Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ  1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§4. РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні (мал. 48).

Оскільки ромб є паралелограмом, то він має всі властивості паралелограма.

1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.

2. У ромба протилежні кути рівні.

3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл.

4. Периметр ромба PABCD = 4AB.

Крім того, ромб має ще таку властивість.

5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл.

Мал. 48

Мал. 49

Д о в е д е н н я. Нехай AC і BD - діагоналі ромба ABCD (мал. 49), O - точка перетину діагоналей. Оскільки AB = AD і DO = OB, то AO - медіана рівнобедреного трикутника ABD, проведена до основи BD. Тому AO є також висотою і бісектрисою трикутника ABD.

Отже, AC ⊥ BD і ∠DAO = ∠BAO.

Аналогічно можна довести, що діагональ AC ділить навпіл кут DCB, а діагональ BD ділить навпіл кути ABC і ADC.

Задача 1. Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 28°. Знайдіть кути ромба.

Р о з в’ я з а н н я. BD - діагональ ромба ABCD, а BK - його висота (мал. 50), ∠KBD = 28° (за умовою).

Мал. 50

1) У ∆BKD ∠BDK = 90° - 28° = 62°.

2) Оскільки DB ділить кут ∠ADC навпіл, то ∠ADC =  2 ∙ 62° = 124°.

3) Тоді ∠ABC = ∠ADC = 124°; ∠A = ∠C = 180° - 124° = 56°.

В і д п о в і д ь. 124°, 56°, 124°, 56°.

Розглянемо ознаки ромба.

Т е о р е м а (ознаки ромба). Якщо в паралелограмі: 1) дві сусідні сторони рівні, або 2) діагоналі перетинаються під прямим кутом, або 3) діагональ ділить навпіл кути паралелограма, — то паралелограм є ромбом.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай ABCD - паралелограм (див. мал. 49). Оскільки AB = AD (за умовою) і AB = CD, AD = BC (за властивістю паралелограма), то AB = AD = BC = CD. Отже, ABCD - ромб.

2) Нехай AC ⊥ BD (мал. 49). Оскільки OB = OD (за властивістю паралелограма), то ∆AOB = ∆AOD (за двома катетами). Тому AB = AD. За п. 1 цієї теореми ABCD - ромб.

3) Діагональ DB ділить навпіл кут D паралелограма ABCD, тобто ∠ADB = ∠BDC (за умовою). Оскільки паралельні прямі AB і DC перетнули січною DB, то ∠ABD = ∠BDC (як внутрішні різносторонні). Отже, ∠ADB = ∠ABD. Тому за ознакою рівнобедреного трикутника ∆ABD - рівнобедрений і AD = AB. За п. 1 цієї теореми ABCD - ромб.

Задача 2. Доведіть, що коли в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник - ромб.

Д о в е д е н н я. Нехай AB = BC = CD = DA (див. мал. 48).

1) Оскільки в чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, то за ознакою паралелограма маємо, що ABCD - паралелограм.

2) У паралелограма ABCD сусідні сторони рівні. Тому ABCD - ромб (за ознакою ромба).

Слово «ромб» грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки.

У «Началах» Евкліда термін «ромб» зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув.

1. Яку фігуру називають ромбом?

2. Сформулюйте і доведіть властивості ромба.

3. Сформулюйте і доведіть ознаки ромба.

1

 Початковий рівень

112. (Усно.) Які із чотирикутників на малюнках 51-55 є ромбами?

Мал. 51

Мал. 52

Мал. 53

Мал. 54

Мал. 55

113. Накресліть ромб ABCD, у якого кут B тупий.

114. Накресліть ромб ABCD, у якого кут A гострий.

115. Периметр ромба дорівнює 28 см. Знайдіть його сторону.

116. Сторона ромба дорівнює 5 дм. Знайдіть його периметр.

117. Гострий кут ромба дорівнює 50°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба?

118. Тупий кут ромба дорівнює 110°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба?

119.  Діагональ ромба утворює зі стороною кут 60°. Знайдіть тупий кут ромба.

120.  Діагональ ромба утворює зі стороною кут 20°. Знайдіть гострий кут ромба.

2

Середній рівень

121. У ромбі ABCD кут A дорівнює 36°. Знайдіть кути трикутника AOB, де O - точка перетину діагоналей.

122. O - точка перетину діагоналей ромба ABCD, ∠B = 118°. Знайдіть кути трикутника BOC.

123. Сума довжин трьох сторін ромба дорівнює 15 см. Знайдіть його периметр.

124. Сума довжин двох сторін ромба дорівнює 18 см. Знайдіть периметр ромба.

125. ABCD - ромб, ∠2 = 66° (мал. 56). Знайдіть ∠1.

126. ABCD - ромб, ∠1 = 58° (мал. 56). Знайдіть ∠2.

127. ABCD - ромб, ∠1 = 55° (мал. 56). Знайдіть ∠3.

128. ABCD - ромб, ∠3 = 50° (мал. 56). Знайдіть ∠1.

Мал. 56

129. У ромбі ABCD AB = BD. Знайдіть кути ромба.

130. (Усно.) Які спільні властивості мають ромб і паралелограм?

131. Знайдіть кути ромба, якщо:

1) сума двох його кутів дорівнює 80°;

2) один з них на 20° більший за другий.

132. Знайдіть кути ромба, якщо:

1) сума двох його кутів дорівнює 210°;

2) один з них на 50° менший від другого.

133. (Усно.) Чи правильне твердження:

1) якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом;

2) якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то він не може бути ромбом;

3) існує ромб, який є прямокутником;

4) жоден прямокутник не є ромбом?

3

Достатній рівень

134. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 10°.

135. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2 : 3.

136. Побудуйте ромб:

1) за стороною і діагоналлю;

2) за діагоналями.

137. Побудуйте ромб за стороною і кутом.

138. У ромбі ABCD з вершини тупого кута B проведено висоти BM і BN. Доведіть, що BM = BN.

139. У ромбі ABCD з вершин тупих кутів проведено висоти BK і DL. Доведіть, що BK = DL.

140. Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 110°. Знайдіть кути ромба.

141. Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють між собою кут 50°. Знайдіть кути ромба.

4

Високий рівень

142. Діагональ ромба, проведена з вершини тупого кута, утворює з висотою, проведеною із цієї самої вершини, кут 30°. Менша діагональ ромба дорівнює а см. Знайдіть:

1) кути ромба;        

2) периметр ромба.

143. У ромбі висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайдіть:

1) кути ромба;

2) периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює b см.

144. На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і N такі, що AM = CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN є ромбом (розгляньте два випадки розміщення точок M і N).

145. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

146. У рівносторонній трикутник ABC вписано ромб AMNK так, що трикутник і ромб мають спільний кут A, а точка N лежить на стороні BC. Знайдіть периметр трикутника, якщо периметр ромба дорівнює 40 см.

Вправи для повторення

2

147. Сторони паралелограма відносяться як 5 : 2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо різниця цих сторін дорівнює 15 см.

3

148. Один з кутів трикутника дорівнює сумі двох інших. Знайдіть найбільшу сторону цього трикутника, якщо медіана, проведена до неї, дорівнює 5 см.

149. Периметр трикутника дорівнює 2р см. Чи може одна з його сторін дорівнювати:

1) (р - 1) см;   2) p см;          3) (р + 1) см?

5

150. У чотирикутнику ABCD бісектриса кута A перетинає бісектриси кутів B і D під прямим кутом. Визначте вид чотирикутника ABCD.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

151. Знайдіть периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 5 см; 2) 2,1 дм; 3)  м; 4) 1  дм.

Цікаві задачі для учнів неледачих

152. (Київська міська олімпіада, 1987 р.) Вписане у трикутник ABC коло дотикається до сторони BC у точці K. Доведіть, що відрізок AK довший за діаметр кола.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити