Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

15. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь

Ви вже розв’язували задачі за допомогою лінійних та квадратних рівнянь, систем лінійних рівнянь із двома змінними. Розглянемо задачі, математичними моделями яких є системи рівнянь, у яких хоча б одне з рівнянь не є лінійним.

Задача 1. Із двох пунктів, відстань між якими дорівнює 18 км, вийшли одночасно назустріч одна одній дві групи туристів і зустрілися через 2 год. Знайти швидкість руху кожної групи, якщо першій для проходження усього шляху між пунктами потрібно часу на 0,9 год більше, ніж другій.

• Нехай швидкість першої групи туристів дорівнює х км/год, а другої — у км/год. Групи зустрілися через 2 год, тому до зустрічі перша група пройшла 2х км, а друга — 2у км. Разом вони пройшли 18 км, тому 2х + 2у = 18.

Щоб пройти увесь шлях завдовжки 18 км, першій групі потрібно год, а другій — год. Оскільки першій групі на це потрібно часу на

0,9 год більше, ніж другій, то:

Маємо систему рівнянь:

За змістом задачі значення х та у повинні бути додатними: х > 0 й у > 0. За таких умов ху ≠ 0. Тому, помноживши обидві частини другого рівняння на ху, матимемо:

Розв’яжемо одержану систему рівнянь способом підстановки: У = 9 - х;

20(9 - х) -20х = х(9 -х); х2 - 49х +180 = 0; х1 = 4; х2 = 45.

Якщо х = 4, то у = 9 - 4 = 5.

Якщо х = 45, то у = 9 - 45 = -36 — не задовольняє нерівність у > 0. Відповідь. 4 км/год; 5 км/год. •

Задача 2. Сад і город мають прямокутні форми. Довжина саду на 30 м менша від довжини городу, проте його ширина на 10 м більша від ширини городу. Знайти розміри саду, якщо його площа дорівнює 900 м2, а площа городу — 1200 м2.

• За умовою задачі складаємо таблицю.

Довжина

Ширина

Площа

Сад

х м

у м

ху = 900

Город

(х + 30) м

(у - 10) м

(х + 30)(у - 10) = 1200

Маємо систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему:

Значення у1 не задовольняє умову задачі (ширина саду не може виражатися від’ємним числом). Тому: у = 30; x = 3у - 60 = 3 ∙ 30 - 60 = 30.

Відповідь. 30 м; 30 м. •

Задача 3. Два робітники мають викласти доріжку. Після того як перший робітник пропрацював 1 день сам, а потім 2 дні разом із другим, виявилось, що вони виклали усієї доріжки. За скільки днів може викласти доріжку кожний робітник, працюючи окремо, якщо, працюючи разом, вони можуть її викласти за 4 дні?

• Нехай перший робітник може викласти доріжку за x днів, а другий — за у днів. Тоді за 1 день перший робітник викладає частину доріжки, другий — частину, а разом — частину. Тому

Коли перший робітник пропрацював 3 дні, а другий — 2 дні, то вони виклали усієї доріжки, тому

Маємо систему рівнянь:

Розв’язавши систему, знаходимо: х = 6, у = 12.

Отже, перший робітник може викласти доріжку за 6 днів, а другий — за 12 днів.

Відповідь. 6 днів; 12 днів. •

Задача 4. Двоцифрове число в 4 рази більше від суми його цифр і на 16 більше від добутку цифр. Знайти це число.

• Нехай шукане число має х десятків та у одиниць. Тоді воно дорівнює 10х + у. Це число: в 4 рази більше від суми його цифр, тому 10х + у = 4(х + у); на 16 більше від добутку цифр, тому (10х + у) - ху = 16.

Маємо систему рівнянь:

Розв’язавши систему, знаходимо: х1 = 2, у1 = 4; х2 = 4, у2 = 8. Отже, шуканим числом є 24 або 48.

Відповідь. 24 або 48. •

Рівень А

576. Периметр ділянки прямокутної форми дорівнює 30 м, а площа — 56 м2. Знайдіть довжину та ширину ділянки.

577. Знайдіть розміри майданчика прямокутної форми, якщо його довжина на 2 м менша від подвоєної ширини, а площа дорівнює 180 м2.

578. Добуток двох чисел дорівнює 64. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 12 більше від іншого.

579. Сума двох чисел дорівнює 11, а їх добуток — 28. Знайдіть ці числа.

580. Сума двох чисел дорівнює 2, а різниця їх квадратів — 16. Знайдіть ці числа.

581. Різниця двох чисел дорівнює 10, а сума їх квадратів — 82. Знайдіть ці числа.

582. Сума двох натуральних чисел дорівнює 20, а потроєний добуток дорівнює квадрату більшого із цих чисел. Знайдіть ці числа.

583. Різниця двох натуральних чисел дорівнює 8, а їх добуток утричі більший від суми. Знайдіть ці числа.

584. Двоцифрове число більше від подвоєної суми його цифр на 8, а від добутку цифр — на 12. Знайдіть це число.

585. Знайдіть двоцифрове число, яке в 7 разів більше від суми його цифр і на 34 більше від добутку цифр.

586. Знайдіть сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 28 дм, а діагональ — 10 дм.

587. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см. Знайдіть катети цього трикутника, якщо їх сума дорівнює 17 см.

588. Периметр прямокутника дорівнює 26 см, а сума площ квадратів, побудованих на двох його суміжних сторонах, дорівнює 89 см2. Знайдіть сторони прямокутника.

Рівень Б

589. З міста А в місто В, відстань між якими дорівнює 210 км, одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість одного з них на 10 км/год більша від швидкості іншого, завдяки чому він приїхав у місто В на 30 хв швидше. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

590. З бази відпочинку одночасно у протилежних напрямах вирушили дві групи туристів. Через 3 год відстань між ними дорівнювала 21 км. Знайдіть швидкість кожної групи, коли відомо, що шлях завдовжки 6 км одна з них проходить на 30 хв швидше від іншої.

591. Відстань між містами А та В дорівнює 480 км. З цих міст одночасно назустріч один одному вийшли два поїзди. Через 3 год руху їм до зустрічі залишалося пройти ще 60 км. Знайдіть швидкість кожного поїзда, якщо шлях між містами А та В один з них проходить на 2 год швидше, ніж інший.

592. Два велосипедисти виїхали одночасно з пунктів A і B назустріч один одному. Через годину вони зустрілися і, не зупиняючись, продовжили рухатися з попередніми швидкостями. Один з них прибув у пункт A на 27 хв раніше, ніж інший — у пункт B. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста, якщо відстань між пунктами дорівнює 36 км.

593. З міста A в місто B, відстань між якими дорівнює 120 км, виїхав мотоцикліст, а через 40 хв назустріч йому з міста B — автомобіль. Мотоцикліст у місто B й автомобіль у місто A прибули одночасно. Знайдіть швидкості мотоцикліста та автомобіля, якщо мотоцикліст за 3 год проїжджає на 90 км більше, ніж автомобіль за 1 год і швидкість автомобіля не перевищує 120 км/год.

594. Два екскаватори, працюючи разом, вирили котлован за 7 год 30 хв. За який час може вирити котлован кожен екскаватор, працюючи окремо, якщо одному з них потрібно на це часу на 8 год більше, ніж іншому?

595. Два трактори, працюючи разом, зорали поле за 2 дні. За скільки днів може зорати все поле кожен трактор, працюючи окремо, якщо один з них може зробити це на 3 дні швидше, ніж інший?

596. Резервуар, місткість якого дорівнює 25 м3, можна наповнити водою через два крани за 2 год. Якщо перші 10 м3 води пропустити через перший кран, а решту — через другий, то резервуар буде наповнено за 4 год. Який об’єм води проходить через кожний кран за 1 год?

597. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати замовлення за 10 год. Якщо спочатку перший робітник виконає половину замовлення, а потім другий — решту, то замовлення буде виконано за 22 год 30 хв. За який час кожний робітник, працюючи окремо, може виконати все замовлення?

598. Батько і син можуть пофарбувати паркан, працюючи разом, за 4 год. За скільки годин може пофарбувати паркан кожний з них, працюючи

окремо, якщо батькові для того, щоб пофарбувати паркану, потрібно часу на 1 год більше, ніж синові, щоб пофарбувати паркану?

599. Кожний із двох принтерів друкує текстовий файл, обсяг якого дорівнює 180 сторінок. Перший принтер надрукував 6 сторінок за той самий час, за який другий надрукував 5 сторінок. Скільки сторінок друкує кожний принтер за хвилину, якщо перший закінчив друк на 1,5 хв швидше від другого?

600. З першої ділянки зібрали 12 т полуниці, а з другої — 10 т. Знайдіть площу кожної ділянки, коли відомо, що загальна площа обох ділянок дорівнює 2 га і врожайність полуниці на першій ділянці на 2,5 т з гектара менша, ніж на другій.

601. Двоцифрове число більше від добутку його цифр на 16. Знайдіть це число, якщо воно на 18 менше від числа, записаного тими самими цифрами, але у зворотному порядку.

602. Знайдіть двоцифрове число, яке задовольняє такі умови: якщо число зменшити на 18, то одержимо добуток його цифр; якщо число збільшити на 27, то одержимо число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку.

603. Площа прямокутника дорівнює 108 дм2, а діагональ — 15 дм. Знайдіть сторони цього прямокутника.

604. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а площа — 24 см2. Знайдіть катети цього трикутника.

605. Шлях від Києва до Харкова легковий автомобіль подолав на 2 год швидше, ніж вантажний, бо його швидкість була на 20 км/год більшою, ніж швидкість вантажівки. Знайдіть швидкість вантажівки, якщо відомо, що довжина траси, якою їхали автомобілі, дорівнює 480 км.

606. Кілька учнів поділили порівну між собою 90 яблук. Якби учнів було на 3 менше, то кожний з них одержав би на 1 яблуко більше. Скільки було учнів?

Рівень В

607. Басейн можна наповнювати водою за допомогою двох насосів. Якщо перший насос увімкнути на 5 год, а потім другий — на 7 год, то буде наповнено І басейну. Після цього, щоб наповнити басейн, потрібно ще 5 год спільної роботи обох насосів. За скільки годин може наповнити басейн кожний насос, працюючи окремо?

608. Двом працівникам доручили виготовити партію однакових деталей. Після того як перший пропрацював 7 год, а другий — 4 год, виявилось, що вони виготовили усіх деталей. Пропрацювавши разом ще 4 год, вони встановили, що їм залишилося виготовити усіх деталей. За скільки годин перший робітник, працюючи окремо, може виготовити партію деталей?

609. Катер за 42 хв пройшов 5 км озером і 11 км річкою, що впадає в це озеро. Знайдіть швидкість катера у стоячій воді, якщо він за 2 год проходить за течією річки на 10 км менше, ніж за 3 год проти течії.

610. Відстань між пристанями A і B, що розташовані на річці, дорівнює 33 км. Моторний човен шлях від A до B і назад проходить за 3 год 20 хв. Знайдіть швидкість течії річки, коли відомо, що 20 км, з яких 11 км — за течією річки і 9 км — проти течії, човен проходить за 1 год.

611. Кілька самоскидів перевезли щебінь, виділений для будівництва дороги, за 14 днів. Усі самоскиди виконували щодня однакову кількість рейсів, перевозячи за кожен по 5 т щебеню. Якби самоскидів було на 4 більше і кожний робив щодня на 1 рейс більше, то щебінь було б перевезено за 10 днів. Якби ж самоскидів було на 10 більше і кожний робив щодня на 2 рейси більше, то щебінь було б перевезено за 7 днів. Скільки було самоскидів, скільки рейсів виконував кожен з них за один день і скільки тонн щебеню було перевезено?

612. Із двох пунктів A і B, відстань між якими дорівнює 24 км, одночасно виїхали два автомобілі назустріч один одному. Після зустрічі автомобіль, що виїхав з пункту A, прибув у пункт B через 16 хв, а другий автомобіль — у пункт A через 4 хв. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

Вправи для повторення

613. Обчисліть:

614. Розкладіть на множники:

615. Доведіть, що значення виразу дорівнює 4 для всіх допустимих значень а і b.

616. Розв’яжіть рівняння:

617. Доведіть нерівність:

618. У класі кількість дівчат відноситься до кількості хлопців як 6 : 5. Чи може кількість учнів цього класу дорівнювати 28?

Поміркуйте

619. В оранжереї виростили певну кількість тюльпанів. Якщо з них скласти букети по 3 тюльпани в кожному, по 5 у кожному або по 7 у кожному, то залишиться один тюльпан. Якщо ж скласти букети по 11 тюльпанів у кожному, то зайвих тюльпанів не буде. Яку найменшу кількість тюльпанів могли виростити в оранжереї?

Цікаво знати

Парабола має низку цікавих властивостей. Уявімо собі, що парабола може відбивати світлові промені. Якщо на параболу падатиме пучок променів паралельно її осі симетрії, то після відбивання вони пройдуть через одну точку, яку називають фокусом параболи (на рисунку 76 — це точка F). Навпаки, якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то промені, відбившись від параболи, підуть паралельно її осі симетрії.

Рис. 76

Рис. 77

На цій властивості параболи ґрунтується будова параболічних дзеркал (рис. 77). Поверхня такого дзеркала утворюється внаслідок обертання параболи навколо своєї осі. Параболічні дзеркала використовують для створення прожекторів, автомобільних фар тощо.

За певних умов камінь, кинутий під кутом до горизонту, рухається «по параболі». Те ж саме можна сказати і про гарматний снаряд.

Запитання і вправи для повторення § 2

1. Що називають функцією? Які є способи задания функції?

2. Що називають областю визначення і областю значень функції?

3. Що називають графіком функції?

4. Що називають нулями функції? Знайдіть нулі функції у = х2 - 4.

5. Яку функцію називають зростаючою на проміжку; спадною на проміжку? Яку функцію називають зростаючою; спадною? Наведіть приклади.

6. Як, використовуючи графік функції у = х2, побудувати графіки функцій: у = х2 + 3; у = (х - 1)2; у = (х - 1)2 + 3; у = -х2?

7. Які властивості має функція у = ах2?

8. Яку функцію називають квадратичною? Що є графіком квадратичної функції? Як його побудувати?

9. Як розв’язують квадратні нерівності? Поясніть це на прикладі нерівності х2 + 2х - 3 < 0.

10. Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом?

11. Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом підстановки?

620. На рисунку 78 зображено графік функції у = f(x).

а) Укажіть область визначення функції.

б) Знайдіть: f(0); f(3).

в) Продовжте речення. Точка М(2; 4) належить графіку функції, тому f(2) = ... .

г) Укажіть найменше та найбільше значення функції, а також її область значень.

д) Укажіть проміжки, на яких функція зростає; спадає.

Рис. 78

621. Функцію задано формулою f(x) = 2х2 - 2.

а) Знайдіть: f(-2); f(0); f(2).

б) Знайдіть значення аргументу, яким відповідає значення функції: -2; 6.

622. Знайдіть область визначення функції:

623. Знайдіть нулі функції:

624. Чи належить число 12 області значень функції:

а)у = -х + 3;

б)у = -х2 + 10;

в)у = х2 - 12x + 44?

625. Побудуйте графік функції у = х2 - 4, де -2 ≤ х ≤ 3. Користуючись графіком, знайдіть:

а) область значень функції;

б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень; додатних значень;

в) проміжки, на яких функція зростає; спадає.

626. Побудуйте графік функції:

а) у = 2х - 1;

б) у = 3х2;

в) у = -2х2.

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

627.

628.

629.

Побудуйте графік функції:

630.

631.

а)у = х2 - 6х + 5;

б)у = 3х2 + 9х + 6;

в)у = -2х2 + 2х - 1.

632. Графік функції у = ах2 проходить через точку A(-2; -2). Знайдіть а та побудуйте графік функції. Чи проходить цей графік через точку B(4; -8)?

633. Графік функції проходить через точку M(1; 2). Знайдіть k та побудуйте графік функції. Чи проходить цей графік через точку N(4; 1)?

634. Побудуйте графік функції у = х2 - 4х + 3. Користуючись графіком, знайдіть:

а) область значень функції;

б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

в) проміжок, на якому функція спадає.

635. Побудуйте графік функції у = -х2 - 2х + 3. Користуючись графіко* знайдіть:

а) область значень функції;

б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

в) проміжок, на якому функція зростає; спадає.

Побудуйте графік функції:

636.

637.

638. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) у = 3х2 - 3х + 1 та у = -х + 2;

б) у = х2 - 2х - 5 та у = -х2 + 4х + 3.

639. За допомогою графіків функцій установіть, чи має корені рівняння:

640. Розв’яжіть графічно рівняння:

641*.Укажіть кількість коренів рівняння залежно від значень параметра а.

Розв’яжіть нерівність:

642.

643.

644.

645*.

646. Знайдіть усі значення аргументу, для яких функція у = 2х2 - 11х + 5 набуває додатних значень; від’ємних значень.

647. Знайдіть усі значення параметра а, для кожного з яких рівняння х2 + 4ах + 8а + 12 = 0:

а) не має коренів;

б) має два різні корені.

648*.Знайдіть усі значення параметра, для кожного з яких нерівність виконується для будь-якого значення х:

а) х2 + 2х + а > 0;

б) mх2 + (m - 1)х + m - 1 < 0.

649*.Знайдіть усі значення а, для кожного з яких сума квадратів коренів рівняння х2 - ах + а - 1 = 0 є найменшою.

650. Розв’яжіть систему нерівностей:

651. Побудуйте графік рівняння:

а) у + х2 - 4 = 0;

б) х2 + (у + 2)2 = 4.

652. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

Розв’яжіть систему рівнянь:

653.

654*

655*.Знайдіть усі значення m, для яких рівняння 2х2 - (3m + 2)х + 12 = 0 і 4х2 - (9m - 2)х + 36 = 0 мають спільний корінь.

656*. Знайдіть усі значення параметра а, для кожного з яких система рівнянь має лише один розв’язок.

657. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а площа на 12 см2 більша від площі квадрата, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника. Знайдіть сторони прямокутника.

658. Добуток двох додатних чисел у 16 разів більший від їх суми. Знайдіть ці числа, якщо перше число на 20 більше від потроєного другого числа.

659. Двоцифрове число більше від подвоєного добутку його цифр на 5, а від подвоєної суми цифр — на 3. Знайдіть це число.

660. У залі було 160 місць, розміщених однаковими рядами. Після того як число місць у кожному ряду збільшили на 2 і додали ще один ряд, стало 210 місць. Скільки рядів стало в залі, якщо їх кількість більша від кількості місць в одному ряду?

661. З пунктів A та B, відстань між якими дорівнює 150 км, назустріч один одному виїхали одночасно мотоцикліст і велосипедист. Через дві години вони зустрілися і, не зупиняючись, продовжили рух. Мотоцикліст прибув у пункт B на три години раніше, ніж велосипедист у пункт A. Знайдіть швидкість велосипедиста.

662*. Із двох міст одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі й зустрілися через 2 год. За який час подолає шлях між містами кожний автомобіль, якщо перший автомобіль за 1,5 год і другий за 1 год загалом долають цього шляху?

663*.Майстер і учень, працюючи разом, виконують завдання на 1 год швидше, ніж майстер, працюючи сам, але на 0,5 год довше, ніж майстер і два учні. За який час виконає дане завдання один учень, працюючи сам?

Завдання для самоперевірки № 3

Початковий рівень

1. Укажіть координати вершини параболи у = х2 - 4х + 6.

а) (-4; 6);

б) (4; 6);

в) (2; 2);

г) (-2; 18).

2. Яке з даних чисел є розв’язком нерівності х2 - 5 < 0?

а) 3;

б) 2,5;

в) -3;

г) -2.

3. Використовуючи схематичне зображення параболи у = -х2 + 2х на рисунку 79, укажіть множину розв’язків нерівності -х2 + 2х > 0.

Рис. 79

4. Яка з даних пар чисел є розв’язком системи рівнянь

а) (3; 1);

б) (3; -1);

в) (-3; 1);

г) (-3; -1).

5. Розв’яжіть систему рівнянь та вкажіть правильну відповідь.

а) (0; 0); (1; 1);

б) (0; 0); (-1; -1);

в) (0; 0); (-1; 1);

г) (0; 0); (1; -1).

6. Довжина ділянки прямокутної форми на 20 м більша від ширини, а площа дорівнює 125 м2. Знайдіть довжину та ширину ділянки.

Нехай довжина ділянки дорівнює х м, а ширина — у м. Яка система рівнянь відповідає умові задачі?

Середній рівень

7. Установіть відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д).

8. Побудуйте графік функції у = x2 - 2х. Користуючись графіком, знайдіть проміжок, на якому функція зростає; спадає.

9. Розв’яжіть нерівність -х2 ≤ 3х.

10. Розв’яжіть систему рівнянь

11. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 12, а добуток — 35.

Достатній рівень

12. Побудуйте графік функції у = -2x2 + 4x + 6. Користуючись графіком, знайдіть: а) область значень функції; б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень; в) проміжок, на якому функція спадає.

13. Знайдіть область визначення функції

14. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

15. Розв’яжіть систему рівнянь

16. Майстер і учень, працюючи разом, виготовили партію однакових деталей за 12 год. Якби майстер виготовив половину всіх деталей, а після нього учень — решту деталей, то на це витратили б 25 год. За який час може виготовити всі деталі майстер, працюючи сам, якщо відомо, що він це може зробити швидше, ніж учень?

Високий рівень

17. Знайдіть область визначення функції

18. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х2 - (а - 2)х - 3a + 6 = 0 не має коренів.

19. Розв’яжіть систему рівнянь

20. Скільки розв’язків має система рівнянь якщо а = 0; а = 5?

21. З пункту A в пункт B виїхав мотоцикліст і рухався зі швидкістю 40 км/год. У той же час назустріч йому з пункту B виїхав велосипедист і, проїхавши 4 км, зустрів мотоцикліста. Коли мотоцикліст прибув у пункт B, велосипедист перебував на відстані 15 км від пункту A. Знайдіть відстань між пунктами та швидкість велосипедиста.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити