Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

17. Арифметична прогресія та її властивості

1. Поняття арифметичної прогресії. Розглянемо послідовності:

1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; …;

0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; …;

10; 8; 6; 4; 2; 0; -2; -4; -6 … .

Простежте: кожний член першої послідовності, починаючи із другого, можна одержати, якщо до попереднього члена додати число 3. Друга і третя послідовності мають таку саму особливість: кожний наступний член послідовності, починаючи із другого, дорівнює попередньому, до якого додають одне й те саме число: у другій послідовності — число 0,5, у третій — число -2. Кожна з розглянутих послідовностей є прикладом арифметичної прогресії.

Означення

Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число.

Це число називають різницею арифметичної прогресії та позначають буквою d (d — початкова буква латинського слова «differentia» — різниця).

Отже, якщо маємо арифметичну прогресію a1; a2; a3; …, то a2 = a1 + d; a3 = a2 + d; тобто для будь-якого натурального n виконується рівність

an+1 an + d.

З означення арифметичної прогресії випливає, що різниця між будь- яким її членом, починаючи із другого, і попереднім членом дорівнює одному й тому самому числу — різниці d, тобто a2 - a1 = d, a3 - a2 = d, … . Отже,

an + 1 - an = d.

Правильно і навпаки: якщо в деякій числовій послідовності різниця між будь-яким її членом, починаючи із другого, і попереднім членом дорівнює

одному й тому самому числу, то така послідовність є арифметичною прогресією.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член і різницю. Тоді кожний наступний член можна обчислити через попередній за рекурентною формулою

an + 1an + d.

У таблиці наведено приклади арифметичних прогресій для деяких значень a1 і d.

a1

d

Арифметична прогресія

1

2

1; 3; 5; 7; 9; …

0

-2

0; -2; -4; -6; -8; …

5

0

5; 5; 5; 5; 5; …

1,1

-0,5

1,1; 0,6; 0,1; -0,4; -0,9.

Перші три з наведених арифметичних прогресій є нескінченними, четверта — скінченною.

2. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Знайдемо кілька перших членів арифметичної прогресії, у якій а1 = 4, d = 3.

Одержимо:

a2= a1+ d = 4 + 3 = 7;

a3= a2 + d = 7 + 3 = 10.

Далі можна знайти a4, a5 і т. д.

Щоб знайти член цієї прогресії з великим порядковим номером, наприклад, a50 , потрібно виконати багато обчислень. Тому відшукання членів арифметичної прогресії за формулою an + 1 = an + d часто буває незручним.

Знайдемо інший шлях знаходження n-го члена арифметичної прогресії (an).

За означенням арифметичної прогресії маємо:

a2= a1+ d;

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d.

Зауважуємо, що в цих формулах коефіцієнт біля d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії, який шукаємо. Так, a5 = a1 + 4d, a20 = a1 + 19d. Отже, можемо записати:

an = a + (n - 1)d.

Одержану формулу називають формулою n-го члена арифметичної прогресії.

3. Властивості арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії 1; 3; 5; 7; 9; … кожний член, починаючи із другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів:

Таку властивість має будь-яка арифметична прогресія.

Властивість 1

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи із другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів.

Доведення. Нехай маємо арифметичну прогресію (аn) з різницею d. Тоді для натуральних значень n > 1 виконуються рівності: an - an-1 = d, an+1 - an = d.

Звідси: an - an-1 = an+1- an; 2an = an-1 + an+1;

Із властивістю 1 арифметичної прогресії і пов’язана її назва.

Розглянемо скінченну арифметичну прогресію (xn), яка має 7 членів: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Знайдемо суму крайніх членів прогресії і суми членів, рівновіддалених від крайніх:

x1 + x7 = 3 + 15 = 18;

x2 + x6 = 5 + 13 = 18;

x3 + x5 = 7 + 11 = 18;

x4 + x4 = 9 + 9 = 18.

Сума будь-яких двох членів арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів. Таку властивість має будь-яка скінченна арифметична прогресія.

Властивість 2

Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів прогресії.

Доведення властивості 2 подано в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше».

Для тих, хто хоче знати більше

Доведемо властивість 2. Нехай маємо скінченну арифметичну прогресію a1, a2; a3; …; an-2; an-1 an з різницею d. Зауважимо, що сума індексів двох членів прогресії, які рівновіддалені від крайніх членів, дорівнює n + 1. Нехай ak + 1 та an - k — два довільні члени даної прогресії, рівновіддалені від крайніх членів. Оскільки

ak+1 = a1+ kd, an - k = a1 + (n - k - 1)d = (a1 + (n - 1)d) - kd = an - kd,

то

ak + 1 + an - k = a1 + kd + an - kd = a1 + an. •

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти дев’ятий член арифметичної прогресії (an): 5; 4,2; 3,4; … .

• Маємо: a1 = 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 - 5 = -0,8. Тоді a9 = a1 + 8d = 5 + 8 ∙ (-0,8) = -1,4.

Відповідь. -1,4. •

Вправа 2. Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), у якій d = -2, a = 93.

• Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії для n = 8:

а8 = a1+ 7d; 93 = a1+ 7- (-2); a1 = 93 + 14 = 107.

Відповідь. 107. •

Вправа 3. Чи є число 181 членом арифметичної прогресії (а„), у якій a1 = 3, d = 4?

• Число 181 буде членом даної прогресії, якщо існує таке натуральне число n — порядковий номер члена прогресії, що а„ = 181. Оскільки an = a1 + (n - 1)d, то 181 = 3 + (n - 1) ∙ 4. Розв’яжемо одержане рівняння:

181 = 3 + 4n - 4; 182 = 4n; n = 45,5.

Число 45,5 не є натуральним, тому число 181 не є членом даної арифметичної прогресії.

Відповідь. Ні. •

Вправа 4. Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії (аn), якщо сума другого і п’ятого її членів дорівнює 20, а різниця дев’ятого і третього членів дорівнює 18.

• За умовою маємо: a2 + а5 = 20, a9 - а3 = 18. Записавши члени a2, a5, a9 і а3 за формулою n-го члена арифметичної прогресії, одержимо систему рівнянь:

Відповідь. 2,5; 3. •

Вправа 5. Між числами 7 і 15 вставити таке число, щоб усі три числа утворили арифметичну прогресію.

• Нехай х — шукане число, тоді послідовність 7; х; 15 — арифметична прогресія. Другий член арифметичної прогресії є середнім арифметичним першого й третього членів:

Відповідь. 7; 11; 15. •

Усно

709. Чи є арифметичною прогресією послідовність:

а) 3; 5; 7; 9;

б) 3; 10; 17; 23;

в) 1; 2; 3; 4; 5; … — послідовність натуральних чисел;

г) 2; 4; 6; 8; 10; … — послідовність парних натуральних чисел;

д) 1; 4; 9; 16; 25; … — послідовність квадратів натуральних чисел;

е) -1; -2; -3; -4; -5; … — послідовність від’ємних цілих чисел?

710. Укажіть перший член і різницю арифметичної прогресії:

а) 2; 7; 12; …;

б) 0,7; 1; 1,3; …;

в) 6; 4; 2; …;

г) -9; -7; -5; … .

711. Знайдіть чотири перші члени арифметичної прогресії (an), у якій:

а) a1 = 5; d = 2;

б) a1 = 7; d = -2.

712. Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії:

а) 7; 11; 15; …;

б) 13; 10; 7; … .

Рівень А

713. Запишіть у порядку зростання натуральні числа, кратні 6. Чи є послідовність цих чисел арифметичною прогресією?

Знайдіть чотири перші члени арифметичної прогресії (an), якщо:

714.

а) а1= 6; d = 4;

б) a1 = 6; d = -4.

715.

а) а1 = 10; d = 5;

б) а1 = 10; d = -5.

Знайдіть різницю і третій член арифметичної прогресії (an), якщо:

716.

а) а1 = 5; а2 = 8;

б) а1 = -2; а2 = -5;

в) а1 = 0,7; а2 = 0,7;

г) а1 = -1,5; а2 = 1.

717.

а) а1 = 1; а2 = 9;

б) а1 = 3; а2 = -2.

Знайдіть різницю та четвертий член арифметичної прогресії:

718.

а) 1,4; 1,7; 2; …;

б) -30; -28; -26; … .

719.

а) 10,5; 13; 15,5; …;

б) 6; 2; -2; … .

Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть:

720. а) а9, якщо а1 = 11; d = 5;

б) а11, якщо а1 = -3; d = -4.

721. а) а7, якщо а1 = 4; d = 6;

б) а15, якщо а1 = 9; d = -2.

722. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії (аn) та знайдіть а21, якщо:

а) (аn): 1; 1,3; 1,6; …;

б) (аn): 3; 1; -1; … .

723. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії (аn) та знайдіть а16, якщо:

а) (аn): 0,8; 1; 1,2; …;

б) (аn): -6; -10; -14; … .

Знайдіть перший член арифметичної прогресії (аn), якщо:

724.

а) d = 5; а6 = 51;

б) d = 0,2; а11 = -2.

725.

а) d = 2; а9 = 24;

б) d = 0,5; а15 = -1.

Знайдіть порядковий номер члена ап арифметичної прогресії, якщо:

726.

а) а1 = 3; d = -5; аn = -37;

б) а1 = -7; d = 2; аn = 81.

727.

а) а1 = 1; d = 7; аn = 71;

б) а1 = -20; d = 3; аn = -2.

728. Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть:

а) а3, якщо а2 = 10; а4 = 2;

б) а8, якщо а7 = -1,2; а9 = 2.

729. Знайдіть другий член арифметичної прогресії:

а) 2; а2; 12; …;

б) -0,5; а2; -1,3; … .

Рівень Б

Чи є арифметичною прогресією послідовність:

730.

731.

732. Чи є членом арифметичної прогресії -2; -5; -8; … число -84; число -152?

733. Чи є число 130 членом арифметичної прогресії:

а) 4; 7; 10; …;

б) 23; 34; 45; …?

734. Щоб вийти на перший поверх дев’ятиповерхового будинку, потрібно пройти 6 східців, а щоб вийти на кожний наступний поверх — на 18 східців більше, ніж на попередній. Скільки потрібно пройти східців, щоб вийти на п’ятий поверх будинку; на останній поверх?

735. Протягом семи днів перед математичною олімпіадою учень розв’язував задачі. У перший день він розв’язав 7 задач, а кожного наступного дня — на 2 задачі більше, ніж попереднього. Скільки задач розв’язав учень сьомого дня?

736. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо її четвертий і дев’ятий члени відповідно дорівнюють 16 і 41.

737. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо її четвертий і сімнадцятий члени відповідно дорівнюють 9 і -17.

Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть:

738.

а) а1 і d, якщо а6 = 1; а11 = 0;

б) а15, якщо а7 = 33; а3 + а9 = 56;

в) а7, якщо а5 = 4; а12 - а4 = 16;

г) а3, якщо а2 + а6 = 2; а5 + а10 = -19.

739.

а) а1 і d, якщо а5 = 5; а15 = 10;

б) а6, якщо а3 = 1; а5 - а9 = 12;

в) а4, якщо а10 = 10; а1 + а8 = -2;

г) а1, якщо а2 + а8 = 10; а3 + а14 = 31.

740. Третій член арифметичної прогресії дорівнює 9, а шістнадцятий член на 36 більший від восьмого. Знайдіть суму четвертого і шостого членів прогресії.

741. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 0,5, а сума п’ятого і дев’ятого членів — 25. Знайдіть різницю п’ятого і восьмого членів прогресії.

742. Між числами -5 і -11 вставте таке число, щоб усі три числа утворили арифметичну прогресію.

743. Для яких значень m трьома послідовними членами арифметичної прогресії є числа:

а) 2, 2m - 30 і m - 8;

б) 3, 2m і m2?

744. Для яких значень х числа 8, х + 6 і 4х - 6 є трьома послідовними членами арифметичної прогресії?

745. На вал насаджено п’ять шківів, числові значення діаметрів яких утворюють арифметичну прогресію. Діаметр найменшого шківа дорівнює 34 см, а найбільшого — 46 см. Знайдіть діаметри решти трьох шківів.

746. Між числами 2 і -6 вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами утворили арифметичну прогресію.

747. Перший і четвертий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 3,8 і 7,5. Знайдіть суму чотирьох перших членів цієї прогресії.

748. Олег, Петро, Сергій та Андрій ловили рибу. Кількості рибин, які вони зловили, утворюють арифметичну прогресію. Найменше рибин — 9 — зловив Петро, а найбільше — 18 — Олег. Скільки рибин зловили Сергій та Андрій разом? Скільки всього рибин зловили хлопці?

Рівень В

749. Скільки додатних членів має арифметична прогресія 28; 27,7; …?

750. Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії 72; 70,5; … .

751. Знайдіть перший додатний член арифметичної прогресії -90; -85,6; … .

752. Числа, які визначають градусні міри кутів трикутника, утворюють арифметичну прогресію.

Знайдіть середній за величиною кут трикутника.

753. П’ятий член арифметичної прогресії дорівнює 2,5. Знайдіть суму дев’яти перших членів цієї прогресії.

754. Між числами 8 і 63 вставте чотири числа так, щоб вони разом з даними числами утворили арифметичну прогресію.

755. Послідовності (хn) та (уn) — арифметичні прогресії. Доведіть, що послідовність х1 + у1; х2 + у2; … також є арифметичною прогресією.

756. Додатні числа a, b, ab є послідовними членами арифметичної прогресії.

Доведіть, що тоді й числа 1, теж є послідовними членами арифметичної прогресії.

Вправи для повторення

757. Порівняйте значення виразів:

758. Розв’яжіть рівняння:

759. Чи належить число -2 області значень функції у = x2 + 5х + 4?

760. Розв’яжіть нерівність:

а) 3n2 - 10n + 7 > 0;

б) (21 - х)(2х + 3) > 0.

761. Доведіть, що значення виразу є цілим числом, якщо (х; у) — розв’язок системи рівнянь

762. У саду господаря ростуть 36 дерев: яблуні, груші та сливи. Кількість груш удвічі більша від кількості слив і утричі менша від кількості яблунь. а) Скільки відсотків становить кількість слив від кількості інших дерев у саду? б) Скільки груш росте в саду?

Поміркуйте

763. У кожній вершині куба записано число 1 або -1, а на кожній грані — добуток чисел, які стоять у вершинах цієї грані. Чи може добуток усіх 14 записаних чисел дорівнювати -1?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити