Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§7. ВПИСАНІ ТА ЦЕНТРАЛЬНІ КУТИ

Центральним кутом називають кут з вершиною в центрі кола.

На малюнку 79 ZAOB - центральний кут, сторони якого перетинають коло в точках А і В. Точки А і В розбивають коло на дві дуги. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола, що відповідає цьому центральному куту. Якщо центральний кут менший від розгорнутого, то дуга, що йому відповідає, є меншою за півколо (її виділено кольором на малюнку 79). Якщо центральний кут більший за розгорнутий, то дуга, що йому відповідає, є більшою за півколо. Розгорнутому куту відповідає дуга, що є півколом. Дугу позначають символом ‿ , який записують перед назвою дуги або над нею. Щоб уточнити, про яку саме з двох дуг, на які центральний кут поділив коло, йдеться, на кожній з них позначають довільну точку, відмінну від кінців дуги. Наприклад, М і N (мал. 79). Тоді ці дуги можна записати так: ‿ АМВ та ‿ ANB

Якщо зрозуміло, про яку саме дугу йдеться, то для її позначення достатньо вказати лише кінці дуги, наприклад (або ‿ AB).

Мал. 79

Мал. 80

Дугу кола можна вимірювати у градусах.

Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута.

Наприклад, якщо ∠AOB = 70°, то (мал. 79).

Очевидно, що градусна міра дуги, яка є півколом, дорівнює 180°, а дуги, що є колом, - 360°. На малюнку 79:

360° - 70° = 290°.

Вписаним кутом називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло.

На малюнку 80 сторони вписаного кута АВС перетинають коло в точках А і С. Кажуть, що цей кут спирається на дугу АМС.

Зрозуміло, що точки перетину сторін вписаного кута з колом ділять коло на дві дуги. З них тією, на яку спирається вписаний кут, буде дуга, що не містить його вершини. Наприклад, на малюнку 80 сторони вписаного кута ABC поділили коло на

дві дуги:

Оскільки не містить вершини кута (точки B), то вона і є дугою, на яку спирається вписаний кут ABC. Цю дугу виділено кольором.

Т е о р е м а (про вписаний кут). Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Д о в е д е н н я. Нехай ∠ABC є вписаним у коло із центром О та спирається на дугу AC (мал. 80). Доведемо, що ∠ABC =

Розглянемо три можливі випадки розташування центра кола відносно даного вписаного кута.

1) Нехай центр кола - точка О лежить на одній зі сторін кута, наприклад BC (мал. 81). Центральний кут AOC є зовнішнім кутом трикутника AOB. Тоді, за властивістю зовнішнього кута, ∠AOC = ∠ABO + ∠OAB. Але ∆AOB - рівнобедрений (AO = OB як радіуси), тому ∠ABO = ∠OAB.

Отже, ∠AOC = ∠ABO, тобто ∠ABC = ∠ABO =

Але ж ∠AOC =

Отже,

2) Нехай центр кола лежить усередині вписаного кута (мал. 82). Проведемо промінь BO, що перетинає коло в точці L.

Тоді ∠ABC = ∠ABL + ∠LBC =

3) Нехай центр кола лежить зовні вписаного кута (мал. 83).

Тоді ∠ABC = ∠ABL - ∠CBL =

Мал. 81

Мал. 82

Мал. 83

Н а с л і д о к 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, між собою рівні (мал. 84).

Н а с л і д о к 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий (мал. 85).

Мал. 84

Мал. 85

Задача 1. Доведіть, що кут з вершиною всередині кола вимірюється півсумою двох дуг, з яких одна міститься між сторонами кута, а друга - між продовженням сторін.

Д о в е д е н н я. Розглянемо ∠AFC, вершина якого знаходиться всередині кола (мал. 86). Доведемо, що ∠AFC =

∠AFC - зовнішній для трикутника BCF. Маємо:

Мал. 86

Мал. 87

Задача 2. Доведіть, що кут між двома січними, які перетинаються зовні кола, вимірюється піврізницею більшої і меншої дуг, які містяться між його сторонами.

Д о в е д е н н я. Розглянемо ∠BFD, вершина якого лежить зовні кола, а FB і FD - січні кола (мал. 87). Доведемо, що

∠BAD - зовнішній кут трикутника ADF. Маємо: ∠DAB = ∠ADC + ∠DFB; тобто

Тому

А ще раніше…

Доведення теореми про вписаний кут зустрічається ще в «Началах» Евкліда. Але ще раніше цей факт, як припущення, уперше висловив Гіпократ Хіоський (V ст. до н. е.).

Те, що вписаний кут, який спирається на діаметр, є прямим, знали вавилоняни 4000 років тому, а перше доведення цього факту приписують Фалесу Мілетському.

1. Який кут називають центральним?

2. Що називають градусною мірою дуги кола?

3. Який кут називають вписаним?

4. Сформулюйте і доведіть теорему про вписаний кут.

1

Початковий рівень

230. (Усно.) Які з кутів на малюнку 88 є вписаними в коло?

Мал. 88

231. Визначте градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює:

1) 70°; 2) 190°.

232. Визначте градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому вписаного кута дорівнює:

1) 20°; 2) 100°.

233. Точки А і В належать колу і лежать по один бік від хорди CD. Знайдіть ∠CAD, якщо ∠CBD = 55°.

2

Середній рівень

234. Точки A і B належать колу і лежать по різні боки від хорди MN. Доведіть, що ∠MAN + ∠MBN = 180°.

235. Точки M і N належать колу і лежать по різні боки від хорди АВ. Знайдіть ∠АМВ, якщо ∠ANB = 70°.

236. Точка Р кола і його центр О лежать по різні боки від хорди CD. Знайдіть ∠COD, якщо ∠CPD = 126°.

237. Точка А кола і його центр О лежать по різні боки від хорди LK. Знайдіть ∠LAK, якщо ∠LOK = 128°.

238. Хорда розбиває коло на дві дуги у відношенні 1 : 2. Знайдіть міри вписаних кутів, що спираються на ці дуги.

3

Достатній рівень

239. Хорда АВ дорівнює радіусу кола. Точка С кола і його центр лежать по один бік від хорди АВ. Знайдіть ∠АСВ.

240. Хорди AD і BC перетинаються в точці F. ∠ABC = 20°, ∠BCD = 80°. Знайдіть градусну міру кута AFB.

241. Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпендикулярні.

242. О - центр кола, ∠MBA = 50° (мал. 89). Знайдіть х.

Мал. 89

Мал. 90

4

Високий рівень

243. Доведіть, що кут між дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює половині дуги, яка лежить між сторонами кута, тобто (мал. 90).

244. Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці О. ∠AOB = 80°. Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки розв’язків має задача?

245. Рівнобедрений трикутник MNK вписано в коло із центром у точці О. ∠MOK = 100°. Знайдіть кути трикутника MNK. Скільки розв’язків має задача?

246. Знайдіть геометричне місце вершин прямокутних трикутників зі спільною гіпотенузою.

Вправи для повторення

3

247. У прямокутній трапеції більша бічна сторона вдвічі більша за меншу. Знайдіть кути трапеції.

248. Сторони паралелограма дорівнюють а і b (a > b). Знайдіть відрізки, на які бісектриса гострого кута ділить його більшу сторону.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

249. З точки А до кола проведено дві дотичні, В і С - точки дотику (мал. 91). Знайдіть довжини відрізків АВ і АС дотичних, якщо їх сума дорівнює 16 см.

Мал. 91

Цікаві задачі для учнів неледачих

250. У кожній клітинці прямокутної дошки розміром 2017 х 2019 клітинок сидить жук. За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться вільна клітинка?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити