Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§7. ВПИСАНІ ТА ЦЕНТРАЛЬНІ КУТИ

Центральним кутом називають кут з вершиною в центрі кола.

На малюнку 79 ZAOB - центральний кут, сторони якого перетинають коло в точках А і В. Точки А і В розбивають коло на дві дуги. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола, що відповідає цьому центральному куту. Якщо центральний кут менший від розгорнутого, то дуга, що йому відповідає, є меншою за півколо (її виділено кольором на малюнку 79). Якщо центральний кут більший за розгорнутий, то дуга, що йому відповідає, є більшою за півколо. Розгорнутому куту відповідає дуга, що є півколом. Дугу позначають символом ‿ , який записують перед назвою дуги або над нею. Щоб уточнити, про яку саме з двох дуг, на які центральний кут поділив коло, йдеться, на кожній з них позначають довільну точку, відмінну від кінців дуги. Наприклад, М і N (мал. 79). Тоді ці дуги можна записати так: ‿ АМВ та ‿ ANB

Якщо зрозуміло, про яку саме дугу йдеться, то для її позначення достатньо вказати лише кінці дуги, наприклад (або ‿ AB).

Мал. 79

Мал. 80

Дугу кола можна вимірювати у градусах.

Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута.

Наприклад, якщо ∠AOB = 70°, то (мал. 79).

Очевидно, що градусна міра дуги, яка є півколом, дорівнює 180°, а дуги, що є колом, - 360°. На малюнку 79:

360° - 70° = 290°.

Вписаним кутом називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло.

На малюнку 80 сторони вписаного кута АВС перетинають коло в точках А і С. Кажуть, що цей кут спирається на дугу АМС.

Зрозуміло, що точки перетину сторін вписаного кута з колом ділять коло на дві дуги. З них тією, на яку спирається вписаний кут, буде дуга, що не містить його вершини. Наприклад, на малюнку 80 сторони вписаного кута ABC поділили коло на

дві дуги:

Оскільки не містить вершини кута (точки B), то вона і є дугою, на яку спирається вписаний кут ABC. Цю дугу виділено кольором.

Т е о р е м а (про вписаний кут). Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Д о в е д е н н я. Нехай ∠ABC є вписаним у коло із центром О та спирається на дугу AC (мал. 80). Доведемо, що ∠ABC =

Розглянемо три можливі випадки розташування центра кола відносно даного вписаного кута.

1) Нехай центр кола - точка О лежить на одній зі сторін кута, наприклад BC (мал. 81). Центральний кут AOC є зовнішнім кутом трикутника AOB. Тоді, за властивістю зовнішнього кута, ∠AOC = ∠ABO + ∠OAB. Але ∆AOB - рівнобедрений (AO = OB як радіуси), тому ∠ABO = ∠OAB.

Отже, ∠AOC = ∠ABO, тобто ∠ABC = ∠ABO =

Але ж ∠AOC =

Отже,

2) Нехай центр кола лежить усередині вписаного кута (мал. 82). Проведемо промінь BO, що перетинає коло в точці L.

Тоді ∠ABC = ∠ABL + ∠LBC =

3) Нехай центр кола лежить зовні вписаного кута (мал. 83).

Тоді ∠ABC = ∠ABL - ∠CBL =

Мал. 81

Мал. 82

Мал. 83

Н а с л і д о к 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, між собою рівні (мал. 84).

Н а с л і д о к 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий (мал. 85).

Мал. 84

Мал. 85

Задача 1. Доведіть, що кут з вершиною всередині кола вимірюється півсумою двох дуг, з яких одна міститься між сторонами кута, а друга - між продовженням сторін.

Д о в е д е н н я. Розглянемо ∠AFC, вершина якого знаходиться всередині кола (мал. 86). Доведемо, що ∠AFC =

∠AFC - зовнішній для трикутника BCF. Маємо:

Мал. 86

Мал. 87

Задача 2. Доведіть, що кут між двома січними, які перетинаються зовні кола, вимірюється піврізницею більшої і меншої дуг, які містяться між його сторонами.

Д о в е д е н н я. Розглянемо ∠BFD, вершина якого лежить зовні кола, а FB і FD - січні кола (мал. 87). Доведемо, що

∠BAD - зовнішній кут трикутника ADF. Маємо: ∠DAB = ∠ADC + ∠DFB; тобто

Тому

А ще раніше…

Доведення теореми про вписаний кут зустрічається ще в «Началах» Евкліда. Але ще раніше цей факт, як припущення, уперше висловив Гіпократ Хіоський (V ст. до н. е.).

Те, що вписаний кут, який спирається на діаметр, є прямим, знали вавилоняни 4000 років тому, а перше доведення цього факту приписують Фалесу Мілетському.

1. Який кут називають центральним?

2. Що називають градусною мірою дуги кола?

3. Який кут називають вписаним?

4. Сформулюйте і доведіть теорему про вписаний кут.

1

Початковий рівень

230. (Усно.) Які з кутів на малюнку 88 є вписаними в коло?

Мал. 88

231. Визначте градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює:

1) 70°; 2) 190°.

232. Визначте градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому вписаного кута дорівнює:

1) 20°; 2) 100°.

233. Точки А і В належать колу і лежать по один бік від хорди CD. Знайдіть ∠CAD, якщо ∠CBD = 55°.

2

Середній рівень

234. Точки A і B належать колу і лежать по різні боки від хорди MN. Доведіть, що ∠MAN + ∠MBN = 180°.

235. Точки M і N належать колу і лежать по різні боки від хорди АВ. Знайдіть ∠АМВ, якщо ∠ANB = 70°.

236. Точка Р кола і його центр О лежать по різні боки від хорди CD. Знайдіть ∠COD, якщо ∠CPD = 126°.

237. Точка А кола і його центр О лежать по різні боки від хорди LK. Знайдіть ∠LAK, якщо ∠LOK = 128°.

238. Хорда розбиває коло на дві дуги у відношенні 1 : 2. Знайдіть міри вписаних кутів, що спираються на ці дуги.

3

Достатній рівень

239. Хорда АВ дорівнює радіусу кола. Точка С кола і його центр лежать по один бік від хорди АВ. Знайдіть ∠АСВ.

240. Хорди AD і BC перетинаються в точці F. ∠ABC = 20°, ∠BCD = 80°. Знайдіть градусну міру кута AFB.

241. Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпендикулярні.

242. О - центр кола, ∠MBA = 50° (мал. 89). Знайдіть х.

Мал. 89

Мал. 90

4

Високий рівень

243. Доведіть, що кут між дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює половині дуги, яка лежить між сторонами кута, тобто (мал. 90).

244. Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці О. ∠AOB = 80°. Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки розв’язків має задача?

245. Рівнобедрений трикутник MNK вписано в коло із центром у точці О. ∠MOK = 100°. Знайдіть кути трикутника MNK. Скільки розв’язків має задача?

246. Знайдіть геометричне місце вершин прямокутних трикутників зі спільною гіпотенузою.

Вправи для повторення

3

247. У прямокутній трапеції більша бічна сторона вдвічі більша за меншу. Знайдіть кути трапеції.

248. Сторони паралелограма дорівнюють а і b (a > b). Знайдіть відрізки, на які бісектриса гострого кута ділить його більшу сторону.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

249. З точки А до кола проведено дві дотичні, В і С - точки дотику (мал. 91). Знайдіть довжини відрізків АВ і АС дотичних, якщо їх сума дорівнює 16 см.

Мал. 91

Цікаві задачі для учнів неледачих

250. У кожній клітинці прямокутної дошки розміром 2017 х 2019 клітинок сидить жук. За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться вільна клітинка?






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити