Розділ  1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§6. ТРАПЕЦІЯ

Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

На малюнку 66 зображено трапецію ABCD. Паралельні сторони трапеції називають основами, а не паралельні - бічними сторонами. На малюнку 66 AD і BC - основи трапеції, AB і CD - її бічні сторони.

Мал. 66

Розглянемо деякі властивості трапеції.

1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

Оскільки AD || BC, то ∠A + ∠B = 180° (як сума внутрішніх односторонніх кутів). Аналогічно ∠C + ∠D = 180°.

2. Трапеція є опуклим чотирикутником.

Оскільки ∠A + ∠B = 180°, то ∠A < 180°, ∠B < 180°. Аналогічно ∠C < 180°, ∠D < 180°. Отже, трапеція - опуклий чотирикутник.

Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що містить протилежну основу.

Найчастіше висоту трапеції проводять з її вершини. На малюнку 67 BK - висота трапеції ABCD.

Трапецію називають прямокутною, якщо один з її кутів - прямий. На малюнку 68 - прямокутна трапеція ABCD (∠A = 90°). Очевидно, що ∠B = 90°. АВ є меншою бічною стороною прямокутної трапеції і її висотою.

Мал. 67

Мал. 68

Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони рівні. На малюнку 69 - рівнобічна трапеція ABCD.

Розглянемо деякі важливі властивості рівнобічної трапеції.

1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай в трапеції ABCD AB = CD. Проведемо висоти трапеції BK і CM з вершин її тупих кутів В і С (мал. 70). Утворився прямокутник BKMC. Тому BK = CM.

Мал. 69

Мал. 70

2) ∆ABK = ∆DCM (за катетом і гіпотенузою). Тому ∠BAD = ∠CDA.

3) Також ∠ABK = ∠DCM. Оскільки ∠KBC = ∠MCB = 90°, то ∠ABC = ∠ABK + 90° i ∠DCB = ∠DCM + 90°. Тому ∠ABC = ∠DCB.

2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Д о в е д е н н я. Розглянемо малюнок 71. ∠BAD = ∠CDA (як кути при основі рівнобічної трапеції), AB = DC, AD - спільна сторона трикутників ABD і DCA. Тому ∆ABD = ∆DCA (за двома сторонами і кутом між ними). Отже, AC = BD.

Задача. О - точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції ABCD з основами AD і BC (мал. 71). Доведіть, що AO = OD, BO = OC.

Д о в е д е н н я. ∆ABD = ∆DCA (доведено вище). Тому ∠ODA = ∠OAD. За ознакою рівнобедреного трикутника - трикутник AOD - рівнобедрений. Тому AO = OD. Оскільки AC = BD і AO = OD, то OC = BO (бо OC = AC - AO, BO = BD - OD).

Мал. 71

Т е о р е м а (ознака рівнобічної трапеції). Якщо у трапеції кути при одній основі рівні, то трапеція — рівнобічна.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай у трапеції ABCD кути при більшій основі AD рівні (мал. 70), тобто ∠BAD = ∠CDA. Проведемо висоти BK і CM, які рівні між собою.

2) Тоді ∆BAK = ∆CDM (за катетом і протилежним кутом). Тому AB = DC. Трапеція рівнобічна, що й треба було довести.

А ще раніше...

Термін «трапеція» грецького походження (грецькою мовою «трапедзіон» означає «столик», зокрема столик для обіду; слова «трапеція» і «трапеза» - однокореневі).

У своїй праці «Начала» Евклід під терміном «трапеція» розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін «трапеція» з тим самим змістом.

Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрецького математика Посидонія (і ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні.

1. Яку фігуру називають трапецією?

2. Що називають основами трапеції, бічними сторонами трапеції?

3. Сформулюйте властивості трапеції.

4. Що таке висота трапеції?

5. Яку трапецію називають прямокутною, яку - рівнобічною?

6. Сформулюйте і доведіть властивості рівнобічної трапеції.

7. Сформулюйте і доведіть ознаку рівнобічної трапеції.

1

Початковий рівень

184. Ha яких з малюнків 72-76 зображено трапецію?

Мал. 72

Мал. 73

Мал. 74

Мал. 75

Мал. 76

185. Накресліть трапецію PKML (PK || ML). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.

186. Накресліть трапецію DMFK (DM || FK). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.

187. Накресліть прямокутну трапецію ABCD (∠A = ∠B = 90°).

188. Накресліть рівнобічну трапецію ABCD (AB = CD).

189. Два кути трапеції дорівнюють 20° і 100°. Знайдіть два інших її кути.

190. Два кути трапеції дорівнюють 110° і 40°. Знайдіть два інших її кути.

2

Середній рівень

191. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 10 см, а периметр 28 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.

192. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 см і 5 см, а бічна сторона - 3 см. Знайдіть периметр трапеції.

193. Чи існує трапеція, у якої два протилежних кути:

1) гострі;       2) прямі;      3) тупі?

У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.

194. Чи існує трапеція, у якої:

1) основи між собою рівні;

2) три сторони між собою рівні?

У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.

195. Чи існує трапеція, у якої:

1) три кути прямі;             2) два протилежних кути рівні?

У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.

196. Сторони AD і BC - основи трапеції ABCD. Доведіть, що ∠CAD = ∠ACB.

197. Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситись як:

1) 2 : 3 : 4 : 1;              2) 2 : 3 : 5 : 2?

198. Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситись як:

1) 3 : 1 : 2 : 2;              2) 3 : 1 : 2 : 4?

199. У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути дорівнюють 40° і 140°. Чи можна знайти два її інших кути?

200. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини гострого кута, утворює з бічною стороною кут 38°. Знайдіть кути трапеції.

201. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 56°. Знайдіть кути трапеції.

202. У трапеції ABCD AB - більша основа. Прямі BC і AD перетинаються в точці Е. ∠ECD = 40°, ∠BEA = 70°. Знайдіть кути трапеції.

203. У трапеції ABCD BC - менша основа. На відрізку AD взято точку Е так, що BE || CD; ∠ABE = 60°, ∠BEA = 40°. Знайдіть кути трапеції.

204. У прямокутній трапеції гострий кут удвічі менший від тупого. Знайдіть кути трапеції.

205. У прямокутній трапеції тупий кут на 40° більший за гострий. Знайдіть кути трапеції.

206. У рівнобічній трапеції бічна сторона вдвічі більша за висоту. Знайдіть кути трапеції.

3

Достатній рівень

207. У трапеції ABCD ∠A + ∠С = 180°. Визначте вид трапеції.

208. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Більша бічна сторона і більша основа дорівнюють по 16 см. Знайдіть меншу основу.

209. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 45°. Менша бічна сторона і менша основа дорівнюють по 18 см. Знайдіть більшу основу.

210. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі і утворює з нею кут 40°. Знайдіть кути трапеції.

211. У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює із цією основою кут 20°. Знайдіть кути трапеції.

212. Діагональ АС трапеції ABCD ділить кут А навпіл. Доведіть, що бічна сторона АВ дорівнює основі ВС.

213. О - точка перетину бісектрис кутів А і В трапеції ABCD (AD || BC). Доведіть, що ∠AOB = 90°.

214. BK і CM - висоти рівнобічної трапеції ABCD, проведені з вершин її тупих кутів, AD = а, BC = b.

Доведіть, що АК = MD = ; AM = KD =  .

215. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу трапеції на відрізки 2 см і 7 см. Знайдіть основи трапеції.

4

Високий рівень

216. (Ознака рівнобічної трапеції). Якщо у трапеції діагоналі між собою рівні, то вона - рівнобічна. Доведіть.

217. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути трапеції.

218. У рівнобічній трапеції ABCD AD - більша основа. AD = CD, ∠BAC = 18°. Знайдіть кути трапеції.

219. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а її діагоналі взаємно перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює  .

220. У прямокутній трапеції гострий кут і кут, який утворює менша діагональ з меншою основою, дорівнюють 60°. Знайдіть відношення основ трапеції.

221. У прямокутній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а тупий кут утричі більший за гострий. Знайдіть відношення основ.

222. Побудуйте трапецію за основами а і b (а > b) та бічними сторонами c і d.

Вправи для повторення

2

223. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 75°. Знайдіть зовнішній кут при вершині кута між бічними сторонами.

3

224. Тупий кут ромба дорівнює 120°, а його менша діагональ - 5 см. Знайдіть периметр ромба.

225. Доведіть, що паралелограм, у якого всі висоти рівні, є ромбом.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

226. Накресліть коло, радіус якого 3 см. Проведіть у цьому колі діаметр і хорду.

227.  Точка O - центр кола (мал. 77). Знайдіть:

1) ∠COB, якщо ∠CAO = 50°;

2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.

Мал. 77

Мал. 78

228. Точка O - центр кола, а точка M - точка дотику прямої a з колом (мал. 78). Знайдіть:

1) ∠NMB, якщо ∠MON = 140°;

2) ∠MON, якщо ∠BMN = 65°.

Цікаві задачі для учнів неледачих

229. Чотири магазини деякого підприємця розташовано у вершинах опуклого чотирикутника. Де йому слід розмістити товарний склад, щоб сума відстаней від складу до всіх магазинів була найменшою?