Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Квадратична функція

§ 12 Квадратні нерівності

Якщо лівою частиною нерівності є вираз ах2 + bх + с, де а ≠ 0, b, с — дані числа, а правою — нуль, то її називають квадратною нерівністю.

Приклади квадратних нерівностей:

х2 - 5х + 3 < 0, 2х2 + 4 < 0, -Зх2 + 2х > 0, -х2 + 3х + 7 > 0.

Такі нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність х2 - 6х + 5 < 0.

Розв’язання. Побудуємо графік функції у = х2 - 6х + 5 (мал. 100). Її нулі — числа 1; 5.

Від’ємні значення ця функція має тільки в тому разі, якщо змінна х належить проміжку (1; 5).

Це і є множина розв’язків даної нерівності.

Відповідь. (1; 5).

Зрозуміло, що для розв’язування таких нерівностей будувати точно графіки квадратичних функцій не обов’язково. Досить визначити напрям віток параболи і точки перетину графіка з віссю х (якщо вони існують).

Мал. 100

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність -x2 + 2x + 3 ≤ 0.

Розв’язання. Графік функції y = -x2 + 2x + 3 перетинає вісь x у точках з абсцисами -1 і 3; вітки параболи напрямлені вниз. Тому схематично графік функції можна зобразити, як показано на малюнку 101. Значення функції недодатні за умови, що x належить проміжку ( -∞; - 1] або [3; ∞). Отже, множина розв’язків даної нерівності — об’єднання цих проміжків. Оскільки об’єднання множин прийнято позначати символом , то відповідь можна записати так: (-∞; -1] [3; ∞).

Мал. 101

Мал. 102

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність x2 + x + 1 < 0.

Розв’язання. Дискримінант рівняння x2 + x + 1 = 0 від’ємний, тому графік функції y = x + x + 1 з віссю x не має спільних точок. Вітки графіка напрямлені вгору (мал. 102). Отже, при кожному значенні x значення функції y = x2 + x + 1 додатне.

Відповідь. Нерівність розв’язків не має.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність (x + 4)(x + 1) > 0.

Розв’язання. Вираз (x + 4)(x + 1) тотожно дорівнює деякому квадратному тричлену з додатним коефіцієнтом при x2. Отже, графік функції

y = (x + 4)(x + 1) — парабола, вітки якої напрямлені вгору і яка перетинає вісь x у точках з абсцисами -4 і -1 (мал. 103). Значення функції додатні, якщо x < -4 або x > -1.

Відповідь. (-∞; - 4) (-1; ∞).

Оскільки нерівність рівносильна нерівності (x + 4)(x + 1) > 0, то таким способом (графічно) можна розв’язувати і найпростіші дробово- раціональні нерівності.

Мал. 103

Щоб розв’язати квадратну нерівність за допомогою графіка, потрібно:

а) визначити напрям віток параболи за знаком першого коефіцієнта;

б) знайти корені відповідного квадратного рівняння, якщо вони є;

в) побудувати ескіз графіка квадратної функції;

г) за графіком визначити проміжки для х, на яких нерівність правильна.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Спосіб, яким розв’язують квадратні нерівності, можна поширити на багато інших видів нерівностей.

Приклад. Нехай треба розв’язати нерівність (x - 1)(x - 2)(x + 5) < 0.

Ця вправа рівносильна такій. При яких значеннях x від’ємними є значення функції y = (x - 1)(x - 2)(x + 5)?

Щоб відповісти на поставлене запитання, знайдемо спочатку нулі функції: 1, 2 і -5. Вони розбивають область визначення функції на чотири проміжки: (-∞; - 5), (-5; 1), (1; 2) і (2; ∞). На кожному з цих проміжків кожний із множників добутку (x - 1)(x - 2)(x + 5) має певний знак. Подамо їх і знак усього добутку в такій таблиці.

Множник

(-∞; - 5)

(-5; 1)

(1; 2)

(2; ∞)

x - 1

+

+

x - 2

+

x + 5

-

+

+

+

у

+

+

Схематично графік функції у зображено на малюнку 104.

Мал. 104

Отже, функція набуває від’ємних значень на проміжках (-∞; - 5) і (1; 2). Відповідь. Множина розв’язків нерівності: (-∞; - 5) А (1; 2).

У розглянутому прикладі проміжки, на яких значення функції додатні, чергуються з тими, на яких значення функції від’ємні. Однак це не завжди так. Розв’яжемо нерівність (x + 1)2(x + 3)(x - 5) > 0.

Ліва частина нерівності дорівнює нулю, якщо значення x дорівнює -3, -1 або 5. Склавши відповідну таблицю, переконуємося, що значення лівої частини нерівності від’ємні на сусідніх проміжках (-3; -1) і (-1; 5). Отже, множина розв’язків даної нерівності (-∞; - 3] [5; ∞) {-1}.

Схематично графік функції y = (x + 1)2(x + 3)(x - 5) показано на малюнку 105.

Розглянутий спосіб розв’язування нерівностей — це окремий випадок загального методу інтервалів. Докладніше з ним ви ознайомитесь у старших класах.

Мал. 105

Перевірте себе

1. Сформулюйте означення квадратної нерівності.

2. Наведіть приклади квадратних нерівностей.

3. Яким символом позначають об’єднання двох множин?

4. Скільки розв’язків може мати квадратна нерівність?

5. Наведіть приклади квадратних нерівностей, які:

а) не мають жодного розв’язку;

б) мають тільки один розв’язок;

в) задовольняють усі дійсні числа.

Виконаємо разом

Розв’яжіть нерівність:

• Розв’язання. а) Графік функції y = x2 + 3х перетинає вісь абсцис у точках x = 0 і x = -3, вітки параболи напрямлені вгору. Зобразимо графік схематично (мал. 106); множина розв’язків нерівності — проміжок (-3; 0).

б) Знайдемо корені рівняння z2 - 3z - 2 = 0.

Мал. 106

Вітки параболи напрямлені вгору, тому шукана множина розв’язків нерівності

в) Знайдемо дискримінант рівняння t2 + t + 1 = 0: D - 1 - 4 ∙ 1 ∙ 1 < 0. Коефіцієнт при t2 додатний, тому вітки параболи напрямлені вгору. Уся вона розміщена у верхній півплощині. Отже, множина розв’язків нерівності — уся множина R.

Відповідь.

Виконайте усно

476. Назвіть квадратні нерівності:

477. Визначте напрям віток графіка функції:

478. Чи перетинає вісь абсцис графік функції:

479. Чому не має розв’язків нерівність:

Рівень А

480. Зобразіть на координатній прямій об’єднання проміжків:

Розв’яжіть нерівність (481—487).

481.

482.

483.

484.

485.

486.

487.

488. При яких значеннях x значення функції y = x2 + 3х від’ємні, а при яких — додатні?

489. При яких значеннях x значення функції y = f(x) додатні, а при яких — від’ємні, якщо:

490. Знайдіть область визначення функції:

491. Знайдіть цілі розв’язки нерівності:

Рівень Б

Розв’яжіть нерівність (492—496).

492.

493.

494.

495.

496.

497. Розв’яжіть нерівність:

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (498—502).

498*.

499*.

500*.

"Дорогі не ті знання, які відкладаються у мозку як жир; дорогі ті, які перетворюються у розумові м’язи" .

Г. Спенсер

501*.

502*.

503. При яких значеннях x значення функції y = 2x + 2 більше за відповідне значення функції:

а) y =- x2 - 3x - 4;

б) y = 4x2 + 9x - 13?

504. Знайдіть область визначення функції:

505. При яких значеннях b не має розв’язків нерівність:

506. При яких значеннях m кожне дійсне число задовольняє нерівність:

Розв’яжіть систему нерівностей (507—508).

507.

508.

509. Розв’яжіть подвійну нерівність:

510. Розв’яжіть графічно нерівність:

Вправи для повторення

511. Розв’яжіть систему рівнянь:

512. Друзі придбали спільний подарунок на суму 260 грн. Якби їх було на 3 особи більше, то внесок кожного був би на 6 грн меншим. Скільки осіб купували подарунок?

Спростіть вираз (513—514).

513.

514.

Скарбничка досягнень

ü Можу навести приклад квадратичної нерівності з однією змінною

ü Умію розв’язувати квадратичні нерівності та записувати їх розв’язки. Якщо ax2 + bx + c > 0 і D = b2 -4ac , то:

ü Хочу навчитися розв’язувати нерівності методом інтервалів

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке система лінійних рівнянь (с. 261).

— Що таке розв’язок системи рівнянь з двома змінними (с. 261).

— Що означає «розв’язати систему двох рівнянь».

— Як розв’язати систему рівнянь графічним способом.

— Яка фігура є графіком рівняння:

— Скільки розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь з двома змінними.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити