа прямокутника дорівнює сумі площ усіх квадратів. Маємо:
S = pq ∙ = ∙ = ab.
2) Розглянемо випадок, коли хоч одна з довжин відрізків AB або AD є числом ірраціональним (нескінченним десятковим дробом).
Нехай число an одержали із числа а відкиданням усіх десяткових знаків після коми, починаючи з (n + 1)-го.
Оскільки а відрізняється від аn не більше ніж на 
, то an ≤ a ≤ an + .
Аналогічно розглянемо число bn таке, що bn ≤ a ≤ bn + .
На прямих AB і AD відкладемо відрізки AB1, AB2, AD1, AD2, де AB1 = an, AB2 = an + ; AD1 = bn, AD2 = bn +AD2=bn + і побудуємо прямокутники AB1C1D1 і AB2C2D2 (мал. 256). Тоді
SAB1C1D1 ≤ SABCD ≤ SAB2C2D2; anbn ≤ SABCD ≤ (an + )(bn + ).
Мал. 256
Будемо необмежено збільшувати число n. Тоді число стає дуже малим, а тому число практично не відрізнятиметься від числа an, а число bn + практично не відрізнятиметься від числа bn. Тому добуток
(an + )( bn + )
практично не відрізнятиметься від добутку anbn. Отже, з останньої подвійної нерівності випливає, що площа прямокутника ABCD практично не відрізняється від числа anbn.
Тому S = anbn.
Але з нерівностей аn ≤ а ≤ аn + і bn ≤ b ≤ bn + при необмеженому збільшенні числа n слідує, що число a практично не відрізняється від числа an, а число b - від числа bn.
Отже, число anbn практично не відрізняється від числа ab. Остаточно маємо: S = ab.