Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

19. Геометрична прогресія та її властивості

1. Поняття геометричної прогресії. Розглянемо послідовності:

Кожний член першої послідовності, починаючи із другого, можна одержати, якщо попередній член помножити на 2. Друга і третя послідовності мають таку саму особливість: кожний наступний член послідовності, починаючи із другого, дорівнює попередньому помноженому на одне і те ж саме число: у другій послідовності — на число -2, у третій — на число .

Кожна з розглянутих послідовностей є прикладом геометричної прогресії.

Означення

Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.

Це число називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою q (початкова буква французького слова «qwoti» — частка). Знаменник геометричної прогресії може дорівнювати будь-якому числу, крім 0.

Отже, якщо маємо геометричну прогресію b1, b2; b3; ..., то b2 = b1 ∙ q; b3 = b2 ∙ q,..., тобто для будь-якого натурального n виконується рівність bn+1 = bn ∙ q.

З означення геометричної прогресії випливає, що частка від ділення будь- якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому самому числу — знаменнику q, тобто:

... . Отже,

Правильно й навпаки: якщо у деякій послідовності частка від ділення будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому самому числу, то така послідовність є геометричною прогресією.

Геометричні прогресії, як і арифметичні, можуть бути скінченними і нескінченними.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член і знаменник. Тоді кожний наступний член через попередній можна обчислити за рекурентною формулою

bn+1 = bn ∙ q.

У таблиці наведено приклади геометричних прогресій для деяких значень b1 і q.

2. Формула n-го члена геометричної прогресії. Знайдемо кілька перших членів геометричної прогресії, у якій b1 = 5, q = 2:

b2 = 5 ∙ 2 = 10;

b3 = 10 ∙ 2 = 20;

b4 = 20 ∙ 2 = 40.

Далі можна знайти b5, b6 і т. д.

Щоб знайти член цієї прогресії з великим порядковим номером, наприклад, b50, потрібно виконати багато обчислень. Тому відшукання членів геометричної прогресії за формулою bn+1 = bn ∙ q часто є незручним.

Знайдемо зручніший спосіб відшукання n-го члена геометричної прогресії (bn) зі знаменником q.

За означенням геометричної прогресії маємо:

b2 =b1q;

b3 = b2q = b1q ∙ q = b1q2;

b = b2q = bq2 ∙ q = bq3.

Зауважуємо, що в цих формулах показник степеня числа q на одиницю менший від порядкового номера члена прогресії, який шукаємо. Отже, можемо записати:

Одержану формулу називають формулою n-го члена геометричної прогресії.

3. Властивості геометричної прогресії. У геометричній прогресії 1; 3; 9; 27; 81; ... квадрат кожного члена, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів:

32 = 1 ∙ 9; 92 = 3 ∙ 27; 272 = 9 ∙ 81; ... .

Таку властивість має будь-яка геометрична прогресія.

Властивість 1

Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Доведення. Нехай маємо геометричну прогресію (bn) зі знаменником q.

Тоді для n > 1 виконуються рівності:

Звідси:

Якщо всі члени геометричної прогресії є додатними числами, то з рівності випливає, що

Отже, кожний член такої прогресії, починаючи із другого, є середнім геометричним двох сусідніх з ним членів. З цією властивістю геометричної прогресії і пов’язана її назва.

Розглянемо скінченну геометричну прогресію (bn), яка має шість членів: 1; 2; 4; 8; 16; 32. Знайдемо добуток крайніх членів цієї прогресії та добутки членів, рівновіддалених від крайніх:

b ∙ b6 = 1 ∙ 32 = 32;

b2 ∙ b5 = 2 ∙ 16 = 32;

b3 ∙ b4 = 4 ∙ 8 = 32.

Бачимо, що добутки членів прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнюють добутку крайніх членів. Таку властивість має будь-яка скінченна геометрична прогресія.

Властивість 2

Добуток будь-яких двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів.

Доведення властивості 2 подано в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше».

Для тих хто хоче знати більше

Доведемо властивість 2. Нехай маємо скінченну геометричну прогресію b1; b2; b3; bn-2; bn-1; bn зі знаменником q. Зауважимо, що сума індексів двох членів прогресії, які рівновіддалені від крайніх членів, дорівнює n + 1. Нехай bk + 1 та bn-k — два довільні члени даної прогресії, рівновіддалені від крайніх членів. Оскільки

то

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти знаменник і третій член геометричної прогресії (bn):

1; 1,5; ... .

• У цій прогресії b1 = 1, b2 = 1,5. Тому:

Відповідь. 1,5; 2,25. •

Вправа 2. Знайти шостий член геометричної прогресії (bn): 2; 10; 50; ... .

• Маємо: b1 = 2; q = 10 : 2 = 5. Тоді b6 = b1 ∙ q5 = 2 ∙ 55 = 62 50.

Відповідь. 6250. •

Вправа 3. Знайти перший член геометричної прогресії (bn), якщо b7 = 32, q = -2.

• Використавши формулу bn = b1qn-1 для n = 7, матимемо:

32 = b1 ∙ (-2)6; 32 = b1 ∙ 64; b1 = 0,5.

Відповідь. 0,5. •

Вправа 4. Знайти знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b7 = -12; b9 = -108.

• Використавши формулу n-го члена геометричної прогресії, одержимо:

b9 = b1q8 = -108, b7 = b1q6 = -12.

Звідси:

Відповідь. -3 або 3. •

Вправа 5. Знайти другий член геометричної прогресії: -4; b2; -25; ... .

• За властивістю 1 геометричної прогресії

Звідси b2 = -10 або b2 = 10.

Відповідь. -10 або 10. •

Усно

804. Чи є геометричною прогресією послідовність:

а) 5; 25; 125; 625; ... — послідовність натуральних степенів числа 5;

б) -3; 9; -27; 81; ... — послідовність натуральних степенів числа -3;

в) 1; 8; 27; 64; ... — послідовність кубів натуральних чисел?

805. Укажіть перший член і знаменник геометричної прогресії:

806. Знайдіть три перші члени геометричної прогресії (bn), у якій:

а) b1 = 3; q = 2;

б) b1 = 5; q = -2.

807. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії:

а) 2; 6; 18; ...;

б) -9; -3; -1; ... .

808. Знайдіть знаменник і перший член геометричної прогресії:

а) b1; 4; 16; ...;

б) b1; 6; 3; ... .

Рівень А

Запишіть чотири перші члени геометричної прогресії (bn), у якій:

809.

810.

а) b1 = 4; q = -2;

б) b1 = -3; q = 0,2.

811. Знайдіть знаменник, третій і четвертий члени геометричної прогресії (bn), якщо:

а) b1 = 5; b2 = 10;

б) b1 = 4; b2 = 2;

в) b1 = 5; b2 = -5;

г) b1 = 3; b2 = 0,3.

812. Знайдіть знаменник і третій член геометричної прогресії (bn), якщо:

а) b = 2; b2 = 8;

б) b1 = -6; b2 = 3.

Знайдіть знаменник і четвертий член геометричної прогресії:

813. а) 3; 9; 27; ...; б) -64; 16; -4; ... .

814. а) 2; -6; 18; ...; б) 4; 2; 1; ... .

Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть:

815.

816.

817. Знайдіть шостий член геометричної прогресії:

818. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії:

а) 1; 3; 9; ...;

б) 2; -4; 8; ... .

Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn), якщо:

819.

820.

Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bn), якщо:

821.

а) b1 = 8; b3 = 32;

б) b1 = 10; b3 = 0,1.

822.

а) b = 5; b3 = 80;

б) b = -27; b3 = -243.

823. Заповніть таблицю, якщо (bn) — геометрична прогресія.

b1

q

n

bn

3

3

3

0,6

3

5,4

-2

9

256

824. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії (bn), якщо:

а) b4 = 3; b6 = 75; б) b4 = -8; b6 = -18.

825. Знайдіть другий член геометричної прогресії:

а) 9; b2; 36;

б) 0,7; b2; 70; ... .

826. Чому дорівнює добуток шостого та восьмого членів геометричної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює: -8; 1,8?

Рівень Б

Чи є геометричною прогресією послідовність:

827.

828.

829. Чи є послідовними членами геометричної прогресії значення tga для кутів

830. Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn), якщо:

а) b4 = 9; b6 = 81;

б) b5 = -0,8; b7 = -0,2.

831. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bn), якщо:

а) b3 = -2; b5 = -50;

б) b7 = 8; b9 = 0,5.

832. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії з від’ємним знаменником, якщо її другий і четвертий члени відповідно дорівнюють -2 і -18.

833. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії з додатним знаменником, якщо її третій і п’ятий члени відповідно дорівнюють -32 і -8.

834. Третій член геометричної прогресії з додатним знаменником дорівнює 16, а сума перших двох членів дорівнює 12. Знайдіть п’ятий член прогресії.

835. Знайдіть шостий член геометричної прогресії, якщо її другий член дорівнює -4, а сума першого і третього членів дорівнює 10.

836. У квадрат, сторона якого дорівнює 8 см, вписано інший квадрат, вершинами якого є середини сторін даного квадрата. У другий квадрат у такий же спосіб вписано третій квадрат і т. д. Доведіть, що числові значення площ цих квадратів утворюють геометричну прогресію і знайдіть площу п’ятого квадрата.

837. У рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 24 см, вписано інший трикутник, вершинами якого є середини сторін даного трикутника. У другий трикутник у такий же спосіб вписано третій трикутник і т. д. Доведіть, що числові значення периметрів цих трикутників утворюють геометричну прогресію і знайдіть периметр п’ятого трикутника.

838. Знайдіть невідомі члени скінченної геометричної прогресії:

839. Знайдіть невідомі члени геометричної прогресії: 8; х; 2; у; 0,5.

840. Між числами 1 і 3 вставте таке число, щоб усі три числа утворили геометричну прогресію.

841. Виміри прямокутного паралелепіпеда утворюють геометричну прогресію. Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо його найменше ребро дорівнює 2,5 см, а найбільше — 10 см.

842. Вік батька, старшого та молодшого синів утворюють геометричну прогресію. Скільки років старшому синові, якщо батькові 32 роки, а молодшому синові — 2 роки?

Рівень В

843. Додатні числа a, b, c є послідовними членами геометричної прогресії. Чи є послідовними членами геометричної прогресії числа:

844. Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, у якій різниця першого і другого членів дорівнює 28, а різниця четвертого і третього членів дорівнює -252.

845. Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума другого і третього чисел дорівнює 4. Якщо перше число помножити на а друге і третє числа залишити без змін, то нова трійка чисел утворюватиме арифметичну прогресію. Знайдіть члени геометричної прогресії.

846. Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до перших двох чисел додати по 1, а до третього і четвертого — відповідно 4 і 13, то нова четвірка чисел утворюватиме арифметичну прогресію. Знайдіть числа, які утворюють геометричну прогресію.

847. Для яких значень х числа 2, х + 1 і 4х - 2 є трьома послідовними членами геометричної прогресії?

848. Числа 1, x, у є одночасно послідовними членами арифметичної й геометричної прогресій. Знайдіть x та у.

849. Третій член геометричної прогресії дорівнює 2. Знайдіть добуток п’яти перших членів цієї прогресії.

Вправи для повторення

850. Спростіть вираз:

851. Розв’яжіть нерівність:

а) 1 - 2(x - 1) < 6 - 5x;

б) (x + 3)2 -64 < 0.

852. Побудуйте графік функції:

а) у = x2 - 5;

б) у = x2 + 6x +10.

853. Довжина однієї сторони прямокутника утричі більша, а другої на 4 см менша від довжини сторони квадрата. Знайдіть площу квадрата, якщо вона на 10 см2 більша від площі прямокутника.

854. Знайдіть усі значення а, для кожного з яких нерівність x2 - 2ax + 4a > 0 виконується для всіх значень x.

Поміркуйте

855. Леся пронумерувала сторінки реферату, записавши помилково на двох сторінках той самий номер. Який номер вона записала двічі, якщо сума номерів усіх сторінок дорівнює 125?




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити