Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

Пам’ятайте: хочете навчитися плавати, — сміливіше входьте у воду. Хочете навчитися математики, — беріться за задачі. Кожен розв’язок є своєрідним мистецтвом пошуку.

М. Кравчук

До § 1. Нерівності

1058. Доведіть нерівність:

1059. Доведіть: якщо

1060. Доведіть нерівність

1061. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел а, b і с, добуток яких дорівнює 1, виконується нерівність аb + bc + ca + а + b + c ≥ 6.

1062. Доведіть, що (1 + а1)(1 + а2) ... (1 + аn) > 2n, де а1, а2, ..., аn — додатні числа й а1а2 ... аn = 1.

1063. Яке із двох чисел більше:

1064. Доведіть, що для будь-якого натурального значення п виконується нерівність:

1065. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n виконується нерівність:

1066. Для додатних чисел а та b і від’ємного числа с (с ≠ -а) правильними є нерівності а ≤ b і ас ≤ bс. Доведіть, що для цих чисел виконується рівність

1067. Доведіть, що для будь-яких значень х та у вираз (х3 + у3)(х + у) набуває невід’ємних значень.

1068. Розв’яжіть рівняння із двома невідомими:

1069. Числа 1, 2, ..., 9 розбили на три групи, по три числа в кожній. Нехай М — найбільший із добутків чисел однієї групи. Доведіть, що М ≥ 72.

1070. Чотири рибалки — A, B, C і D — ловили рибу. Рибалки B і D зловили разом таку саму кількість рибин, як A із C. Рибалка A зловив більше рибин, ніж рибалка C, але A із D зловили менше рибин, ніж B із C. Скільки рибин зловив кожний рибалка, якщо рибалка B зловив 3 рибини?

1071. Кілька хлопців збирали гриби. Один із них знайшов 6 грибів, а інші — по 13 грибів. Наступного разу кількість хлопців була іншою, і один з них знайшов 5 грибів, а інші — по 10 грибів. Скільки хлопців збирали гриби першого разу і скільки другого разу, якщо кількість зібраних грибів в обох випадках була однаковою? Відомо, що ця кількість більша від 100 і менша від 200.

1072. Швидкість течії річки більша від швидкості течії притоки. З пункту A, що розташований у місці впадання притоки в річку, одночасно відходять два катери: перший угору — річкою, а другий — притокою. Пройшовши по 10 км, катери відразу вирушають у зворотний шлях. Який з катерів першим повернеться у пункт A: той, що пливе річкою, чи той, що пливе притокою, якщо швидкість катерів у стоячій воді однакова?

1073. Розв’яжіть нерівність (b2 - b - 6)х ≤ (b2 + 3b + 2) з параметром b.

1074. Розв’яжіть нерівність:

1075. Для яких значень а система нерівностей має єдиний розв’язок?

1076. Доведіть, що система нерівностей має розв’язок для будь-якого значення а.

До § 2. Квадратична функція

1077. Побудуйте графік функції:

1078. Знайдіть усі значення параметра а, для яких сума квадратів коренів рівняння х2 - ах + а2 - 3а - 2 = 0 є найбільшою.

1079. Знайдіть значеннях х, для якого вираз (х - 1)2 + (х - 2)2 + ... + (х - 10)2 набуває найменшого значення.

1080. Знайдіть найбільше значення функції

1081. Розв’яжіть нерівність (х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) - 3 ≥ 0.

1082. Для яких значень а нерівність (x - a)(x - а - 2) > 0 виконується для всіх значень х, що задовольняють нерівність x2 - 4x + 3 < 0?

1083. Параболи у = x2 - (2а + 1)x + 1 та х = у2 - (2b + 1)y - 1 перетинаються в чотирьох точках.

Доведіть, що ці точки лежать на одному колі.

1084. Побудуйте графік функції у = х2 - 3|х| + 2. Для яких значень х виконується нерівність х2 - 3|х| + 2 > 1?

1085. Знайдіть усі значення параметра а, для кожного з яких рівняння має хоча б один корінь.

1086. Знайдіть усі значення а, для яких нерівність х2 - 2(а - 1)х + 4а < 0 виконується для всіх значень х із проміжку (0; 1).

1087. Скільки коренів має рівняння залежно від значень а?

1088. Для яких значень а рівняння -х2 + 2х - а = 11 - |х|| не має коренів?

1089. а) Знайдіть найменше значення функції

б) Розв’яжіть рівняння

1090. Розв’яжіть систему рівнянь:

1091. Знайдіть усі значення а, для яких система рівнянь має єдиний розв’язок.

1092. Знайдіть усі значення параметра а, для кожного з яких система рівнянь має єдиний розв’язок.

1093. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень а?

1094. Знайдіть усі значення параметра a, для кожного з яких система рівнянь має безліч розв’язків.

1095. До басейну підведено три труби. Якщо відкрити одночасно першу і другу труби, то басейн наповниться водою за 2,4 год, якщо першу і третю, — за 3 год, якщо другу і третю, — за 4 год. За який час наповниться басейн, якщо одночасно відкрити усі три труби?

1096. Резервуар, місткість якого дорівнює 1000 л, наповнюють водою через дві труби. Перші 800 л наповнюють через обидві труби, потім 120 л — лише через першу трубу, а останні 80 л — лише через другу. За таких умов час наповнювання на 2 год більший від часу наповнювання через обидві відкриті труби і на 13 год менший від часу наповнювання лише через другу трубу. Скільки літрів води протікає через першу трубу за годину?

1097. Два пішоходи ідуть назустріч один одному з пунктів A та B. Перший вийшов з A на 1 год пізніше, ніж другий з B, і під час зустрічі виявилося, що він пройшов на 6 км менше, ніж другий. Не зупиняючись, пішоходи продовжили свій рух, і перший прибув у пункт B через 2,5 год, а другий — в A через 0,8 год після зустрічі. Знайдіть швидкість кожного пішохода.

1098. Є два натуральні двоцифрові числа. Якщо до першого числа дописати праворуч друге число, а потім ще цифру 0, то одержимо п’ятицифрове число, яке при діленні на квадрат другого числа дає неповну частку 39 і остачу 575. Якщо до першого числа дописати праворуч друге число, то одержимо чотирицифрове число, що на 1287 більше від чотирицифрового числа, яке одержимо, коли до другого числа допишемо праворуч перше число. Знайдіть ці двоцифрові числа.

1099. У річку впадає притока. Катер відходить від пункту A, що розташований на притоці, йде за течією 80 км до впадання притоки в річку у пункті B, а потім іде вгору по річці до пункту C. На шлях від A до C він затратив 18 год, на зворотний шлях — 15 год. Знайдіть відстань від B до C, коли відомо, що швидкість катера у стоячій воді дорівнює 18 км/год, а швидкість течії річки — 3 км/год.

До § 3. Числові послідовності

1100. Знайдіть суму всіх трицифрових чисел, які при діленні на 5 дають в остачі 1.

1101. Знайдіть суму всіх трицифрових чисел, які не діляться ні на 2, ні на 3.

1102. Чи правильно, що сума всіх трицифрових чисел, які не діляться ні на 2, ні на 3, дорівнює сумі всіх трицифрових чисел, які діляться на 6?

1103. Знайдіть суму п’ятнадцяти перших членів арифметичної прогресії (an), якщо а7 + а8 + а9 = 12.

1104. Чи можуть числа бути членами однієї арифметичної прогресії?

1105. Додатні числа а, b, c утворюють арифметичну прогресію. Чи правильно, що числа теж утворюють арифметичну прогресію?

1106. Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює: Sn = 4n2 - 3n. Знайдіть третій член прогресії.

1107. Сума перших n членів деякої послідовності дорівнює: Sn = 3n2. Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією та знайдіть її різницю.

1108. Сума чотирьох перших членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює 56, а сума чотирьох останніх — 112. Знайдіть число членів прогресії, якщо перший її член дорівнює 11.

1109. Знайдіть число членів скінченної арифметичної прогресії, у якій відношення суми семи перших членів до суми семи останніх членів дорівнює ,

а відношення другого члена до першого дорівнює 2.

1110. Є три арифметичні прогресії, перші члени яких дорівнюють нулю, а різниці — відповідно 931, 63 і 1083. Знайдіть номер найменшого, відмінного від нуля, члена першої прогресії, який трапляється у двох інших прогресіях.

1111. Є три арифметичні прогресії, перші члени яких дорівнюють нулю, а різниці — відповідно 400, 9604 і 30625. Четверта арифметична прогресія побудована з послідовних спільних членів перших трьох прогресій. Знайдіть різницю четвертої прогресії.

1112. Знайдіть чотири цілі числа, які утворюють арифметичну прогресію, якщо найбільше з них дорівнює сумі квадратів усіх інших.

1113. Для яких значень а рівняння має натуральний корінь?

1114. Розв’яжіть рівняння х3 + x2 - a = 0, коли відомо, що його корені є трьома послідовними членами арифметичної прогресії.

1115. Знайдіть усі значення p і r, для яких рівняння х3 + px2 - х + r = 0 має три корені, які утворюють арифметичну прогресію з різницею 1.

1116. Три додатні числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 21, а сума обернених до них чисел — . Знайдіть ці числа.

1117. Знайдіть суму всіх різних знаменників геометричних прогресій, у яких кожний член, починаючи із третього, дорівнює сумі двох попередніх.

1118. Три додатні числа утворюють арифметичну прогресію. Третє число більше від першого на 14. Якщо перші два числа залишити без змін, а третє замінити його сумою з першим, то одержимо геометричну прогресію. Знайдіть суму чисел арифметичної прогресії.

1119. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо перші два числа залишити без змін, а третє зменшити на 64, то одержимо числа, які утворюють арифметичну прогресію. Якщо ж потім перше і третє числа нової прогресії залишити без змін, а друге зменшити на 8, то одержимо геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

До § 4. Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і статистики

1120. Інспектор повинен протягом трьох днів відвідати 10 підприємств. Скількома способами він може розподілити за днями число своїх візитів, відвідуючи не менше одного підприємства в день?

1121. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну тури так, щоб вони не били одна одну?

Задачі підвищеної складності

1122. Скільки є натуральних чисел, менших від 100, які:

а) діляться на 2 і на 3;

б) діляться на 2 або на 3;

в) діляться на 2, але не діляться на 3;

г) не діляться ні на 2, ні на 3?

1123. Скільки є натуральних чисел, які не перевищують 1000 і не діляться ні на 5, ні на 6, ні на 7?

1124. Знайдіть суму всіх п’ятицифрових чисел, які можна записати за допомогою цифр 1, 4, 6, 7, 8, використовуючи кожну цифру лише один раз.

1125. У квадратній таблиці розміру 8 х 8 навмання зафарбовують 8 клітинок так, щоб у кожному рядку і в кожному стовпці була одна зафарбована клітинка. Знайдіть імовірність того, що зафарбовані клітинки лежать на одній з діагоналей таблиці.

1126. У класі є два ряди двомісних парт, по 8 парт у кожному ряді. Два учні довільно займають місця за партами. Знайдіть імовірність того, що вони сядуть за одну парту.

1127. На першій горизонталі шахової дошки довільно розставляють білі фігури: 2 тури, 2 коні, 2 слони, ферзя і короля. Знайдіть імовірність того, що їх розміщення відповідатиме початковому розміщенню цих фігур у грі в шахи.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити