Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

20. Формула суми перших n членів геометричної прогресії

Нехай b1, b2; b3; ... — геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через Sn суму перших n членів цієї прогресії, тобто

Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn. (1)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо:

Snq = b1q + b2q + ... + bn-1q + bnq.

За означенням геометричної прогресії: b1q = b2; b2q = b3; ...; bn1 q = bn.

Тоді:

Snq = b2 + b3 + ... + bn + bnq. (2)

Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2), одержимо:

Якщо q ≠ 1, то

Урахувавши, що одержимо:

Отже,

(3)

Формули (3) називають формулами суми перших n членів геометричної прогресії. Другою з цих формул зручно користуватися, якщо q > 1. Якщо q = 1, то кожний член геометричної прогресії дорівнює b1, тому

Sn = n ∙ b1.

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії (bn): 3; -6; 12; ... .

• Маємо: b1 = 3;

Тоді за формулою знаходимо:

Відповідь. -255. •

Вправа 2. Знайти перший член геометричної прогресії (bn), якщо четвертий її член утричі більший від третього, а сума п’яти перших членів дорівнює -12,1.

• Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5= -12,1, тому:

Відповідь. -0,1. •

Рівень А

856. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (bn), у якій:

а) b1 = 1; q = 2;

б) b1 = -0,5; q = -2.

Знайдіть суму перших n членів геометричної прогресії (bn), якщо:

857.

858.

859. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії:

860. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії: а) 3; -6; 12; б) 0,2; 0,6; 1,8; ... .

Рівень Б

861. Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn), якщо:

862. Знайдіть перший член геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює , а сума семи перших членів — 254.

863. Знаменник геометричної прогресії дорівнює -3, а сума чотирьох перших членів — 40. Знайдіть шостий член цієї прогресії.

864. Знаменник геометричної прогресії дорівнює 4, а сума п’яти перших членів — 341. Знайдіть п’ятий член цієї прогресії.

865. Знайдіть суму членів геометричної прогресії (bn) від четвертого до восьмого включно, якщо:

а) b1 = 5; q = 2;

б) b1 = -24; q = -0,5.

866. Знайдіть суму членів геометричної прогресії (bn) від третього до восьмого включно, якщо:

а) b1 = 2; q = -2;

б) b1 = -16; q = 0,5.

867. Доведіть, що послідовність, яку задано формулою xn = 5 ∙ 2-n, є геометричною прогресією, і знайдіть суму п’ яти перших її членів.

868. Доведіть, що послідовність, яку задано формулою xn = 2 ∙ 3n, є геометричною прогресією, і знайдіть суму шести перших її членів.

Рівень В

869. Різниця п’ятого і третього членів геометричної прогресії дорівнює 36, а різниця третього і першого — 9. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.

870. Три числа, сума яких дорівнює 21, утворюють арифметичну прогресію. Якщо перше число залишити без зміни, від другого відняти 1, а до третього додати 1, то нова трійка чисел утворить геометричну прогресію. Знайдіть числа, які утворюють геометричну прогресію.

871. Знайдіть восьмий член геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 3 і для деякого натурального n виконуються рівності: bn = 96; Sn = 189.

872. Сума трьох перших членів геометричної прогресії з додатним знаменником дорівнює 14, а сума членів із третього до п’ятого включно — 3,5. Знайдіть суму п’яти перших членів прогресії.

Вправи для повторення

873. Спростіть вираз:

874. Розв’яжіть нерівність 5x + m ≥ 0, де m — сума п’яти перших членів арифметичної прогресії 1; -2; -5; ... .

875. Для яких значень m один з коренів рівняння 8х2 - 6x + m = 0 удвічі більший від іншого?

876. На заводі для виготовлення одного електродвигуна типу A використовують 2 кг міді й 1 кг свинцю, а для виготовлення одного електродвигуна типу B — 3 кг міді й 2 кг свинцю. Скільки електродвигунів кожного типу було виготовлено на заводі, коли відомо, що всього використали 130 кг міді й 80 кг свинцю?

Поміркуйте

877. Підручник складається із трьох розділів. Номери останніх сторінок усіх розділів є парними трицифровими числами, у запису яких використано дев’ять різних цифр, окрім нуля. Скільки щонайбільше сторінок може мати другий розділ підручника?


Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити