Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік
Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ
§4. РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні (мал. 48).
Оскільки ромб є паралелограмом, то він має всі властивості паралелограма.
1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.
2. У ромба протилежні кути рівні.
3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл.
4. Периметр ромба PABCD = 4AB.
Крім того, ромб має ще таку властивість.
5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл.
Мал. 48
Мал. 49
Д о в е д е н н я. Нехай AC і BD - діагоналі ромба ABCD (мал. 49), O - точка перетину діагоналей. Оскільки AB = AD і DO = OB, то AO - медіана рівнобедреного трикутника ABD, проведена до основи BD. Тому AO є також висотою і бісектрисою трикутника ABD.
Отже, AC ⊥ BD і ∠DAO = ∠BAO.
Аналогічно можна довести, що діагональ AC ділить навпіл кут DCB, а діагональ BD ділить навпіл кути ABC і ADC.
Задача 1. Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 28°. Знайдіть кути ромба.
Р о з в’ я з а н н я. BD - діагональ ромба ABCD, а BK - його висота (мал. 50), ∠KBD = 28° (за умовою).
Мал. 50
1) У ∆BKD ∠BDK = 90° - 28° = 62°.
2) Оскільки DB ділить кут ∠ADC навпіл, то ∠ADC = 2 ∙ 62° = 124°.
3) Тоді ∠ABC = ∠ADC = 124°; ∠A = ∠C = 180° - 124° = 56°.
В і д п о в і д ь. 124°, 56°, 124°, 56°.
Розглянемо ознаки ромба.
Т е о р е м а (ознаки ромба). Якщо в паралелограмі: 1) дві сусідні сторони рівні, або 2) діагоналі перетинаються під прямим кутом, або 3) діагональ ділить навпіл кути паралелограма, — то паралелограм є ромбом.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай ABCD - паралелограм (див. мал. 49). Оскільки AB = AD (за умовою) і AB = CD, AD = BC (за властивістю паралелограма), то AB = AD = BC = CD. Отже, ABCD - ромб.
2) Нехай AC ⊥ BD (мал. 49). Оскільки OB = OD (за властивістю паралелограма), то ∆AOB = ∆AOD (за двома катетами). Тому AB = AD. За п. 1 цієї теореми ABCD - ромб.
3) Діагональ DB ділить навпіл кут D паралелограма ABCD, тобто ∠ADB = ∠BDC (за умовою). Оскільки паралельні прямі AB і DC перетнули січною DB, то ∠ABD = ∠BDC (як внутрішні різносторонні). Отже, ∠ADB = ∠ABD. Тому за ознакою рівнобедреного трикутника ∆ABD - рівнобедрений і AD = AB. За п. 1 цієї теореми ABCD - ромб.
Задача 2. Доведіть, що коли в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник - ромб.
Д о в е д е н н я. Нехай AB = BC = CD = DA (див. мал. 48).
1) Оскільки в чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, то за ознакою паралелограма маємо, що ABCD - паралелограм.
2) У паралелограма ABCD сусідні сторони рівні. Тому ABCD - ромб (за ознакою ромба).
Слово «ромб» грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки.
У «Началах» Евкліда термін «ромб» зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув.
1. Яку фігуру називають ромбом?
2. Сформулюйте і доведіть властивості ромба.
3. Сформулюйте і доведіть ознаки ромба.
1
Початковий рівень
112. (Усно.) Які із чотирикутників на малюнках 51-55 є ромбами?
Мал. 51
Мал. 52
Мал. 53
Мал. 54
Мал. 55
113. Накресліть ромб ABCD, у якого кут B тупий.
114. Накресліть ромб ABCD, у якого кут A гострий.
115. Периметр ромба дорівнює 28 см. Знайдіть його сторону.
116. Сторона ромба дорівнює 5 дм. Знайдіть його периметр.
117. Гострий кут ромба дорівнює 50°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба?
118. Тупий кут ромба дорівнює 110°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба?
119. Діагональ ромба утворює зі стороною кут 60°. Знайдіть тупий кут ромба.
120. Діагональ ромба утворює зі стороною кут 20°. Знайдіть гострий кут ромба.
2
Середній рівень
121. У ромбі ABCD кут A дорівнює 36°. Знайдіть кути трикутника AOB, де O - точка перетину діагоналей.
122. O - точка перетину діагоналей ромба ABCD, ∠B = 118°. Знайдіть кути трикутника BOC.
123. Сума довжин трьох сторін ромба дорівнює 15 см. Знайдіть його периметр.
124. Сума довжин двох сторін ромба дорівнює 18 см. Знайдіть периметр ромба.
125. ABCD - ромб, ∠2 = 66° (мал. 56). Знайдіть ∠1.
126. ABCD - ромб, ∠1 = 58° (мал. 56). Знайдіть ∠2.
127. ABCD - ромб, ∠1 = 55° (мал. 56). Знайдіть ∠3.
128. ABCD - ромб, ∠3 = 50° (мал. 56). Знайдіть ∠1.
Мал. 56
129. У ромбі ABCD AB = BD. Знайдіть кути ромба.
130. (Усно.) Які спільні властивості мають ромб і паралелограм?
131. Знайдіть кути ромба, якщо:
1) сума двох його кутів дорівнює 80°;
2) один з них на 20° більший за другий.
132. Знайдіть кути ромба, якщо:
1) сума двох його кутів дорівнює 210°;
2) один з них на 50° менший від другого.
133. (Усно.) Чи правильне твердження:
1) якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом;
2) якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то він не може бути ромбом;
3) існує ромб, який є прямокутником;
4) жоден прямокутник не є ромбом?
3
Достатній рівень
134. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 10°.
135. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2 : 3.
136. Побудуйте ромб:
1) за стороною і діагоналлю;
2) за діагоналями.
137. Побудуйте ромб за стороною і кутом.
138. У ромбі ABCD з вершини тупого кута B проведено висоти BM і BN. Доведіть, що BM = BN.
139. У ромбі ABCD з вершин тупих кутів проведено висоти BK і DL. Доведіть, що BK = DL.
140. Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 110°. Знайдіть кути ромба.
141. Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють між собою кут 50°. Знайдіть кути ромба.
4
Високий рівень
142. Діагональ ромба, проведена з вершини тупого кута, утворює з висотою, проведеною із цієї самої вершини, кут 30°. Менша діагональ ромба дорівнює а см. Знайдіть:
1) кути ромба;
2) периметр ромба.
143. У ромбі висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайдіть:
1) кути ромба;
2) периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює b см.
144. На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і N такі, що AM = CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN є ромбом (розгляньте два випадки розміщення точок M і N).
145. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.
146. У рівносторонній трикутник ABC вписано ромб AMNK так, що трикутник і ромб мають спільний кут A, а точка N лежить на стороні BC. Знайдіть периметр трикутника, якщо периметр ромба дорівнює 40 см.
Вправи для повторення
2
147. Сторони паралелограма відносяться як 5 : 2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо різниця цих сторін дорівнює 15 см.
3
148. Один з кутів трикутника дорівнює сумі двох інших. Знайдіть найбільшу сторону цього трикутника, якщо медіана, проведена до неї, дорівнює 5 см.
149. Периметр трикутника дорівнює 2р см. Чи може одна з його сторін дорівнювати:
1) (р - 1) см; 2) p см; 3) (р + 1) см?
5
150. У чотирикутнику ABCD бісектриса кута A перетинає бісектриси кутів B і D під прямим кутом. Визначте вид чотирикутника ABCD.
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
151. Знайдіть периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює:
1) 5 см; 2) 2,1 дм; 3) 
м; 4) 1 
дм.
Цікаві задачі для учнів неледачих
152. (Київська міська олімпіада, 1987 р.) Вписане у трикутник ABC коло дотикається до сторони BC у точці K. Доведіть, що відрізок AK довший за діаметр кола.