Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

ВІДОМОСТІ З КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ 7 КЛАСУ

Елементарні геометричні фігури та їх властивості

Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма.

Відрізком називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками, разом із цими точками. На малюнку 257: відрізок AB, точки A і B - кінці відрізка.

Точка A ділить пряму на дві частини (мал. 258). Кожну з отриманих частин разом з точкою A називають променем, що виходить із точки A. Тому A називають початком кожного з променів.

Два промені, що мають спільний початок та доповнюють один одного до прямої, називають доповняльними.

Кут - це геометрична фігура, яка складається з двох променів, що виходять з однієї точки. Промені називають сторонами кута, а їх спільний початок - вершиною кута. На малюнку 259: кут AOB, точка O - його вершина; OA і OB - сторони кута. Записати цей кут можна так: ∠AOB; ∠BOA; ∠O.

Мал. 258

Мал. 259

Бісектрисою кута називають промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить його навпіл.

Аксіоми планіметрії

I.  Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

III. Із трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.

V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які його розбиває будь-яка його внутрішня точка. (На малюнку 260: AB = AC + CB.)

VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які його розбиває будь-який промінь, що проходить між його сторонами. ∠AOB = ∠AOK + ∠KOB (мал. 261).

Мал. 260

Мал. 261

Суміжні та вертикальні кути

Два кути називають суміжними, якщо одна сторона в них спільна, а дві інші є доповняльними променями.

На малюнку 262: кути ∠AOK і ∠KOB - суміжні.

Властивість суміжних кутів. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Два кути називають вертикальними, якщо сторони одного з них є доповняльними променями сторін другого.

Мал. 262

Мал. 263

На малюнку 263: ∠AKC і ∠DKB - вертикальні, кути ∠AKD і ∠CKB також вертикальні.

Властивість вертикальних кутів. Вертикальні кути рівні.

Перпендикулярні і паралельні прямі

Дві прямі називають взаємно перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

На малюнку 264: прямі а і b - перпендикулярні.

Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються.

На малюнку 265: прямі а і b - паралельні.

Мал. 264

Мал. 265

Основна властивість паралельних прямих (аксіома паралельності прямих). Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.

Кути, що утворилися при перетині двох прямих січною.

Ознаки та властивість паралельності прямих.

Властивості кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною

Пряму c називають січною для прямих а і b, якщо вона перетинає їх у двох точках (мал. 266).

Пари кутів 4 і 5; 3 і 6 називають внутрішніми односторонніми кутами; пари кутів 4 і 6; 3 і 5 - внутрішніми різносторонніми; пари кутів 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 - відповідними кутами.

Мал. 266

Ознаки паралельності прямих.

1. Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

2. Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.

3. Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

4. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Властивість паралельних прямих. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні одна одній.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною

1. Відповідні кути, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, рівні між собою.

2. Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, рівні між собою.

3. Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

Трикутник і його елементи

Трикутником називають фігуру, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки (мал. 267).

Точки A, B, C - вершини трикутника; відрізки AB = с, AC = b, BC = а - сторони трикутника; ABAC, ∠ABC, ∠BCA - кути трикутника.

Мал. 267

Мал. 268

Периметром трикутника називають суму довжин усіх його сторін. PABC = AB + BC + CA.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На малюнку 268: AM1 - медіана трикутника ABC.

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

На малюнку 269: AL1 - бісектриса трикутника ABC.

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Мал. 269

Мал. 270

На малюнку 270: AH1 - висота ∆ABC.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Нерівність трикутника. Кожна сторона трикутника менша за суму двох інших сторін.

У трикутнику: 1) проти більшої сторони лежить більший кут; 2) проти більшого кута лежить більша сторона.

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні (мал. 271).

Мал. 271

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими до неї кутами). Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні (мал. 272).

Мал. 272

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами ). Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого, то такі трикутники рівні (мал. 273).

Мал. 273

Види трикутників

Трикутник називають рівнобедреним, якщо в нього дві сторони між собою рівні.

На малюнку 274: ∆ABC - рівнобедрений; AC і BC - його бічні сторони; AB - основа.

Властивість кутів рівнобедреного трикутника. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Мал. 274

Мал. 275

Ознака рівнобедреного трикутника. Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Трикутник, усі сторони якого між собою рівні, називають рівностороннім.

На малюнку 275: ∆ABC - рівносторонній.

Властивість кутів рівностороннього трикутника. Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°.

Ознака рівностороннього трикутника. Якщо у трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Трикутник, усі сторони якого різняться довжиною, називають різностороннім.

Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

На малюнку 276: бісектриса AN, проведена до основи BC рівнобедреного трикутника ABC, є також медіаною і висотою. Залежно від кутів розглядають такі види трикутників:

• гострокутний (усі кути якого гострі - мал. 277);

• прямокутний (один з кутів якого прямий, а два інші - гострі - мал. 278);

• тупокутний (один з кутів якого тупий, а два інші - гострі - мал. 279).

Мал. 276

Мал. 277

Мал. 278

Мал. 279

Зовнішній кут трикутника

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

На малюнку 280: ∠BAK - зовнішній кут трикутника ABC.

Властивість зовнішнього кута трикутника. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто ∠BAK = ∠B + ∠C.

Мал. 280

Мал. 281

Прямокутні трикутники

Якщо ∠C = 90°, то ∆ABC - прямокутний (мал. 281). AC і BC - катети прямокутного трикутника; AB - гіпотенуза прямокутного трикутника.

Властивості прямокутних трикутників.

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2. Гіпотенуза більша за будь-який з катетів.

3. Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

4. Якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

1. За двома катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам другого, то такі трикутники рівні.

2. За катетом і прилеглим до нього гострим кутом. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту другого, то такі трикутники рівні.

3. За гіпотенузою і гострим кутом. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

4. За катетом і протилежним кутом. Якщо катет і протилежний кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному куту другого, то такі трикутники рівні.

5. За катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі другого, то такі трикутники рівні.

Коло і круг

Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (мал. 282).

Цю точку називають центром кола; відрізок, що сполучає точку кола з його центром, називають радіусом кола.

На малюнку 282 точка O - центр кола, OA - радіус кола.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром.

На малюнку 282 MN - хорда, BC - діаметр.

Частину площини, обмежену колом, разом із самим колом, називають кругом (мал. 283).

Центром, радіусом, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, яке обмежує круг.

Мал. 282

Мал. 283

Властивості елементів кола.

1. Діаметр кола вдвічі більший за його радіус.

2. Діаметр є найбільшою з хорд.

3. Діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом.

4. Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

5. Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка не є іншим діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.

Дотичною до кола називають пряму, яка має одну спільну точку з колом. Цю точку називають точкою дотику.

На малюнку 284 пряма a - дотична до кола, точка K - точка дотику.

Властивість дотичної. Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки. Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою. На малюнку 285 AB = AC.

Мал. 284

Мал. 285

Коло, вписане у трикутник

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін. При цьому трикутник називають описаним навколо кола (мал. 286).

У будь-який трикутник можна вписати коло. Центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника.

Мал. 286

Мал. 287

Коло, описане навколо трикутника

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини трикутника. При цьому трикутник називають вписаним у коло (мал. 287).

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити