Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Квадратична функція

§ 14 Розв'язування задач складанням систем рівнянь

Задача — це вимога виконати що-небудь або запитання, рівнозначне такій вимозі. В алгебраїчних задачах найчастіше вимагається що-небудь обчислити, довести, перетворити, дослідити. Якщо, розв’язуючи задачу, як моделі використовують алгебраїчні вирази, рівняння, нерівності, системи рівнянь, то говорять про алгебраїчні методи.

Як розв’язувати задачі складанням систем лінійних рівнянь, ви знаєте з 7 класу. Подібним способом розв’язують і задачі, які зводяться до систем рівнянь другого степеня з двома невідомими.

Задача 1. Знайдіть сторони прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а периметр на 18 см більший.

Розв’язання. Позначимо довжини шуканих сторін прямокутника x см і у см (мал. 111). Тоді квадрат його діагоналі дорівнює x2 + у2 , а півпериметр становить x + у. Оскільки діагональ дорівнює 10 см, а периметр — 28 см, то маємо систему рівнянь:

Розв’яжемо її. З другого рівняння знайдемо у і підставимо його значення в перше рівняння. Маємо:

Мал. 111

у - 14 - x і x2 + (14 - x)2 = 100,

x2 + 196 - 28x + x2 = 100, або 2x2 - 28x + 96 = 0, звідси

x2 - 14x + 48 = 0.

Корені останнього рівняння: x1 = 8, x2 = 6. Якщо x = 8, то y = 6; якщо x = 6, то y = 8.

Відповідь. 8 см і 6 см.

Задача 2. Один велосипедист їде зі швидкістю на 2 км/год більшою, ніж другий, тому відстань 28 км він долає на 20 хв швидше, ніж другий. Знайдіть швидкості обох велосипедистів.

Розв’язання. Нехай швидкості велосипедистів (у кілометрах за годину) дорівнюють u i v. Швидкість першого більша на 2, тому маємо рівняння: u - v = 2.

Оскільки відстань 28 км перший велосипедист долав за а другий — за год, і час першого на 20 хв, або на год, менший, то маємо друге рівняння:

Розв’яжемо систему рівнянь:

звідси u(u - 2) = 168, u2 = 2u - 168 = 0.

Корені одержаного квадратного рівняння: u1 = 14, u2 = -12. Значення -12 умову задачі не задовольняє. Отже, u = 14, а v = 14 - 2 = 12. Відповідь. 14 км/год і 12 км/год.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

При розв’язуванні задач з параметрами відповіді одержують у вигляді виразів зі змінними. Повне розв’язання такої задачі вимагає дослідження: треба вказати, за яких значень параметрів задача має розв’язки і скільки.

Задача. З порту одночасно вийшли два теплоходи: один на південь, другий — на захід. Через 2 год відстань між ними дорівнювала 60 км. Знайдіть швидкості теплоходів, якщо швидкість першого на а км/год більша за швидкість другого.

Розв’язання. Нехай швидкості теплоходів дорівнюють відповідно x км/год і у км/год. За 2 год вони пройшли (у напрямах, перпендикулярних один до одного) відповідно 2xі 2у км (мал. 112). За теоремою Піфагора, 4x2 + 4у2 = 602, або x2 + у2 = 900. Крім того, x - у = а. Маємо систему рівнянь:

Розв’яжемо її. З другого рівняння системи знайдемо x = у + а. Підставивши це значення в перше рівняння, матимемо:

(у + а)2 + у2 = 900, 2y2 + 2ay + а2 - 900 = 0. Розв’яжемо останнє квадратне рівняння відносно y:

Мал. 112

За умовою задачі, а і у мають бути додатними, тому можливий лише один випадок:

При цьому мають виконуватися умови:

Отже, задачу задовольняє тільки одне значення змінної у:

Відповідь. Якщо 0 < а < 30, то задача має єдиний розв’язок:

Якщо а ≤ 0 або а ≥ 30, то задача розв’язків не має.

Перевірте себе

1. Що таке задача?

2. Які бувають задачі?

3. Складіть кілька різних моделей для задачі: «Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 15, а добуток — 56».

Виконаємо разом

1. Знайдіть двоцифрове число, яке в 4 рази більше за суму його цифр і в 3 рази — за їх добуток.

Розв’язання. Позначимо цифри десятків і одиниць буквами x і у. Тоді шукане число дорівнює 10x + у. Оскільки воно в 4 рази більше за суму цифр, то 10x + у - 4(x + у), звідси 6х = 3у, або 2х = у.

Число 10x + у втричі більше за добуток цифр, тому 10x + y = 3xy. Розв’яжемо систему рівнянь:

Підставимо значення у в друге рівняння:

10x + 2x = 3x ∙ 2x, 12x = 6x2, звідси x = 0, або x = 2.

Перша цифра двоцифрового числа — не 0. Тому x = 2, а у = 2x = 4.

П е р е в і р к а. 24 = 4(2 + 4) і 24 = 3 ∙ 2 ∙ 4.

П р и м і т к а. Оскільки тут x і у — натуральні числа, то з’ясувавши, що у = 2x, далі можна не розв’язувати систему, а випробувати числа 12, 24, 36 і 48. З них задачу задовольняє тільки число 24. Відповідь. Число 24.

2. Периметри правильного трикутника і правильного шестикутника рівні, а сума їх площ дорівнює

Знайдіть сторони цих многокутників.

• Розв’язання. Нехай шукані сторони трикутника і шестикутника дорівнюють x і у (мал. 113). Оскільки периметри фігур рівні, то 3x = 6у, звідси x = 2у.

Мал. 113

Площа правильного трикутника зі стороною x дорівнює

Правильний шестикутник складається з шести правильних трикутників зі стороною у, тому його площа дорівнює

Маємо систему рівнянь:

Підставимо в друге її рівняння значення x = 2у. Маємо рівняння 10у2 = 40, звідси у2 = 4, а у = 2. Тоді x = 4.

Відповідь. 4 м і 2 м.

Виконайте усно

555. Відкрита задача. Складіть задачу, математичною моделлю якої була б система рівнянь:

Рівень А

556. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 21, а добуток становить 90.

557. Знайдіть два числа, різниця яких дорівнює 1,1, а добуток — 0,6.

558. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 31, а сума їх квадратів — 625.

559. Середнє геометричне двох чисел дорівнює 3. Знайдіть ці числа, якщо одне з них більше від другого на 9,1.

560. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 90 см, а гіпотенуза — 41 см. Знайдіть катети трикутника.

561. Знайдіть два числа, якщо:

а) їх різниця дорівнює 2, а різниця квадратів — 88;

б) їх півсума дорівнює 9,5, а сума квадратів — 185;

в) їх сума дорівнює 20, а добуток — 84.

562. Знайдіть катети прямокутного трикутника, у якого:

а) гіпотенуза дорівнює 13 дм, а площа — 30 дм2;

б) периметр дорівнює 30 см, а сума катетів — 17 см;

в) гіпотенуза дорівнює 17 см, а периметр — 40 см.

563. Знайдіть сторони прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 м, а площа — 48 м2.

564. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо один з них менший від гіпотенузи на 2 см, а другий — на 25 см.

Мал. 114

565. Внутрішній і зовнішній контури рамки — квадрати. Сторона одного контуру дорівнює діагоналі другого (мал. 114). Знайдіть сторони цих квадратів, якщо площа рамки дорівнює 32 см2.

566. Знайдіть внутрішній і зовнішній радіуси кільця, якщо їх різниця дорівнює 5 см, а площа кільця — 125 см2 (мал. 115).

Мал. 115

567. Знайдіть довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, якщо довжина одного з них, площа поверхні й об’єм паралелепіпеда дорівнюють відповідно 8 см, 158 см2 і 120 см3.

568. Один комбайнер може зібрати врожай пшениці з ділянки на 24 год швидше, ніж другий. Якщо комбайнери працюватимуть разом, то можуть завершити роботу за 35 год. За який час кожний комбайнер може зібрати весь урожай?

569. Задача Луки Пачіоло. Сума квадратів двох чисел дорівнює 20, а добуток — 8. Знайдіть ці числа.

570. Чисельник звичайного нескоротного дробу на 3 менший від знаменника, а якщо до обох його членів додати по 10, то значення дробу збільшиться вдвічі. Який це дріб?

Рівень Б

571. Автомат виготовляє однакові деталі. Якби він щохвилини виготовляв на одну деталь більше, то 720 деталей виготовив би на 1 год швидше. Скільки деталей виготовляє автомат за одну годину?

572. Замовлення на випуск 150 машин завод мав би виконати за кілька днів. Але вже за два дні до строку, випускаючи щодня 2 машини понад план, він не тільки виконав замовлення повністю, а й випустив ще 6 машин додатково. За скільки днів завод мав би виконати замовлення?

573. Завод мав би виготовити партію верстатів за кілька днів. Перевиконуючи денне завдання на 9 верстатів, він уже за 3 дні до строку виготовив 588 верстатів, що становило 98 % замовлення. Скільки верстатів виготовляв завод щодня?

574. Бригада лісорубів повинна була заготовити протягом кількох днів 216 м3 дров. Перші три дні вона працювала, як передбачалось, а потім щодня заготовляла на 8 м3більше, тому вже за день до строку заготовила 232 м3 дров. Скільки кубометрів дров заготовляла бригада щодня?

575*. Одна труба може наповнити басейн водою на 36 хв швидше, ніж друга. Якщо спочатку половину басейну наповнить одна труба, а потім половину басейну — друга, то він наповнюватиметься на півгодини довше, ніж одночасно обома трубами. За скільки хвилин може наповнити басейн водою кожна труба?

576. З «Курсу математики» (1813 р.) для французьких військових шкіл. Сума трьох сторін прямокутного трикутника дорівнює 156 м, площа — 1014 м2. Знайдіть його сторони.

577. Поїзд мав би проїхати шлях від станції A до станції B за 4 год. Однак на відстані 150 км від A його було затримано на 20 хв. Щоб прибути до B за розкладом, він пройшов решту шляху зі швидкістю, більшою від початкової на 15 км/год. Знайдіть відстань від A до B.

578. Мотоцикліст проїхав відстань від села до міста за 5 год. Повертаючись у село, він перші 36 км їхав з тією самою швидкістю, а решту (більшу частину шляху) — зі швидкістю, на 3 км/год більшою. Тому на зворотний шлях він затратив на 15 хв менше. З якою швидкістю мотоцикліст їхав до міста?

579. Шлях між селами A і B складається з підйому і спуску. Велосипедист, рухаючись на спуску зі швидкістю на 6 км/год більшою, ніж на підйомі, шлях від A до B долає за 2 год 40 хв, а від B до A — на 20 хв швидше. Знайдіть швидкості велосипедиста на підйомі й спуску та довжину підйому від A до B, якщо відстань від A до B дорівнює 36 км.

580. Теплохід пройшов за 9 год 100 км за течією річки і 64 км — проти течії. Іншим разом за такий самий час він пройшов 80 км за течією і 80 км — проти течії. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії річки.

581. Швидкість одного літака на 100 км/год більша за швидкість другого. Тому перший долає відстань 980 км на 0,4 год довше, ніж другий — відстань 600 км. Знайдіть швидкості літаків.

582. Від пристані A за течією річки відійшов пліт. Через 3 год від пристані B, віддаленої від A на 60 км, відійшов теплохід, який прибув до A через 1 год після зустрічі з плотом. Визначте швидкість течії, якщо швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює 24 км/год.

583. Із села в місто, відстань між якими 20 км, виїхав велосипедист, а через 15 хв слідом за ним другий. Наздогнавши першого, другий велосипедист повернувся назад і прибув до села за 45 хв до прибуття першого велосипедиста в місто. Знайдіть швидкість першого велосипедиста, якщо другий їхав зі швидкістю 15 км/год.

584. З пункту A одночасно і в одному напрямку виїхали два велосипедисти зі швидкостями 18 км/год і 24 км/год. Через 1 год слідом за ними виїхав автомобіль, який наздогнав спочатку одного велосипедиста, а через 10 хв — і другого. Знайдіть швидкість автомобіля.

585. З пункту A до пункту B, відстань між якими 90 км, виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. Через півгодини з A до B виїхав другий велосипедист зі швидкістю 15 км/год. Водночас з B у напрямку до A виїхав мотоцикліст, який спочатку зустрів першого велосипедиста, а через 2 хв — другого. Знайдіть швидкість мотоцикліста.

Вправи для повторення

586. На столі в одному ряду лежать чотири фігури: трикутник, круг, шестикутник і ромб. Вони пофарбовані в різні кольори: червоний, синій, жовтий і зелений. Відомо, що праворуч від жовтої фігури лежить ромб; круг розташований праворуч від трикутника і ромба; червона фігура лежить між синьою і зеленою; трикутник лежить не на краю столу; синя і жовта фігури не лежать поруч. Визначте, у якій послідовності розташовано фігури і якого вони кольору.

587. Побудуйте графік функції

Знайдіть координати точок перетину цього графіка з графіками рівнянь 3у - х + 3 = 0, у - 3х + 9 = 0 і х2 - 6х + у2 = 16.

588. Використовуючи результати задачі № 587, установіть відповідність між абсцисами знайдених точок і відповідними їх ординатами, які подані в таблиці разом із буквами. Розташуйте абсциси (разом з відповідними буквами) за порядком спадання, і ви дізнаєтеся назву міста, де розташований університет, у якому працював Микола Миколайович Боголюбов і на фасаді якого встановлено присвячену йому меморіальну дошку (мал. 116)

Доведіть тотожність (589—590).

589. 4а4 + 1 = (2а2 - 2а + 1)(2а2 + 2а + 1).

590. а4 + а2 + 1 = (а2 - а + 1)(а2 + а + 1).

591. Спростіть вираз.

592. Знайдіть значення функції у = 1 - х2 для перших 5 натуральних чисел.

Мал. 116

Скарбничка досягнень

ü Розумію, що система двох рівнянь другого степеня з двома змінними може бути математичною моделлю прикладних задач.

ü Умію розв’язувати задачі складанням систем рівнянь.

Завдання для самостійної роботи

Вправа І

1°. Побудуйте графік функції:

2°. Розв’яжіть нерівність x2 - 2х < 0.

3*. Площа прямокутника дорівнює 180 см2, а його периметр становить 54 см. Знайдіть сторони прямокутника.

4. Побудуйте графік функції у = х2 - 2х - 3, дослідіть її.

Вправа ІІ

1°. Побудуйте графік функції:

2°. Розв’яжіть нерівність 2х - х2 > 0.

3. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює 61 см. Знайдіть довжини катетів цього трикутника, якщо його площа — 330 см2.

4. Побудуйте графік функції у - х2 + 2х - 3, дослідіть її.

Вправа ІІІ

1°. Побудуйте графік функції: а) у - х1; б) у - х2 + 2.

2°. Розв’яжіть нерівність х2 + 3х < 0.

3. Сума площ двох квадратів дорівнює 65 м2, а сума їх периметрів — 44 м. Знайдіть сторони цих квадратів.

4. Побудуйте графік функції у = 4х - х2 і дослідіть її.

Вправа VІ

1°. Побудуйте графік функції: а) у = -х3; б) у = 4 - х2.

2°. Розв’яжіть нерівність х2 - 4х > 0.

3. Площа прямокутника дорівнює 120 см2, а його периметр — 46 см. Знайдіть сторони та діагональ прямокутника.

4. Побудуйте графік функції у = х2 - 5х + 4, дослідіть її.

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

Функція — одне з найважливіших понять сучасної математики. Воно створювалося і збагачувалося протягом тривалого часу. Таблиці квадратів і кубів вавилонські вчені обчислювали ще понад 4 тисячоліття тому. А це ж — табличні задання функцій. Архімед визначав залежність площі круга і площі поверхні кулі залежно від їх радіусів. А рівності S = r2 і S - 4r2 задають функції.

На межі XVI - XVII ст. функції переважно задавалися словесно, графічно чи за допомогою таблиць. Тільки П. Ферма і Р. Декарт показали, як подавати залежність між змінними за допомогою рівнянь. Для графічного зображення різних залежностей вони застосовували систему координат.

Термін «функція» вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц (з 1673 — у рукописах, а з 1692 — у публікаціях). Символи для загального позначення функцій f(х) і y = f(x) запровадив у 1734 р. швейцарський математик Леонард Ейлер.

Навіть після введення слова «функція» відповідне йому поняття з часом змінювалося. Г. Лейбніц функціями називав довжини відрізків, які змінювалися залежно від зміни довжин інших відрізків. Л. Ейлер називав функцією вираз, складений зі змінної і чисел. Наприклад, вираз 3х + 5 — функція від змінної x, бо значення даного виразу залежить від значень х. Чеський математик Б. Больцано (1781 - 1848) ще більше розширив поняття функції, він під функцією розумів будь-яку залежність однієї величини від іншої.

Згодом більшість математиків під функцією розуміли залежну змінну величину, інші — відповідність між множинами чисел або й відношення (співвідношення) між елементами довільних множин.

Готфрід Лейбніц (1646 - 1716)

Леонард Ейлер (1707 - 1783)

Найзагальніше сучасне означення функції запропонувала в XX ст. група математиків, що виступала під псевдонімом Н. Бурбакі: «Функція — це відношення, при якому кожному елементу області відправлення відповідає рівно один елемент області прибуття». Під областю відправлення (областю визначення функції) і областю прибуття (областю її значень) розуміють будь-які множини, а не тільки числові.

Як бачимо, словом «функція» в різні часи називали то довжину відрізка, то вираз зі змінною, то змінну величину, то залежність між величинами, відповідність між значеннями величин, відношення між елементами двох множин.

В основній школі розглядають тільки найважливіші й найпростіші приклади функцій. Згодом ви ознайомитеся з іншими класами функцій: степеневими, показниковими, логарифмічними, тригонометричними тощо. Науковці розглядають також функції від двох, трьох і більшої кількості змінних.

Назви «парабола», «гіпербола» ввів давньогрецький математик Аполлоній (III ст. до н. е.). Ці криві він розглядав як лінії перетину конічної поверхні з площиною.

У сучасній математиці розглядають багато різних видів функцій. Докладно їх вивчають в окремих математичних дисциплінах: математичному аналізі і теорії функцій. У цих галузях успішно працювали й українські математики М. В. Остроградський, М. П. Кравчук, С. Н. Бернштейн, Є. Я. Ремез, С. Банах, Г. М. Фіхтенгольц, М. Г. Крейн, М. І. Шкіль та інші.

Головне в розділі

Функція — відповідність, при якій кожному значенню змінної x з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у. Множину D називають областю визначення, а множину всіх відповідних значень змінної y — областю значень даної функції. Якщо y — функція від x, то пишуть y = f(x).

y = ax2 + bx + c — квадратична функція (а = 0, b, c — довільні числа, а х — аргумент).

Графіки функцій y = ax2 + bx + c, y - ax2 + bx і y = ax2 — однакові параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.

Нулі функції — це значення її аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю. Проміжки області визначення функції, на яких функція не змінює знака (тобто має тільки додатні або тільки від’ємні значення), називають проміжками знакосталості.

Функцію називають зростаючою (або спадною) на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

Функція y = f(x) називається парною, якщо область її визначення симетрична відносно нуля і для всіх значень аргументу f(-x) = f(x). Функція y = f(x) називається непарною, якщо область її визначення симетрична відносно нуля і для всіх значень аргументу f(-x) = -f(x). Існують функції, які є ні парними, ні непарними.

Якщо відомо графік функції y = f(x), то за допомогою геометричних перетворень можна одержати графіки функцій y = - f(x), y = f(x - а), y = f(x) + b.

Наприклад, на малюнку показано, як за допомогою геометричних перетворень і графіка функції у = х2 можна отримати графік функції у = (х - 1)2, у = (х + 2)2, у = х2 + 2, у = х2 - 3.

Квадратною нерівністю називається кожна нерівність виду ax2 + bx + c * 0, де a, b, c — дані числа, x — змінна, а * — будь-який зі знаків нерівності:

<, >, ≤, ≥. Розв’язуючи таку нерівність, зручно уявляти, як розташований відносно осі x графік функції y = ax2 + bx + c.

З’ясовуємо досягнення

Тестові завдання № 2

1. R — це область визначення функції:

2. Областю значень функції у = х2 - 2х - 1 є проміжок:

3. На проміжку (0; зростаючою є функція:

4. Скільки нулів має функція у = х(х2 + 2)(х + 4):

а) один;

б) два;

в) три;

г) чотири?

5. Парабола — це графік функції:

6. Розв’язком нерівності х2 + 2х + 3 > 2 є проміжок:

а) (-∞; -3);

б) (-∞; -1) (-1; ∞);

в) (1; 2);

г) R.

7. Симетричним відносно точки (0; 0) є графік функції:

8. Розв’язком системи рівнянь є точка:

а) (-8; -2);

б) (8; 2);

в) (4; 2);

г) (-2; 8).

9. Парною є функція:

10. Функція у = 2х - х2 набуває найбільшого значення, якщо:

а) х = 0;

б) х = 1;

в) х = 2;

г) х = -2.

Типові завдання до контрольної роботи 3 2

1. Побудуйте графік функції у = 2х + 3. Знайдіть її область визначення та область значень. Установіть нулі функції та проміжки знакосталості.

2. Функцію задано формулою f(x) - (2х + 3)2. Знайдіть:

а) f(0);

б) f(-4);

в) f(3,5).

3. Побудуйте графік та дослідіть властивості функції:

а°) у = -х2 + 1;

б) y = (х + 1)2 - 4.

4. Розв’яжіть нерівність:

а°) (х + 5)(х - 3) > 0;

б) -5х2 + 3х + 2 < 0.

5. Побудуйте графік функції:

а) у = х2 + 4х + 3;

б) у = |6х - х2 - 5|.

6. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

7. Розв’яжіть систему рівнянь:

8. Якщо деяке двоцифрове число поділити на суму цифр, то в частці одержимо 8, в остачі буде 5, а якщо поділити його на добуток цифр, то в частці одержимо 10, а в остачі буде 1. Знайдіть це число.

9. Розв’яжіть нерівність:

10. Знайдіть, при яких значеннях с рівняння (с + 1)х2 + (3c - 2)х - с = 0 має два різних дійсних корені.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити