Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

14. Системи рівнянь із двома змінними

1. Рівняння із двома змінними. Нехай відомо, що гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 5 см. Якщо довжину одного з катетів позначити через х см, а другого — через у см, то матимемо рівність х2 + у2 = 52, яка містить дві змінні — х та у. Таку рівність, як відомо, називають рівнянням із двома змінними (або рівнянням із двома невідомими).

У 7 класі ми розглядали лінійні рівняння із двома змінними — рівняння виду ах + by = c. Так, 2х - 5у = 1 — лінійне рівняння. Рівняння х2 - у = 2х, х2у = 1, х + у = 3х2у2теж є рівняннями із двома змінними, однак не є лінійними.

Лівою та правою частинами рівняння х2 - у = 2х є многочлени відповідно другого та першого степеня. Більший степінь дорівнює 2, тому кажуть, що х2 - у = 2х — це рівняння другого степеня із двома змінними.

Рівняння 2х - 5у = 1, х2у = 1 і х + у = 3х2у2 — це відповідно рівняння першого, третього і четвертого степенів.

Нагадаємо, що розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Так, рівняння х2+ у2 = 25 для х = 3, у = 4 перетворюється у правильну числову рівність 32 + 42 = 25. Тому пара значень змінних х = 3, у = 4 є розв’язком цього рівняння. Даний розв’язок записують ще й так: (3; 4). Розв’язками рівняння х2 + у2 = 25 є також пари (-3; 4), (4; 3), (0; 5), (-5; 0) тощо.

Якщо на координатній площині позначити всі точки, координати яких є розв’язками деякого рівняння із двома змінними, то одержимо графік цього рівняння.

Графіком лінійного рівняння ax + by = c, де а ≠ 0 або b ≠ 0, як ми знаємо, є пряма. З курсу геометрії відомо, що графіком рівняння (x - a)2+ (y - b)2= R2, де R > 0, є коло із центром у точці (a; b), радіус якого дорівнює R. Так, графіком рівняння х2 + у2 = 25 є коло із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 5 (рис. 72).

Рис. 72

Рівняння х2 - у = 0 та ху = 1 рівносильні рівнянням у = х2 та Тому їхніми графіками є відповідно парабола та гіпербола.

2. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь. У 7 класі ми розглядали різні способи розв’язування систем лінійних рівнянь: графічний спосіб, способи підстановки, додавання. Нехай потрібно розв’язати систему обидва рівняння якої є рівняннями другого степеня.

Будуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь системи (рис. 73). Графіком рівняння х2 + у2 = 25 є коло, а графіком рівняння у = 5 - х2 — парабола. Ці графіки мають 3 спільні точки: A(0; 5), B(-3; -4) і С(3; -4). Легко перевірити, що координати кожної з цих точок є розв’язком як першого, так і другого рівнянь системи. Отже, система рівнянь має 3 розв’язки: (0; 5), (-3; -4) і (3; -4).

Зауваження. Щоб переконатися, що, використовуючи Малюнок, ми правильно вказали спільну точку графіків рівнянь системи, потрібно перевірити, чи координати цієї точки справді є розв’язками кожного з її рівнянь.

Рис. 73

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно:

1) побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат;

2) знайти координати спільних точок цих графіків.

3. Розв’язування систем рівнянь. Якщо в системі рівнянь із двома змінними одне з рівнянь є рівнянням першого степеня, то таку систему можна розв’язати способом підстановки.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

• Виразимо з першого рівняння змінну у через змінну х:

-у = -3х + 2; у = 3х - 2.

Підставимо у друге рівняння замість у вираз 3х - 2 і розв’яжемо одержане рівняння з однією змінною х:

2 + (3х - 2)2 = 28; 3х2 + 9х2 - 12х + 4 - 28 = 0;

12х2 - 12х - 24 = 0; х2 - х - 2 = 0; х1 = -1; х2 = 2.

За формулою у = 3х - 2 знаходимо:

у1 = 3х - 2 = 3 ∙ (-1) - 2 = -5; у2 = 3х2 - 2 = 3 ∙ 2 - 2 = 4.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: х1 = -1, у1 = -5; х2 = 2, у2 = 4.

Відповідь. (-1; -5), (2; 4). •

Щоб розв’язати систему рівнянь способом підстановки, потрібно:

1) виразити з деякого рівняння системи одну змінну через іншу;

2) підставити одержаний вираз в інше рівняння замість відповідної змінної;

3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною;

4) знайти відповідне значення іншої змінної.

Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь

• Помножимо друге рівняння системи на 2 і додамо до першого рівняння, одержимо:

х2 + 2ху + у2 = 16.

Звідси: (х + у)2 = 16; х + у = 4 або х + у = -4.

Отже, можливі два випадки.

1) 4х - х2 - 3 = 0; х2 - 4х + 3 = 0; х1 = 1; х2 = 3. у1 = 4 - 1 = 3; у2 = 4 - 3 = 1.

(1; 3), (3; 1) — розв’язки системи.

2) -4х - х2 - 3 = 0; х2 + 4х + 3 = 0; х3 = -1; х4 = -3. у3 = -4 - (-1) = -3; у4 = -4 - (-3) = -1.

(-1; -3), (-3; -1) — розв’язки системи.

Відповідь. (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1). •

Зауваження. Систему рівнянь із прикладу 2 можна було б розв’язати способом підстановки, виразивши із другого рівняння змінну у через змінну х:

Для тих хто хоче знати більше

Розв’язуючи систему рівнянь виду

де а і b — деякі відомі числа, можна використовувати теорему, обернену до теореми Вієта. Так, розв’язуючи приклад 2, ми мали систему рівнянь

На основі згаданої теореми числа x та у є коренями квадратного рівняння r2 - 4t + 3 = 0. Розв’язавши рівняння, знайдемо: 6 = 1; t2 = 3. Тоді пари чисел (1; 3) і (3; 1) — розв’язки даної системи.

Для розв’язування ряду систем рівнянь зручно використовувати метод заміни змінних. Розглянемо приклад.

Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь

• Зробимо заміну: ху = u,

Одержимо систему лінійних рівнянь розв’язком якої є u = 4, v = 1. Повернувшись до заміни, матимемо:

Відповідь. (2; 2), (-2; -2). •

Розглянемо ще один приклад.

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь

• Перепишемо дану систему так:

Оскільки xy - x = 35, то із другого рівняння системи матимемо: у2 ∙ 35 = 560; у2 = 16; у1 = -4, у2 = 4. Підставимо ці значення у в перше рівняння системи:

Відповідь.

Приклади розв'язання вправ

Вправа 1. Побудувати графік рівняння

• Оскільки для допустимих значень х вираз набуває невід’ємних значень, то у ≥ 0. Тому дане рівняння рівносильне таким двом умовам: у ≥ 0 та у2 = 4 - х2, які можна записати так: х2 + у2 = 4, у ≥ 0. Отже, графіком рівняння є півколо із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 2, і яке розташоване у верхній півплощині (рис. 74). •

Вправа 2. Побудувати графік рівняння |2 x - y| = 2.

• Якщо модуль числа дорівнює 2, то цим числом є 2 або -2. Отже, 2х - у = 2 або 2х - у = -2. Тому графіком рівняння є дві прямі, задані рівняннями 2х - у = 2 і 2х - у = -2 (рис. 75). •

Рис. 74

Рис. 75

Вправа 3. Розв’язати систему рівнянь

• Додамо до першого рівняння системи друге рівняння, одержимо: х + 3у = 7, звідки х = 7 - 3у. Підставивши замість х вираз 7 - 3у в друге рівняння системи, матимемо:

Відповідь.

Усно

543. Чи є розв’язком рівняння х2 + у = 10 пара чисел:

а) х = 3; у = 1;

б) (-2; 6)?

544. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

а) х = -1; у = 4;

б) (1; 4)?

Рівень А

Побудуйте графік рівняння:

545.

а) 2х - 3у = 6;

б) х2 + у2 = 9;

в) 2х2 - у = 0.

546.

а) х - 2у = 2;

б) х2 + у2 = 4.

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

547.

548.

Розв’яжіть систему рівнянь:

550.

549.

Рівень Б

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

551.

552.

Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

553.

554.

Розв’яжіть систему рівнянь:

555.

556.

557.

558.

559.

560.

561.

562.

Рівень В

563. Побудуйте графік рівняння:

564. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

565. Розв’яжіть систему рівнянь:

566. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень а?

567. Знайдіть усі значення b, для яких система рівнянь

а) не має розв’язків;

б) має лише один розв’язок.

568. Знайдіть усі значення а, для яких система рівнянь має задану кількість розв’язків:

Вправи для повторення

569. Спростіть вираз:

570. Відомо, що 1,5 < m < 1,7. Оцініть значення виразу:

а) 2m - 4,8;

б) 4,5 - 2m.

571. Корені x1 та х2 рівняння x2 + px + 12 = 0 задовольняють умову x1 - x2 = 1. Знайдіть p, якщо p > 0.

572. За 3 год за течією річки і 2 год проти течії теплохід проходить 123 км, а за 2 год за течією і 1 год проти течії — 75 км. Знайдіть швидкість теплохода у стоячій воді і швидкість течії річки.

573. За 1 кг помідорів і 3 кг огірків господиня заплатила 25 грн. Тиждень тому, коли помідори були дешевшими на 10%, а огірки дорожчими на 20%, за 3 кг помідорів і 2 кг огірків вона заплатила 39 грн. Скільки гривень коштує 1 кг помідорів і скільки 1 кг огірків зараз?

574*.Басейн, до якого підведені дві труби, через першу трубу наповнюється водою на 5 год швидше, ніж через другу. Якщо спочатку відкрити другу трубу, а через 8 год відкрити й першу, то басейн буде наповнений за 18 год. Знайдіть місткість басейну, якщо за 5 год через першу трубу і за 4 год через другу трубу разом проходить 20 м води.

Поміркуйте

575. Із чисел 1, 2, 3, ..., 99, 100 вибрали 51 число. Чи обов’язково серед них знайдуться два числа, різниця яких дорівнює 1?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити