Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік
Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ
§6. ТРАПЕЦІЯ
Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.
На малюнку 66 зображено трапецію ABCD. Паралельні сторони трапеції називають основами, а не паралельні - бічними сторонами. На малюнку 66 AD і BC - основи трапеції, AB і CD - її бічні сторони.
Мал. 66
Розглянемо деякі властивості трапеції.
1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.
Оскільки AD || BC, то ∠A + ∠B = 180° (як сума внутрішніх односторонніх кутів). Аналогічно ∠C + ∠D = 180°.
2. Трапеція є опуклим чотирикутником.
Оскільки ∠A + ∠B = 180°, то ∠A < 180°, ∠B < 180°. Аналогічно ∠C < 180°, ∠D < 180°. Отже, трапеція - опуклий чотирикутник.
Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що містить протилежну основу.
Найчастіше висоту трапеції проводять з її вершини. На малюнку 67 BK - висота трапеції ABCD.
Трапецію називають прямокутною, якщо один з її кутів - прямий. На малюнку 68 - прямокутна трапеція ABCD (∠A = 90°). Очевидно, що ∠B = 90°. АВ є меншою бічною стороною прямокутної трапеції і її висотою.
Мал. 67
Мал. 68
Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони рівні. На малюнку 69 - рівнобічна трапеція ABCD.
Розглянемо деякі важливі властивості рівнобічної трапеції.
1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай в трапеції ABCD AB = CD. Проведемо висоти трапеції BK і CM з вершин її тупих кутів В і С (мал. 70). Утворився прямокутник BKMC. Тому BK = CM.
Мал. 69
Мал. 70
2) ∆ABK = ∆DCM (за катетом і гіпотенузою). Тому ∠BAD = ∠CDA.
3) Також ∠ABK = ∠DCM. Оскільки ∠KBC = ∠MCB = 90°, то ∠ABC = ∠ABK + 90° i ∠DCB = ∠DCM + 90°. Тому ∠ABC = ∠DCB.
2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
Д о в е д е н н я. Розглянемо малюнок 71. ∠BAD = ∠CDA (як кути при основі рівнобічної трапеції), AB = DC, AD - спільна сторона трикутників ABD і DCA. Тому ∆ABD = ∆DCA (за двома сторонами і кутом між ними). Отже, AC = BD.
Задача. О - точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції ABCD з основами AD і BC (мал. 71). Доведіть, що AO = OD, BO = OC.
Д о в е д е н н я. ∆ABD = ∆DCA (доведено вище). Тому ∠ODA = ∠OAD. За ознакою рівнобедреного трикутника - трикутник AOD - рівнобедрений. Тому AO = OD. Оскільки AC = BD і AO = OD, то OC = BO (бо OC = AC - AO, BO = BD - OD).
Мал. 71
Т е о р е м а (ознака рівнобічної трапеції). Якщо у трапеції кути при одній основі рівні, то трапеція — рівнобічна.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай у трапеції ABCD кути при більшій основі AD рівні (мал. 70), тобто ∠BAD = ∠CDA. Проведемо висоти BK і CM, які рівні між собою.
2) Тоді ∆BAK = ∆CDM (за катетом і протилежним кутом). Тому AB = DC. Трапеція рівнобічна, що й треба було довести.
А ще раніше…
Термін «трапеція» грецького походження (грецькою мовою «трапедзіон» означає «столик», зокрема столик для обіду; слова «трапеція» і «трапеза» - однокореневі).
У своїй праці «Начала» Евклід під терміном «трапеція» розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін «трапеція» з тим самим змістом.
Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрецького математика Посидонія (і ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні.
1. Яку фігуру називають трапецією?
2. Що називають основами трапеції, бічними сторонами трапеції?
3. Сформулюйте властивості трапеції.
4. Що таке висота трапеції?
5. Яку трапецію називають прямокутною, яку - рівнобічною?
6. Сформулюйте і доведіть властивості рівнобічної трапеції.
7. Сформулюйте і доведіть ознаку рівнобічної трапеції.
1
Початковий рівень
184. Ha яких з малюнків 72-76 зображено трапецію?
Мал. 72
Мал. 73
Мал. 74
Мал. 75
Мал. 76
185. Накресліть трапецію PKML (PK || ML). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.
186. Накресліть трапецію DMFK (DM || FK). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.
187. Накресліть прямокутну трапецію ABCD (∠A = ∠B = 90°).
188. Накресліть рівнобічну трапецію ABCD (AB = CD).
189. Два кути трапеції дорівнюють 20° і 100°. Знайдіть два інших її кути.
190. Два кути трапеції дорівнюють 110° і 40°. Знайдіть два інших її кути.
2
Середній рівень
191. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 10 см, а периметр 28 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.
192. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 см і 5 см, а бічна сторона - 3 см. Знайдіть периметр трапеції.
193. Чи існує трапеція, у якої два протилежних кути:
1) гострі; 2) прямі; 3) тупі?
У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.
194. Чи існує трапеція, у якої:
1) основи між собою рівні;
2) три сторони між собою рівні?
У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.
195. Чи існує трапеція, у якої:
1) три кути прямі; 2) два протилежних кути рівні?
У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.
196. Сторони AD і BC - основи трапеції ABCD. Доведіть, що ∠CAD = ∠ACB.
197. Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситись як:
1) 2 : 3 : 4 : 1; 2) 2 : 3 : 5 : 2?
198. Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситись як:
1) 3 : 1 : 2 : 2; 2) 3 : 1 : 2 : 4?
199. У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути дорівнюють 40° і 140°. Чи можна знайти два її інших кути?
200. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини гострого кута, утворює з бічною стороною кут 38°. Знайдіть кути трапеції.
201. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 56°. Знайдіть кути трапеції.
202. У трапеції ABCD AB - більша основа. Прямі BC і AD перетинаються в точці Е. ∠ECD = 40°, ∠BEA = 70°. Знайдіть кути трапеції.
203. У трапеції ABCD BC - менша основа. На відрізку AD взято точку Е так, що BE || CD; ∠ABE = 60°, ∠BEA = 40°. Знайдіть кути трапеції.
204. У прямокутній трапеції гострий кут удвічі менший від тупого. Знайдіть кути трапеції.
205. У прямокутній трапеції тупий кут на 40° більший за гострий. Знайдіть кути трапеції.
206. У рівнобічній трапеції бічна сторона вдвічі більша за висоту. Знайдіть кути трапеції.
3
Достатній рівень
207. У трапеції ABCD ∠A + ∠С = 180°. Визначте вид трапеції.
208. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Більша бічна сторона і більша основа дорівнюють по 16 см. Знайдіть меншу основу.
209. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 45°. Менша бічна сторона і менша основа дорівнюють по 18 см. Знайдіть більшу основу.
210. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі і утворює з нею кут 40°. Знайдіть кути трапеції.
211. У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює із цією основою кут 20°. Знайдіть кути трапеції.
212. Діагональ АС трапеції ABCD ділить кут А навпіл. Доведіть, що бічна сторона АВ дорівнює основі ВС.
213. О - точка перетину бісектрис кутів А і В трапеції ABCD (AD || BC). Доведіть, що ∠AOB = 90°.
214. BK і CM - висоти рівнобічної трапеції ABCD, проведені з вершин її тупих кутів, AD = а, BC = b.
Доведіть, що АК = MD = 
; AM = KD = 
.
215. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу трапеції на відрізки 2 см і 7 см. Знайдіть основи трапеції.
4
Високий рівень
216. (Ознака рівнобічної трапеції). Якщо у трапеції діагоналі між собою рівні, то вона - рівнобічна. Доведіть.
217. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути трапеції.
218. У рівнобічній трапеції ABCD AD - більша основа. AD = CD, ∠BAC = 18°. Знайдіть кути трапеції.
219. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а її діагоналі взаємно перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює .
220. У прямокутній трапеції гострий кут і кут, який утворює менша діагональ з меншою основою, дорівнюють 60°. Знайдіть відношення основ трапеції.
221. У прямокутній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а тупий кут утричі більший за гострий. Знайдіть відношення основ.
222. Побудуйте трапецію за основами а і b (а > b) та бічними сторонами c і d.
Вправи для повторення
2
223. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 75°. Знайдіть зовнішній кут при вершині кута між бічними сторонами.
3
224. Тупий кут ромба дорівнює 120°, а його менша діагональ - 5 см. Знайдіть периметр ромба.
225. Доведіть, що паралелограм, у якого всі висоти рівні, є ромбом.
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
226. Накресліть коло, радіус якого 3 см. Проведіть у цьому колі діаметр і хорду.
227. Точка O - центр кола (мал. 77). Знайдіть:
1) ∠COB, якщо ∠CAO = 50°;
2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.
Мал. 77
Мал. 78
228. Точка O - центр кола, а точка M - точка дотику прямої a з колом (мал. 78). Знайдіть:
1) ∠NMB, якщо ∠MON = 140°;
2) ∠MON, якщо ∠BMN = 65°.
Цікаві задачі для учнів неледачих
229. Чотири магазини деякого підприємця розташовано у вершинах опуклого чотирикутника. Де йому слід розмістити товарний склад, щоб сума відстаней від складу до всіх магазинів була найменшою?