Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§9. ТЕОРЕМ ФАЛЕСА

Т е о р е м а Ф а л е с а. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки і на другій його стороні.

Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі A1B1, A2B2, A3B3 перетинають сторони кута з вершиною O (мал. 101), причому A1A2 = A2A3. Доведемо, що B1B2 = B2B3.

1) Проведемо через точки A1 і A2 прямі A1M і A2N, паралельні прямій OB3. A1A2 = A2A3 (за умовою), ∠ A2A1M = ∠ A3A2N (як відповідні кути при паралельних прямих A1M і A2N), ∠A1A2M = ∠A2A3N (як відповідні кути при паралельних прямих A2M і A3N). Тому ∆A1A2M = ∆A2A3N (за стороною і двома прилеглими кутами), а значить A1M = A2N (як відповідні сторони рівних трикутників).

2) Чотирикутник A1MB2B1 - паралелограм (за побудовою). Тому A1M = B1B2.

Аналогічно A2NB3B2 - паралелограм, тому A2N = B2B3. Отже, A1M = A2N, A1M = B1B2, A2N = B2B3. Звідки B1B2 = B2B3, що й треба було довести.

Мал. 101

Н а с л і д о к. Паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій прямій.

За теоремою Фалеса можна поділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин, використовуючи лінійку без поділок.

Задача. Поділіть відрізок AB на 6 рівних частин.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай AB - даний відрізок (мал. 102). Проведемо довільний промінь AC і відкладемо на ньому циркулем послідовно 6 відрізків:

AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6.

2) Через точки C6 і B проведемо пряму.

3) Через точки С1, С2, С3, С4, С5 проведемо за допомогою косинця і лінійки прямі, паралельні прямій BC6. За теоремою Фалеса ці прямі поділять відрізок AB на 6 рівних між собою частин:

AD1= D1D2= D2D3= D3D4 = D4D5 = D5B.

Мал. 102

А ще раніше…

Фалес Мілетський - давньогрецький математик і астроном. За давньою традицією його вважають одним з так званих семи мудреців світу, адже він був одним з найвидатніших математиків свого часу.

Ще в молоді роки допитливий юнак вирушив у подорож до Єгипту, щоб ознайомитися з єгипетською культурою та вивчити природничі науки. Будучи здібним та обдарованим, Фалес не тільки швидко вивчив те, що на той час уже було відомо єгипетським вченим, а й зробив низку власних наукових відкриттів. Він самостійно визначив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню, чим дуже здивував єгипетського фараона Амазіса. А повернувшись на батьківщину, заснував у Мілеті філософську школу.

Історики вважають, що Фалес був першим, хто ознайомив греків з геометрією, і став першим грецьким астрономом. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е.

На гробниці Фалеса вирізьблено: «Наскільки є малою ця гробниця, настільки великою є слава цього царя астрономії в галузі зірок».

Фалес Мілетський (бл. 625-548 до н. е.)

Сформулюйте і доведіть теорему Фалеса.

1

Початковий рівень

267. (Усно.) На малюнку 103 A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 3 см, А2А3 = 3 см, B1B2 = 5 см. Знайдіть B2B3.

268. На малюнку 103 A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = B2B3, A2A3 = 7 см. Знайдіть A1А2.

269. На малюнку 104 M1N1 || M2N2, OM1 = M1M2, ON1 = 4 см. Знайдіть ON2.

270. На малюнку 104 M1N1 || M2N2, ON1 = 6 см, N1N2 = 6 см, OM1 = 3,5 см. Знайдіть OМ2.

Мал. 103

Мал. 104

2

Середній рівень

271.1 Поділіть даний відрізок на 5 рівних частин.

272. Поділіть даний відрізок на 7 рівних частин.

1 Задачі 271-274 необхідно розв’язати із застосуванням лінійки без поділок.

3

Достатній рівень

273. Поділіть даний відрізок на дві частини, відношення яких дорівнює 2 : 5.

274. Поділіть даний відрізок на дві частини у відношенні 3 : 2.

275. На малюнку 103 A2B2 || A3B3. A1A2 : B1B2 = 3 : 5, B2B3 - A2A3 = 8 см. Знайдіть A1A2, A2A3, B1B2, B2B3.

276. На малюнку 104 ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1 : OM1 = = 7 : 4, N1N2 + M1M2 = 33 см. Знайдіть ON2 і OM2.

4

Високий рівень

277. M і N - відповідно середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Відрізки MD і BN перетинають діагональ AC у точках L і K відповідно. Доведіть, що AL = LK = KC.

278. Точки E, F і G ділять медіану AD трикутника ABC на чотири рівні частини (AE = EF = FG = GD). Доведіть, що пряма CG ділить сторону AB у відношенні 3 : 2, починаючи від вершини A.

279. Точки M і N ділять медіану AD трикутника ABC на три рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника.

280. Точка K - середина медіани AD трикутника ABC. Відрізок BK перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть AM : MC.

Вправи для повторення

281. Побудуйте відрізок АВ завдовжки 5 см та геометричне місце точок, рівновіддалених від його кінців.

282. З точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, які віддалені від центра на відстані 5 см і 7 см. Знайдіть довжини цих хорд.

Цікаві задачі для учнів неледачих

283. (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1976 р.) Усередині гострокутного трикутника ABC дано точку P таку, що ∠APB = ∠ACB + 60°, ∠BPC = ∠BAC + 60°, ∠CPA = ∠CBA+ 60°. Доведіть, що основи перпендикулярів, проведених з точки P до сторін трикутника ABC, є вершинами рівностороннього трикутника.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити