Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§5. КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

На мал. 57 зображено квадрат ABCD. Прямокутник є паралелограмом, тому і квадрат - паралелограм, у якого всі сторони рівні, тобто він є і ромбом. Отже, квадрат має властивості прямокутника і ромба.

Сформулюємо властивості квадрата.

1. Усі кути квадрата прямі.

2. Периметр квадрата PABCD = 4AB.

3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58).

4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58).

5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утворюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58).

6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO = BO = CO = DO.

Мал. 57

Мал. 58

Мал. 59

Задача 1. Точки K і M належать відповідно діагоналям BD і AC квадрата ABCD, причому АМ = АС, ВK = BD. Доведіть, що ∆ADM = ∆BAK (мал. 59).

Д о в е д е н н я. 1) ∠MAD = ∠ABK = 45°, AD = AB (як сторони квадрата).

2) Оскільки AC = BD (як діагоналі квадрата) і AM = AC, BK = BD, то AM = BK.

3) Тому ∆ADM = ∆BAK (за двома сторонами і кутом між ними).

Розглянемо ознаки квадрата.

Т е о р е м а (ознаки квадрата). 1) Якщо діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні, то він є квадратом. 2) Якщо діагоналі ромба між собою рівні, то він є квадратом.

Д о в е д е н н я. 1) Прямокутник є паралелограмом, а паралелограм із взаємно перпендикулярними діагоналями є ромбом. Отже, у заданого прямокутника всі сторони рівні, а тому він є квадратом.

2) Ромб є паралелограмом, а паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником. Отже, у розглядуваного ромба всі кути прямі, а тому він є квадратом.

Задача 2. Доведіть, що коли в чотирикутнику всі сторони рівні і всі кути рівні, то цей чотирикутник - квадрат.

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки в чотирикутнику всі кути рівні, то, за ознакою прямокутника, він є прямокутником.

2) Оскільки у прямокутника всі сторони рівні, то він є квадратом.

А ще раніше…

Термін «квадрат» походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним).

Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: «Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат».

1. Яку фігуру називають квадратом?

2. Сформулюйте властивості квадрата.

3. Сформулюйте і доведіть ознаки квадрата.

1

Початковий рівень

153. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть його сторону.

154. Сторона квадрата дорівнює 7 дм. Знайдіть його периметр.

155. (Усно.) На мал. 58 зображено квадрат ABCD. Назвіть рівні між собою відрізки на цьому малюнку.

156. Якщо чотирикутник є квадратом, то його діагоналі рівні і взаємно перпендикулярні. Чи правильне обернене твердження? Наведіть приклад.

2

Середній рівень

157. Точка перетину діагоналей квадрата знаходиться на відстані 2 см від однієї з його вершин. Знайдіть суму довжин діагоналей цього квадрата.

158. Сума довжин діагоналей квадрата дорівнює 32 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до однієї з його вершин.

159. Сума довжин двох сторін квадрата дорівнює 10 см. Знайдіть периметр квадрата.

160. Сума довжин трьох сторін квадрата дорівнює 18 дм. Знайдіть периметр квадрата.

161. (Усно.) Які спільні властивості мають квадрат і ромб?

162. (Усно.) Які спільні властивості мають квадрат і прямокутник?

163. Різниця між периметром квадрата і його стороною дорівнює 18 см. Знайдіть сторону квадрата та його периметр.

164. Сусідні сторони прямокутника рівні. Доведіть, що він є квадратом.

165. Один з кутів ромба - прямий. Доведіть, що цей ромб є квадратом.

166. (Усно.) Чи правильне твердження:

1) кожний квадрат є прямокутником;

2) існує квадрат, який не є ромбом;

3) кожний ромб є квадратом;

4) кожний квадрат є ромбом;

5) будь-який прямокутник є квадратом;

6) відношення периметра квадрата до його сторони є сталим для всіх квадратів?

167. ABCD - квадрат, EF ± BD (мал. 60). Знайдіть ∠BFE.

168. ABCD - квадрат, ∠BOC = 70° (мал. 61). Знайдіть ∠OKA.

Мал. 60

Мал. 61

3

Достатній рівень

169. Побудуйте квадрат:

1) за його периметром;

2) за його діагоналлю.

170. Побудуйте квадрат за сумою його діагоналей.

171. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від його сторони на 3 см. Знайдіть периметр квадрата.

172. Периметр квадрата дорівнює 32 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторін.

173. ABCD - квадрат, AE = FC (мал. 62). Доведіть, що BEDF - ромб.

174. ABCD - квадрат, AE = AF = CG = CH (мал. 63). Доведіть, що EFGH - прямокутник.

Мал. 62

Мал. 63

175. До кола із центром у точці O з точки A проведено дві взаємно перпендикулярні дотичні AB і AC, B і C - точки дотику. Доведіть, що ABOC - квадрат.

4

Високий рівень

176. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠= 90°) вписано квадрат CMNK так, що прямий кут у них спільний, а точка N належить стороні AB. Катет трикутника дорівнює b см. Знайдіть периметр квадрата.

177. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат KMNL так, що точки K і M лежать на гіпотенузі трикутника, а точки L і N - на катетах AC і BCвідповідно. Периметр квадрата дорівнює 12 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

178. На сторонах квадрата зовні побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників, які не є вершинами заданого квадрата, є вершинами іншого квадрата.

Вправи для повторення

179. У ромбі ABCD діагональ утворює з однією зі сторін кут 30°. Знайдіть кути ромба.

180. У чотирикутнику ABCD ∠A : ∠B : ∠C : ∠D = 1 : 3 : 4 : 10. Знайдіть кути чотирикутника. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?

181. Бісектриса кута B прямокутника ABCD ділить сторону AD на відрізки AK і KD так, що AK : KD = 3 : 5. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 110 см.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

182. 1) Накресліть чотирикутник, дві сторони якого між собою паралельні, а дві інші - непаралельні.

2) Яка найбільша кількість гострих кутів може бути в такому чотирикутнику?

Цікаві задачі для учнів неледачих

183. О 12-й годині годинна і хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збіжаться?

Домашня самостійна робота № 1

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.

1. Укажіть відрізок, що є діагоналлю чотирикутника ABCD.

A. AB; Б. BD; В. BC; Г. AD.

2. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 35°.

A. 125°; Б. 135°; В. 145°; Г. 155°.

3. Знайдіть сторону квадрата, якщо його периметр дорівнює 36 см.

A. 4 см; Б. 6 см; В. 9 см; Г. 12 см.

4. Периметр прямокутника дорівнює 24 см, а одна з його сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть довжину меншої сторони прямокутника.

A. 5 см; Б. 6 см; В. 7 см; Г. 8 см.

5. ABCD - ромб; ∠A = 50° (мал. 64). Знайдіть ∠ABD.

A. 55°; В. 75°;

Б. 50°; Г. 65°.

Мал. 64

6. Укажіть правильне твердження:

A. якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, то він є ромбом;

Б. відношення периметра ромба до його сторони є сталим для всіх ромбів;

В. якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником;

Г. відношення периметра прямокутника, який не є квадратом, до його найбільшої сторони є незмінним для всіх прямокутників.

7. Знайдіть найбільший кут чотирикутника, у якого градусні міри кутів пропорційні числам 2; 3; 5 і 8.

А. 120°; Б. 130°; В. 150 °; Г. 160 °.

8. Висоти, які проведено з вершини тупого кута паралелограма, утворюють між собою кут 30°. Знайдіть тупий кут паралелограма.

А. 120°; Б. 130°; В. 150°; Г. 160 °.

9. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 40°.

А. 25°; Б. 30°; В. 50°; Г. 60°.

10. Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону AB на відрізки AK і KB так, що AK : KB = 1 : 3. Знайдіть AB, якщо периметр паралелограма дорівнює 60 см.

А. 26 см; Б. 24 см; В. 20 см; Г. 15 см.

11. З вершини тупого кута A ромба ABCD проведено висоту AK. ∠CAK = 30°, AC = 6 см. Знайдіть периметр ромба.

А. 18 см; Б. 24 см; В. 30 см; Г. 36 см.

12. У ∆ABC (∠C = 90°, AC = BC) вписано квадрат KLMN так, що K ∈ AB; L ∈ AB; M ∈ CB; N ∈ AC. Знайдіть периметр квадрата, якщо AB = 12 см.

А. 24 см; Б. 20 см; В. 12 см; Г. 16 см.

Завдання для перевірки знань до § 1-5

1

1. Накресліть чотирикутник MNPL і проведіть у ньому діагоналі.

2. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них дорівнює 80°.

3. Знайдіть периметр квадрата, якщо його сторона дорівнює 7 см.

4. Периметр прямокутника дорівнює 18 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 1 см більша за другу.

5. ABCD - ромб. ∠ABD = 50°. Знайдіть кути ромба.

6. На малюнку 65 ∠ABD = ∠BDC, AB = DC. Доведіть, що ABCD - паралелограм.

Мал. 65

7. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 4, 6. Опуклим чи неопуклим він є?

8. Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 120°. Знайдіть кути ромба.

9. Бісектриса кута А паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC так, що BK : KC = 4 : 3. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 88 см.

Додаткові завдання

10. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою BC = 23 см вписано прямокутник KLMN так, що точки K і L належать гіпотенузі трикутника, а точки M і N - катетам. Сторона KL прямокутника на 2 см більша за сторону LM. Знайдіть периметр прямокутника.

11. З вершини тупого кут а В ромба ABCD проведено висоту ВМ, ∠DBM = 30°. Периметр ромба дорівнює 40 см. Знайдіть меншу діагональ ромба.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити