Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§8. ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Чотирикутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому називають описаним навколо чотирикутника (мал. 92).

Т е о р е м а 1 (властивість кутів вписаного чотирикутника). Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.

Д о в е д е н н я. Нехай у коло із центром О вписано чотирикутник ABCD (мал. 92). Тоді

(за теоремою про вписаний кут).

Тому ∠A + ∠C = ∙ 360° = 180°.

Тоді ∠B + ∠D = 360° - 180° = 180°.

Н а с л і д о к 1. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то вона рівнобічна.

Д о в е д е н н я. Нехай трапеція ABCD - вписана в коло, AD || CB (мал. 93). Тоді ∠A + ∠С = 180°. Але ж у трапеції ∠D + ∠С = 180°. Тому ∠A = ∠D. Отже, ABCD - рівнобічна трапеція (за ознакою рівнобічної трапеції).

Мал. 92

Мал. 93

Як відомо з курсу геометрії 7 класу, навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Про чотирикутники те саме сказати не можна.

Т е о р е м а 2 (ознака вписаного чотирикутника). Якщо в чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

Доведення. Нехай у чотирикутнику ABCD ∠A + ∠С = 180°. Проведемо через точки А, В і С коло. Доведемо, що вершина D чотирикутника також лежатиме на цьому колі (методом від супротивного).

1) Припустимо, що вершина D лежить усередині кола (мал. 94). Продовжимо CD до перетину з колом у точці М.

Тоді ∠В + ∠D = 180° (за умовою) і ∠М + ∠В = 180° (за властивістю кутів вписаного чотирикутника). Звідси ∠D = ∠M. Але ж ∠ADC - зовнішній, а ∠AMC - не суміжний з ним внутрішній кут трикутника ADM. Тому ∠ADC має бути більшим за ∠АМС. Прийшли до протиріччя, отже, наше припущення хибне і точка D не може лежати всередині кола.

Мал. 94

2) Аналогічно можна довести, що вершина D не може лежати зовні кола.

3) Отже, точка D лежить на колі (мал. 92), а тому навколо чотирикутника ABCD можна описати коло.

Н а с л і д о к 1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.

Н а с л і д о к 2. Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Зауважимо, що, як і для трикутника, центром кола, описаного навколо чотирикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Так, наприклад, центр кола, описаного навколо прямокутника, збігається з точкою перетину його діагоналей.

Чотирикутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому називають вписаним у чотирикутник (мал. 95).

Мал. 95

Мал. 96

Т е о р е м а 3 (властивість сторін описаного чотирикутника). В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін між собою рівні.

Д о в е д е н н я. Нехай чотирикутник ABCD - описаний, P, L, K, T - точки дотику (мал. 96). За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, AP = AT = a, BP= BL = b, CK = CL = c, DK = DT = d. На малюнку 96 рівні між собою відрізки позначено однаковим кольором.

Тоді AD + BC = AT + TD + BL + LC = a + d + b + c;

AB + CD = AP + PB + CK + KD = a + b + c + d.

Отже, AD + BC = AB + CD.

Як відомо з курсу геометрії 7 класу, у будь-який трикутник можна вписати коло. Про чотирикутник те саме сказати не можна.

Т е о р е м а 4 (ознака описаного чотирикутника). Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло.

Доведення цієї теореми є досить громіздким, а тому його не наводимо.

Н а с л і д о к. У будь-який ромб можна вписати коло.

Як і для трикутника, центром кола, вписаного в чотирикутник, є точка перетину бісектрис його кутів. Оскільки діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину діагоналей.

1. Який чотирикутник називають вписаним у коло?

2. Сформулюйте і доведіть властивість кутів вписаного чотирикутника.

3. Сформулюйте наслідок із цієї властивості.

4. Сформулюйте ознаку вписаного чотирикутника та наслідки з неї.

5. Який многокутник називають описаним навколо кола?

6. Сформулюйте і доведіть властивість сторін описаного чотирикутника.

7. Сформулюйте ознаку описаного чотирикутника і наслідок з неї.

1

Початковий рівень

251. На яких з малюнків 97-100 зображено вписані чотирикутники, а на яких - описані?

Мал. 97

Мал. 98

Мал. 99

Мал. 100

252. Чи можна навколо чотирикутника ABCD описати коло, якщо:

1) ∠A = 30°; ∠C = 150°; 2) ∠B = 90°; ∠D = 80°?

253. Чи може чотирикутник MNKL бути вписаним у коло, якщо:

1) ∠M = 20°; ∠K = 150°; 2) ∠N = 90°; ∠L = 90°?

2

Середній рівень

254. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як:

1) 5 : 3 : 4 : 7; 2) 3 : 2 : 4 : 5?

255. Чи може бути описаним чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як:

1) 7 : 3 : 2 : 6; 2) 5 : 4 : 3 : 6?

256. Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо ∠C = 132°; ∠D = 29°.

257. Знайдіть кути C і D чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо ∠A = 138°; ∠B = 49°.

3

Достатній рівень

258. У рівнобічну трапецію, периметр якої дорівнює 16 см, вписано коло. Знайдіть бічну сторону трапеції.

259. Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 5 дм. Знайдіть периметр трапеції.

260. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1 і BH2, які перетинаються в точці H. Доведіть, що навколо чотирикутника CH1HH2 можна описати коло, діаметром якого буде відрізок CH.

261. Точка M лежить на стороні AB гострокутного трикутника ABC. MP і MK - перпендикуляри до сторін AC і BC відповідно. Доведіть, що навколо чотирикутника MPCK можна описати коло, діаметром якого буде відрізок CM.

4

Високий рівень

262. Трапецію вписано в коло радіуса R так, що діаметр кола є її більшою основою. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює бічній стороні.

Вправи для повторення

3

263. AB - основа рівнобедреного трикутника ABC, I - центр вписаного кола. ∠AIB = а (а > 90°). Знайдіть кути трикутника ABC.

264. AB - основа рівнобедреного трикутника ABC, O - центр описаного кола. ∠AOB = а (а < 180°). Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки випадків слід розглянути?

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

265. Пряма EK паралельна стороні AB трикутника ABC, E ∈ AC, K ∈ BC. Доведіть, що ∠CKE = ∠CBA, ∠CEK = ∠CAB.

Цікаві задачі для учнів неледачих

266. Побудуйте спільну зовнішню дотичну до двох кіл різних радіусів, які не мають спільних точок.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити