Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ  1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§3. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 36).

Оскільки прямокутник є паралелограмом, то він має всі властивості паралелограма.

1. У прямокутнику протилежні сторони рівні.

2. Периметр прямокутника PABCD = 2(AB + BC).

3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл.

Крім цього, прямокутник має ще властивості.

4. Діагоналі прямокутника рівні.

Мал. 36

Мал. 37

Д о в е д е н н я. Нехай дано прямокутник ABCD (мал. 37). ∆ACD = ∆DBA (за двома катетами). Тому AC = BD.

5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Оскільки AC = BD, а AO = OC, BO = OD (мал. 37), то, очевидно, що AO = BO = OC = OD.

Задача 1. Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні 2 : 3. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ∠ADO : ∠ODC = 2 : 3 (мал. 37). Позначимо ∠ADO = 2x, ∠ODC = 3x. Тоді 2x + 3x = 90°, x = 18°. Тому ∠ADO = 2 ∙ 18 = 36°; ∠ODC = 3 ∙ 18 = 54°.

2) ∆ OCD - рівнобедрений (бо DO = OC). Тому ∠OCD =  ∠ODC = 54°. У ∆OCD : ∠COD = 180° - 2 ∙ 54° = 72°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 72°.

В і д п о в і д ь. 72°.

Розглянемо ознаки прямокутника.

Т е о р е м а (ознаки прямокутника). Якщо у паралелограма: 1) усі кути рівні, або 2) один кут прямий, або 3) діагоналі рівні, — то паралелограм є прямокутником.

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки всі кути паралелограма рівні, а їх сума дорівнює 360°, то кожний з них дорівнює 360° : 4 = 90°. А тому паралелограм є прямокутником.

2) Нехай кут A паралелограма ABCD прямий (мал. 36). Тоді ∠C = ∠A = 90°; ∠B = ∠D = 180° - ∠A = 180° - 90° =  90°. Отже, усі кути паралелограма прямі, а тому він є прямокутником.

3) Нехай у паралелограма ABCD діагоналі AC і BD рівні (мал. 37). AD - спільна сторона трикутників ABD і DCA. Отже, ∆ABD = ∆DCA (за трьома сторонами). Тому ∠BAD = ∠CDA. Але ж ∠ABC = ∠ADC, ∠BCD = ∠BAD. У паралелограма всі кути рівні між собою. Тому він є прямокутником (за п. 1 цієї теореми).

Задача 2. У колі із центром O проведено діаметри AC і BD (мал. 38). Визначте вид чотирикутника ABCD.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки AO = OC, BO = OD (як радіуси), то, за ознакою паралелограма, маємо, що ABCD - паралелограм.

2) Оскільки AC = BD (як діаметри), то, використовуючи ознаку прямокутника, маємо, що паралелограм ABCD є прямокутником.

В і д п о в і д ь. Прямокутник.

Мал. 38

1. Яку фігуру називають прямокутником?

2. Сформулюйте і доведіть властивості прямокутника.

3. Сформулюйте і доведіть ознаки прямокутника.

1

Початковий рівень

77. Які із чотирикутників, зображених на малюнках 39-43, є прямокутниками?

78. У прямокутнику ABCD діагональ AC дорівнює 5 см. Яка довжина діагоналі BD?

Мал. 39

Мал. 40

Мал. 41

Мал. 42

Мал. 43

79. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 7 см. Знайдіть його периметр.

80. Знайдіть периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 2 см і 5 см.

81. Якщо чотирикутник є прямокутником, то його діагоналі між собою рівні. Чи правильне обернене твердження? Наведіть приклад.

2

Середній рівень

82. Сторона BC прямокутника ABCD дорівнює 8 см, а діагональ BD - 12 см. Знайдіть периметр трикутника BOC, де O - точка перетину діагоналей прямокутника.

83. O - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. AC = 12 см, периметр трикутника AOB дорівнює 16 см. Знайдіть сторону AB.

84. (Усно.) Що можна сказати про вид паралелограма, коли відомо, що:

1) жоден з його кутів не є гострим;

2) жоден з його кутів не є тупим;

3) він має три рівних між собою кути?

85. Доведіть, що коли в чотирикутнику три кути прямі, то цей чотирикутник - прямокутник.

86. Доведіть, що коли в чотирикутнику всі кути рівні, то цей чотирикутник - прямокутник.

87. Периметр прямокутника дорівнює 40 см. Знайдіть його сторони, коли відомо, що:

1) одна з них на 2 см більша за другу;

2) сторони відносяться як 2 : 3.

88. Периметр прямокутника дорівнює 50 см. Знайдіть його сторони, коли відомо, що:

1) одна з них на 5 см менша від другої;

2) сторони відносяться як 4 : 1.

89. (Усно.) На малюнку 44 зображено прямокутник ABCD. Знайдіть усі рівні між собою кути.

Мал. 44

90. Знайдіть за малюнком 44:

1) ∠3, якщо ∠8 = 52°;

2) ∠2, якщо ∠10 = 40°.

91. Знайдіть за малюнком 44:

1) ∠5, якщо ∠2 = 37°;

2) ∠12, якщо ∠3 = 30°.

92. Діагональ прямокутника ділить кут прямокутника на два кути, один з яких на 20° більший за другий. Знайдіть ці кути.

3

Достатній рівень

93. Доведіть, що навколо прямокутника можна описати коло.

94. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він:

1) на 15° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони;

2) на 50° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони.

95. Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він:

1) на 90° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони;

2) на 40° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

96. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O, E - середина AB, ∠CAB = 70°. Знайдіть ∠DOE.

97. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. OP - бісектриса трикутника AOB, ∠DOP = 130°. Знайдіть ∠CAB .

98. У паралелограмі ABCD з гострим кутом A діагоналі перетинаються в точці O. На відрізках AO і OC позначено точки M і N так, що OM = OB, ON = OD. Доведіть, що BMDN - прямокутник.

99. Точки В і D належать колу із центром О, AC - діаметр кола, AD = BC (мал. 45). Доведіть, що ABCD - прямокутник.

Мал. 45

100.  Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до двох його сусідніх сторін, дорівнюють 4 см і 9 см. Визначте периметр прямокутника.

101. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його більша сторона дорівнює 20 см.

102. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 8 дм.

4

Високий рівень

103. На малюнку 46 ABCD - прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ACD = 60°.

1) OK = а. Знайдіть: DB і AB;

2) AC = m. Знайдіть: AK і CD.

104. На малюнку 46 ABCD - прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ACD = 60°, AB = b. Знайдіть BD і OK.

Мал. 46

105.  У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою BC = 35 см вписано прямокутник KLMN так, що точки K і L лежать на гіпотенузі трикутника, а точки M і N - на катетах. KL : KN = 3 : 2. Знайдіть периметр прямокутника.

106.  У рівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 20 см, впитано прямокутник, який має з трикутником спільний прямий кут, а вершина протилежного кута належить гіпотенузі. Знайдіть периметр прямокутника.

Вправи для повторення

107. З вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено висоту BK. Знайдіть кути паралелограма, якщо BK =  AB

108. 1) Градусна міра одного з кутів трикутника є середнім арифметичним двох інших кутів. Знайдіть цей кут.

2) Градусна міра одного з кутів чотирикутника є середнім арифметичним трьох інших кутів. Знайдіть цей кут.

109. Через точку P, що належить внутрішній області кута ABC, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який лежить між сторонами кута, ділився точкою Р навпіл.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

110. Дано: AB = BC = CD = DA (мал. 47). Довести: ∠A = AC, ∠B = A D.

Мал. 47

Цікаві задачі для учнів неледачих

111. Чи можна розрізати квадрат розміром 6 х 6 на прямокутники розміром 1 х 4?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити