Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

13. Квадратні нерівності

Розглянемо нерівності 2х2 - 3х + 1 > 0, -х2 + 4х + 5 < 0. Лівою частиною кожної з цих нерівностей є квадратний тричлен зі змінною х, а правою — число 0. Такі нерівності називають квадратними.

Означення

Нерівності виду

де х — змінна, а, b, с — деякі числа, до того ж, а ≠ 0, називають квадратними нерівностями.

Розв’язування квадратних нерівностей можна звести до знаходження проміжків, на яких квадратична функція у = ах2 + bx + с набуває додатних, недодатних, від’ємних або невід’ємних значень. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’язати нерівність 2х2 + х - 1 > 0.

• Розглянемо квадратичну функцію у = 2х2 + х - 1. Її графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору. З’ясуємо, чи має функція нулі. Для цього розв’яжемо рівняння 2х2+ х - 1 = 0. Його коренями є х1 = -1, x2 = .

Отже, парабола перетинає вісь х у двох точках з абсцисами -1 та .

Рис. 63

Схематично зображуємо параболу на координатній площині (рис. 63). З побудованого графіка бачимо, що функція набуває додатних значень, якщо значення х належить проміжку (-∞; -1) або проміжку (; +∞) (на цих проміжках точки параболи розташовані над віссю х). Отже, множиною розв’язків нерівності 2х2 + х - 1 > 0 є (-; -1) ∪ (; +∞)

Відповідь. (-∞; -1) ∪ (; +∞)

Використовуючи схематичне зображення параболи у = 2х2 + х - 1 (див. рис. 63), можна записати й множини розв’язків таких нерівностей:

Приклад 2. Розв’язати нерівність -3х2 + 14х - 8 ≥ 0.

• Графіком функції у = -3х2 + 14х - 8 є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Розв’язавши рівняння -3х2 + 14х - 8 = 0, одержимо: х1 = ; х2 = 4. Отже, парабола перетинає вісь х у точках з абсцисами та 4.

Схематично зображуємо дану параболу (рис. 64). Функція у = -3х2 + 14х - 8 набуває невід’ємних значень на проміжку

Рис. 64

Цей проміжок і є множиною розв’язків нерівності.

Відповідь. . •

Приклад 3. Розв’язати нерівність:

а) х2 - 2х + 3 > 0;

б) х2 - 2х + 3 < 0.

• Графіком функції у = х2 - 2х + 3 є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Рівняння х2 - 2х + 3 = 0 не має коренів, бо D = (-2)2 - 4 ∙ 1 ∙ 3 = -8 < 0. Отже, парабола не перетинає осі х. Схематично зображуємо цю параболу (рис. 65). Функція у = х2 - 2х + 3 для всіх значеннях х набуває додатних значень.

Тому множиною розв’язків нерівності х2 - 2х + 3 > 0 є множина всіх дійсних чисел, тобто проміжок (-∞; +∞), а нерівність х2 - 2х + 3 < 0 розв’язків не має.

Відповідь. а) (-∞; +∞); б) розв’язків немає. •

Рис. 65

Приклад 4. Розв’язати нерівність:

а) -4х2 + 4х - 1 < 0;

б) -4х2 + 4х - 1 ≥ 0.

• Графіком функції у = -4х2 + 4х - 1 є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Для рівняння -4х2 + 4х - 1 = 0 маємо: D = 42 - 4 ∙ (- 4) ∙ 1 = 0; х1,2 = 0,5. Отже, парабола дотикається до осі х. Схематично зображуємо цю параболу (рис. 66). Функція у = -4х2 + 4х - 1 набуває від’ємних значень на проміжках (-∞; 0,5) і (0,5; +∞), невід’ємних значень — лише для х = 0,5.

Тому множиною розв’язків нерівності а) є об’єднання проміжків (-да; 0,5) і (0,5; +∞), а нерівність б) має лише один розв’язок — х = 0,5.

Відповідь. а) (-∞; 0,5) ∪ (0,5; +∞); б) 0,5. •

Рис. 66

Підсумок. Щоб розв’язати квадратну нерівність ax2 + bx + с > 0, ax2 + bx + с < 0, ax2 + bx + с > 0 або ax2 + bx + с < 0, можна розглянути квадратичну функцію y = ax2+ bx + c і:

1) знайти нулі функції;

2) якщо квадратична функція має два нулі, то позначити їх точками на осі х і через ці точки схематично провести параболу y = ax2 + bx + с, вітки якої напрямлені вгору, якщо a > 0, і вниз — якщо a < 0;

якщо квадратична функція має один нуль, то позначити його точкою на осі х і схематично провести параболу, яка дотикається до осі х у цій точці; вітки параболи напрямлені вгору, якщо a > 0, і вниз — якщо a < 0;

якщо квадратична функція не має нулів, то схематично провести параболу, розташовану у верхній півплощині вітками вгору, якщо a > 0, у нижній півплощині вітками вниз — якщо a < 0;

3) знайти на осі х проміжки, на яких значення функції y = ax2 + bx + с задовольняють відповідну нерівність.

Для тиху хто хоче знати більше

Приклад 5. Розв’язати нерівність

• Дріб у лівій частині нерівності має зміст, якщо x ≠ 2. Оскільки для x ≠ 2 знаменник дробу додатний, то дана нерівність виконуватиметься, якщо х2 - 4х - 5 < 0. Множиною розв’язків квадратної нерівності є проміжок [-1; 5]. Виключивши з нього число 2, одержимо множину розв’язків даної нерівності: [-1; 2) ∪ (2; 5].

Відповідь. [-1; 2) ∪ (2; 5]. •

Приклад 6. Розв’язати нерівність

• Вираз має зміст, якщо: x - 1 ≥ 0; x ≥ 1. Тому розв’язки даної нерівності повинні належати проміжку [1; +∞).

Множник набуває лише невід’ємних значень, а саме: якщо x = 1; якщо x > 1. Тому розглянемо два випадки:

1) x = 1. Тоді матимемо правильну нерівність 0 ≥ 0. Отже, x = 1 — розв’язок нерівності.

2) x > 1. Тоді і дана нерівність виконуватиметься для тих значень х, для яких вираз х2 + 2х - 8 набуватиме невід’ємних значень. Маємо систему нерівностей:

Розв’язавши цю систему, знайдемо розв’язки: x ≥ 2.

Відповідь. x = 1, x ≥ 2, або по-іншому {1} и [2; +∞). •

Приклад розв’язання вправ

Вправа 1. Розв’язати нерівність 3х(2 - х) > х2 + 6х - 8.

• Перенесемо доданки із правої частини нерівності в ліву, змінивши їхні знаки на протилежні, і спростимо одержаний у лівій частині вираз:

6х - 3х2 - х2 - 6х + 8 > 0; -4х2 + 8 > 0.

Поділимо обидві частини останньої нерівності на -4, одержимо нерівність х2 - 2 < 0.

Графіком квадратичної функції у = х2 - 2 є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Рівняння х2 - 2 = 0 має корені

Отже, парабола перетинає вісь х у точках з абсцисами

Зображуємо схематично цю параболу (рис. 67). Множиною розв’язків нерівності х2 - 2 < 0, а, отже, і заданої в умові нерівності, є проміжок

Відповідь.

Рис. 67

Вправа 2. Знайти область визначення функції

• Область визначення функції утворюють ті значення х, для яких підкореневий вираз 4х - 2х2 набуває невід’ємних значень.

Розв’яжемо нерівність 4х - 2х2 ≥ 0. Графіком функції у = 4х - 2х2 є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Рівняння 4х - 2х2 = 0 має корені: х1 = 0 та х2 = 2. Отже, парабола перетинає вісь х у точках з абсцисами 0 і 2. Зображуємо схематично параболу (рис. 68). Нерівність 4х - 2х2 ≥ 0 виконується, якщо х належить проміжку [0; 2]. Він і є шуканою областю визначення.

Рис. 68

Відповідь. [0; 2]. •

Вправа 3. Знайти область визначення функції

• Область визначення функції утворюють усі значення х, які є розв’язками системи нерівностей

Коренями рівняння х2 + 3х - 4 = 0 є числа -4 й 1. Оскільки вітки параболи у = х2 + 3х - 4 напрямлені вгору, то множиною розв’язків першої нерівності системи є множина (-∞; -4] ∪ [1; +∞).

Розв’яжемо другу нерівність системи: 4 - х > 0; -х > -4; х < 4.

(-∞; 4) — множина розв’язків другої нерівності.

Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків обох нерівностей системи.

Спільні розв’язки нерівностей утворюють множину (-∞; -4] ∪ [1; 4). Відповідь. (-∞; -4] ∪ [1; 4). •

Усно

500. На рисунку 69 зображено графік функції у = х2 - х - 2. Назвіть множини розв’язків нерівностей:

а) х2 - х - 2 > 0;

б) х2 - х - 2 ≥ 0;

в) х2 - х - 2 < 0;

г) х2 - х - 2 ≤ 0.

501. На рисунку 70 зображено графік функції у = х2 + 2х + 1. Назвіть множини розв’язків нерівностей:

а) х2 + 2х + 1 > 0;

б) х2 + 2х + 1 ≥ 0;

в) х2 + 2х + 1 < 0;

г) х2 + 2х + 1 ≤ 0.

502. На рисунку 71 зображено графік функції у = х2 - 4х + 5. Назвіть множини розв’язків нерівностей:

а) х2 - 4х + 5 > 0;

б) х2 - 4х + 5 ≥ 0;

в) х2 - 4х + 5 < 0;

г) х2 - 4х + 5 ≤ 0.

Рис. 69

Рис. 70

Рис. 71

Рівень А

Знайдіть множину розв’язків нерівності:

503.

а) х2 > 0;

б) х2 ≥ 0;

в) х2 < 0;

г) х2 ≤ 0.

Розв’яжіть нерівність:

504.

а) х2 + 3х - 4 > 0;

б) х2 + 3х - 4 ≥ 0;

в) х2 + 3х - 4 < 0;

г) х2 + 3х - 4 ≤ 0.

505.

а) -х2 + 3х - 3 > 0;

б) -х2 + 3х - 3 ≥ 0;

в) -х2 + 3х - 3 < 0;

г) -х2 + 3х - 3 ≤ 0.

506.

а) 2х2 - 8х + 8 > 0;

б) 2х2 - 8х + 8 ≥ 0;

в) 2х2 - 8х + 8 < 0;

г) 2х2 - 8х + 8 ≤ 0.

Розв’яжіть нерівність:

507.

а) х2 + 6х + 8 ≥ 0;

б) х2 + 5х - 14 < 0;

в) 2х2 - 3х ≤ 0;

г) 3х2 - 12 > 0;

д) 2х2 + 3х - 5 < 0;

е) 3х2 - 10х + 3 > 0;

є) -х2 - 2х + 3 > 0;

ж) -2х2 + 5х - 3 < 0.

508.

а) х2 + х - 6 < 0;

б) х2 - 3х + 2 ≥ 0;

в) х2 + 4х ≤ 0;

г) 2х2 - 18 > 0;

д) 3х2 - 3х - 6 ≥ 0;

е) 2х2 + 3х - 9 < 0;

є) -х2 + 4х - 3 < 0;

ж) -х2 + 6х - 9 > 0.

509.

а) 2х2 > 2;

б) 4 - х2 > 0;

в) х2 < 2х + 8;

г) -2х2 ≤ 3х.

510.

а) х2 < 9;

б) х2 > 4х;

в) 2 - 2х2 ≥ 0;

г) х2 ≤ 5х + 6.

Знайдіть облаcть визначення функції:

511.

512.

Розв’яжіть нерівність:

513. а) (х + 3)(х - 1) < 0; б) (2х - 1)(х + 4) ≥ 0.

514. а) (х - 2)(х - 4) > 0; б) (х + 1)(2х + 5) ≤ 0.

Рівень Б

Розв’яжіть нерівність:

515.

516.

517.

518.

519.

520.

521. Для яких значень х квадратний тричлен -х2 + х - 0,21 набуває від’ємних значень?

522. Для яких значень х квадратний тричлен х2 + 2х + 0,75 набуває невід’ємних значень?

Знайдіть область визначення функції:

523.

524.

525. Знайдіть усі значення х, для яких точки параболи у = 2х2 + х - 2 розташовані вище від відповідних точок прямої у = 3х + 22.

526. Знайдіть усі значення х, для яких точки параболи у = х2 - 2х - 4 розташовані нижче від відповідних точок прямої у = -4х + 20.

527. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х2 - (а + 1)х + а2 = 0 має два різні корені; не має коренів.

528. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х2 + (2а + 1)х - 2а - 1 = 0 не має коренів.

Рівень В

529. Розв’яжіть нерівність:

530. Розв’яжіть систему нерівностей:

531.

532. Знайдіть усі значення а, для яких система нерівностей не має розв’язків.

533. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння:

а) (а + 1)х2 - (а - 3)х - 4 = 0 має два різні корені;

б) ах2 + (1 - а)х + а + 1 = 0 має хоча б один корінь.

534. Знайдіть усі значення b, для яких нерівність не має розв’язків:

а) х2 + 3х + 1 - 2b < 0;

б) bх2 - 4х + b > 0.

535. Знайдіть усі значення а, для яких нерівність (2а - 1)х2 + 2ах + а + 3 < 0 виконується для всіх дійсних значень х.

Вправи для повторення

536. Скоротіть дріб:

537. Доведіть тотожність

538. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

539. Розв’яжіть систему рівнянь:

540. Шлях між двома містами автобус подолав за 3 год, а легковий автомобіль — за 2 год. Знайдіть швидкість автомобіля, якщо вона на 30 км/год більша від швидкості автобуса.

541. Змішавши 20-відсотковий і 60-відсотковий розчини кислоти, отримали 800 г розчину, що містить 30% кислоти. Скільки грамів кожного розчину змішали?

Поміркуйте

542. У деякому місті кожний десятий математик — музикант, а кожний одинадцятий музикант — математик. Кого в місті більше — музикантів чи математиків?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити