Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

9. Властивості функцій

1. Нулі функції. Проміжки знакосталості. Розглянемо функцію y = f(x), графік якої зображено на рисунку 29. Якщо х = -1, х = 4 або х = 6, то значення функції дорівнює нулю. Такі значення аргументу х називають нулями функції.

Означення

Значення аргументу, для яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції.

Рис. 29

Нулем функції у = х - 2 є лише одне значення х, а саме: х = 2, бо значення функції дорівнює нулю лише для х = 2.

Щоб знайти нулі функції, яку задано формулою у = f(x), потрібно розв’язати рівняння f(x) = 0.

Функція у = f(x), графік якої зображено на рисунку 29, на проміжках [-3; -1) і (4; 6) набуває лише від’ємних значень, а на проміжках (-1; 4) і (6; 7] — лише додатних значень. Кожен із цих проміжків називають проміжком знакосталості функції у = f(x).

Означення

Проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції.

Щоб знайти проміжки знакосталості функції, яку задано формулою у = f(x), потрібно розв’язати нерівності f(x) > 0 та f(x) < 0.

Зауваження. Функція у = f(x), графік якої зображено на рисунку 29, на проміжку [0; 3) набуває лише додатних значень. Тому цей проміжок є проміжком знакосталості функції. Проте, указуючи проміжки знакосталості функції, прийнято вказувати такі проміжки найбільшої довжини. Для даної функції — це проміжки [-3; -1), (-1; 4), (4; 6) і (6; 7].

2. Зростання, спадання функції. Розглянемо графік функції у = f(x) на рисунку 29. На проміжку [-3; 2] графік «іде вгору»: якщо збільшувати значення х із цього проміжку, то відповідні значення функції збільшуватимуться. Наприклад, візьмемо значення аргументу x1 = -3 і х2 = -1, тоді х2 > х1. Оскільки f(x2) = f(-1) = 0, аf(x1) = f(-3) = -2, то f(x2) > f(x1). Більшому значенню аргументу (х2) відповідає більше значення функції (fx2)). Кажуть, що на проміжку [-3; 2] функція у = f(x) зростає (або є зростаючою). Такою ж вона є й на проміжку [5; 7].

На проміжку [2; 5] графік функції у = f(x) «іде вниз»: якщо збільшувати значення аргументу, то відповідні значення функції зменшуватимуться. Кажуть, що на цьому проміжку функція у = f(x) спадає (або є спадною).

Означення

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою функцією; якщо ж функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною функцією.

Наприклад, на рисунку 30 зображено графік функції, областю визначення якої є проміжок [-1; 5]. Ця функція є зростаючою, бо вона зростає на всій області визначення. Функція, графік якої зображено на рисунку 31, є спадною, бо вона спадає на всій області визначення — проміжку [-1; 5].

Рис. 30

Рис. 31

Зростаючими є функції у = 2x, у = 4х (їхні графіки завжди «ідуть угору»), а спадними — функції у = -2x, у = -х (їхні графіки завжди «ідуть униз»). Функція у = f(x), графік якої зображено на рисунку 29, є ні зростаючою, ні спадною. Вона лише зростає або спадає на окремих проміжках.

Функція де k > 0, спадає на кожному із проміжків (-∞; 0) і (0; +∞), але не є спадною. Справді, вона не спадає на всій області визначення (-∞; 0) (0; +∞), оскільки для х2 > х1 (див. рис. 32) маємо: у2 > у1.

Рис. 32

Характер зростання, спадання функцій, які ми вивчили у 7 і 8 класах, наведено в таблиці.

Зауваження. Указуючи проміжки зростання чи спадання функції, прийнято вказувати такі проміжки найбільшої довжини. Так, для функції у = х2 проміжком зростання є проміжок [0; +∞), хоча ця функція зростає й на будь- якому проміжку [a; b], що є підмножиною проміжку [0; +∞).

Для тих хто хоче знати більше

Приклад 1. Довести, що функція у = x зростає на проміжку [0; +∞).

• Нехай х1 та х2 — два довільні значення аргументу із проміжку [0; +∞), до того ж, х2 > х1 а у1та у2 — відповідні їм значення функції, тобто

Покажемо, що у2 > у1. Для цього розглянемо різницю:

Оскільки х2 > х1, то х2 - x1 > 0. Значення x1 та х2 належать проміжку [0; +∞), тому x1 ≥ 0, х2 > 0 (бо х2 > x1), звідки x1 + х2 > 0.

Тоді:

(x2 - x1)(x2 + x1) > 0; y2 - y1 = (x2 - x1)(x2 + x1) > 0; y2 >y1 Більшому значенню аргументу з проміжку [0; +∞) відповідає більше значення функції. Отже, функція у = x2на проміжку [0; +∞) зростає. •

Приклад 2. Довести, що функція у = kx + b, де k < 0, є спадною.

• Покажемо, що дана функція спадає на всій області визначення — проміжку (-∞; +∞). Нехай x1 та X2 — два довільні значення аргументу, до того ж, X2 > x1, ау1та у2 — відповідні їм значення функції, тобто y1 = kx1 + b, y2 = kx2 + b. Щоб порівняти у2 та у1, розглянемо різницю:

y2- y1 = (kx2+ b) - (kx1 + b) = k(x2 - x1).

Оскільки X2 > x1, то X2 - x1 > 0. Урахувавши, що k < 0, матимемо:

k(x2 - x1) < 0; y2 - y1 < 0; y2 < y1.

Більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Отже, дана функція є спадною. •

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти нулі функції у = x - 8X + 2. •

Розв’яжемо рівняння x2 - 8X + 12 = 0:

Отже, функція має два нулі: x = 2 та x = 6.

Відповідь. 2; 6. •

Вправа 2. Знайти проміжки знакосталості функції у = 2х - 5.

• Розв’яжемо нерівності 2х - 5 > 0 і 2х - 5 < 0:

2х - 5 > 0; 2х > 5; х > 2,5; 2х - 5 < 0; 2х < 5; х < 2,5.

Отже, функція набуває лише додатних значень на проміжку (2,5; +∞), а лише від’ємних значень — на проміжку (-∞; 2,5).

Відповідь. (-∞; 2,5); (2,5; +∞). •

Вправа 3. Порівняти значення виразів:

• а) Функція f (x) = є зростаючою. Оскільки 12,64 > 12,52, то

• б) Числа -28,1 і -25,6 належать проміжку (-∞; 0], на якому функція f(х) = х2 спадає. Оскільки -28,1 < -25,6, то f(-28,1) > f(-25,6), тобто

(-28,1)2 > (-25,6)2. •

Вправа 4. Знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку [2; 10].

• Проміжок [2; 10] є підмножиною проміжку (0; +∞), на якому функція спадає. Тому дана функція спадає й на проміжку [2; 10] і на ньому для х = 2 вона набуває найбільшого значення, а для х = 10 — найменшого. Отже, найбільше значення функції на проміжку [2; 10] дорівнює = 2,5, а найменше — = 0,5.

Відповідь. 2,5; 0,5. •

Усно

353. На рисунку 33 зображено графік функції t = f(), яка характеризує зміну температури тіла протягом 7 хвилин.

а) У які моменти часу температура тіла дорівнювала 0 °С? Укажіть нулі функції t = ().

б) Протягом яких проміжків часу температура тіла була додатною; від’ємною? На яких проміжках функція t = f() набуває додатних значень; від’ємних значень?

в) Протягом яких проміжків часу температура тіла зростала; спадала? На яких проміжках функція t = f() зростає; спадає?

г) Укажіть найбільше та найменше значення температури тіла; найбільше та найменше значення функції t = f()?

Рис. 33

Рівень А

354. На рисунку 34 зображено графік функції у = f(x), де -2,5 < x < 4. Укажіть:

а) нулі функції;

б) проміжки, на яких функція набуває додатних значень; від’ємних значень;

в) проміжки, на яких функція зростає; спадає;

г) найбільше та найменше значення функції.

355. На рисунку 35 зображено графік функції у = f(x), де -3 < x < 5. Укажіть:

а) нулі функції;

б) проміжки, на яких функція набуває додатних значень; від’ємних значень;

в) проміжки, на яких функція зростає; спадає.

Рис. 34

Рис. 35

Знайдіть нулі функції:

356.

357.

Знайдіть проміжки знакосталості функції:

358.

а) у = х + 2;

б) у = 4х - 12;

в) у = -3х - 9.

359.

а) у = х - 4;

б) у = 3х + 6;

в) у = -2х + 4.

Побудуйте графік функції. Знайдіть її нулі. Укажіть проміжки, на яких функція набуває додатних значень; від’ємних значень. Чи є дана функція зростаючою; спадною?

360.

а) у = -2х;

б) у = 3х - 3;

в) у = -0,5х + 1.

361.

а) у = 3х;

б) у = 0,5х - 1;

в) у = -2х - 2.

Порівняйте значення виразів:

362.

363.

Рівень Б

364. Накресліть графік функції, областю визначення якої є проміжок [-2; 4], і щоб функція:

а) зростала на проміжку [-2; 0] і спадала на проміжку [0; 4];

б) спадала на проміжку [-2; 1], зростала на проміжку [1; 4] і мала два нулі: х = 0 та х = 3;

в) була зростаючою і мала один нуль — число 2.

365. Накресліть графік функції, областю визначення якої є проміжок [-1; 6], і щоб функція:

а) спадала на проміжку [-1; 4], зростала на проміжку [4; 6] і мала один нуль: х = 1;

б) була спадною і мала один нуль — число 3;

в) була зростаючою і не мала нулів.

Знайдіть нулі функції:

366.

367.

368. Знайдіть проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень:

369. Знайдіть проміжки, на яких функція набуває додатних значень:

370. Знайдіть усі значення а, для яких функція у = (4а - 3)х + 2 є спадною.

371. Знайдіть усі значення b, для яких функція у = (2b + 5)х - 3 є зростаючою.

372. Знайдіть усі значення , для яких функція зростає на проміжку (0; +∞).

373. Знайдіть усі значення а, для яких функція спадає на проміжку (-∞; 0).

Побудуйте графік функції. Користуючись графіком, укажіть: 1) проміжки, на яких функція набуває додатних значень; від ’ємних значень; 2) проміжки, на яких функція зростає; спадає.

374.

375.

Знайдіть найменше і найбільше значення функції на вказаному проміжку:

376.

377.

Рівень В

378. Знайдіть нулі функції:

379. Скільки нулів має функція у = х2 - (2а + 1)х + 2а залежно від значень параметра а?

380. Доведіть, що функція у = х2 спадає на проміжку (-∞; 0].

381. Доведіть, що функція де k < 0, зростає на проміжках (-∞; 0) і (0; +∞).

382. а) Функція у = f(x) є зростаючою, а функція у = g(x) — спадною. Доведіть, що рівняння f(x) = g(x) має не більше одного кореня.

б) Розв’яжіть (усно) рівняння

Вправи для повторення

383. Знайдіть значення виразу 3х0 - 3у0, якщо (х0; у0) — розв’язок системи рівнянь

384. Доведіть тотожність:

385. Знайдіть значення виразу:

386. Відстань між пунктами A і B по шосе дорівнює 135 км, а залізницею — 120 км. Автомобіль виїхав з пункту A на 10 хв раніше, ніж поїзд, і прибув у пункт B на 8 хв пізніше. Знайдіть швидкість автомобіля, якщо вона на 10 км/год менша від швидкості поїзда.

Поміркуйте

387. У вершинах правильного семикутника стоять по фішці білого або чорного кольору. Доведіть, що серед них є три фішки одного кольору, які розміщені у вершинах рівнобедреного трикутника.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити