Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 ҐАУСС Йоганн Карл Фрідріх (1777-1855)

Числові послідовності

§ 16 Арифметична прогресія

Нехай дано послідовність, перший член якої 5, а кожний інший член на 3 більший від попереднього:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,….

Це арифметична прогресія з першим членом 5 і різницею 3.

Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число d називають різницею арифметичної прогресії.

Іншими словами, арифметична прогресія — це послідовність, яку можна задати такою рекурентною формулою:

a1 = a, an+1 = an+ d, де n N, a і d — задані числа.

Перший член і різниця арифметичної прогресії можуть бути якими завгодно числами. Арифметична прогресія зростаюча, якщо її різниця додатна, або спадна — якщо її різниця від’ємна. Приклад спадної арифметичної прогресії:

11, 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, … .

Щоб одержати будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, треба до попереднього члена додати різницю d. Тому якщо перший член і різниця арифметичної прогресії дорівнюють відповідно a1 і d, то її перші члени становлять:

a1, a1+ d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, … ,

тобто a2= a1 + d, a3 = a1 + 2d, a4 = a1 + 3d, a5 = a1 + 4d, … .

Зверніть увагу: коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Так само знаходимо a6 = a1 + 5d, а7 = a1 + 6d і взагалі:

an = a1 + (n - 1)d.

Це формула n-го члена арифметичної прогресії.

Приклад 1. В арифметичній прогресії a1 = 4, d = 3. Знайдіть a20.

Розв’язання. a20= a1+ 19d = 4 + 19 ∙ 3 = 61.

Відповідь. 61.

Приклад 2. В арифметичній прогресії a19 = 8, d = -1. Знайдіть a1.

Розв’язання. a19= a1+ 18d. Отже, 8 = a1 - 18. Тоді, a1 = 26.

Відповідь. 26.

Розглянемо кілька властивостей арифметичної прогресії.

Теорема 6. Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює півсумі двох сусідніх з ним членів:

Доведення. За означенням, d = an + 1 - an, d = an- an - 1.

Отже, an + 1 - an = an - an-1, звідси

Правильне й обернене твердження. Доведіть його самостійно.

Теорема 7. Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів:

ak + an - (k - 1) = a1 + an.

Нехай дано n членів скінченної арифметичної прогресії:

a1, a2, a3, a4, … , an - 3, an - 2, an - 1, an.

Додамо перший і останній її члени, потім — другий і передостанній, потім — третій член від початку і третій від кінця і т. д. Результати маємо однакові. Справді, якщо a1+ an= m, то:

Теорема 8. Сума n-перших членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює півсумі крайніх її членів, помноженій на число членів:

Доведення. Нехай Sn — сума n-перших членів арифметичної прогрес

a1, a2, a3, a4, …, an - 3, an - 2, an - 1, an.

Якщо a1 + an = m, то a2 + an-1 = m, a3 + an - 2 = m і т. д.

Враховуючи це, додамо почленно дві рівності:

За цією формулою знаходять суму перших п членів будь-якої арифметичної прогресії.

Приклад 3. Знайдіть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 5, 7, 9, … .

Розв’язання. Тут a1 = 5, d = 2. Тому a20 = 5 + 19 ∙ 2 = 43.

Відповідь. 480.

Суму n перших членів арифметичної прогресії можна також знаходити за формулою

Доведіть її самостійно.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Уявіть лінійну функцію, задану формулою y = 0,5x + 1. Її графік зображено на малюнку 120. Якщо аргументу х надавати тільки натуральних значень, тобто 1, 2, 3, … , то значення функції дорівнюватимуть відповідно:

1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; … .

Маємо арифметичну прогресію з першим членом 1,5 і різницею 0,5. Цій прогресії відповідає малюнок 121. Взагалі кожна функція y = ax + b, визначена на множині натуральних чисел, є арифметичною прогресією з першим членом a + b і різницею a. Тому вважають, що арифметична прогресія — це лінійна функція, задана на множині натуральних чисел.

Мал. 120

Мал. 121

Якщо така функція визначена на множині всіх натуральних чисел, то маємо нескінченну арифметичну прогресію. Якщо вона визначена на множині перших n натуральних чисел, то маємо скінченну арифметичну прогресію, яка містить n членів.

Перевірте себе

1. Сформулюйте означення арифметичної прогресії.

2. Що таке різниця арифметичної прогресії?

3. Як виражається n-й член арифметичної прогресії через її перший член і різницю?

4. Чому дорівнює сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців?

5. Чому дорівнює сума n перших членів арифметичної прогресії?

Виконаємо разом

1. Знайдіть суму всіх двоцифрових натуральних чисел.

• Розв’язання. Знайдемо суму чисел 10, 11, 12, … , 99. Це скінченна арифметична прогресія. Вона містить 90 членів, і тому її сума дорівнює:

Відповідь. 4905.

2. Чи є числа 1000 і 200 членами арифметичної прогресії з першим членом 5 і різницею 3?

• Розв’язання. Якщо 1000 є ї-м членом даної прогресії, то 1000 = 5 + (і - 1) ∙ 3 або 3 ∙ (і - 1) = 995. Оскільки 995 не ділиться на 3, то і не є натуральним числом.

Якщо 200 = 5 + (і - 1) ∙ 3, то 3 ∙ (і - 1) = 195, звідси і = 65. Відповідь. 1000 — не є членом даної арифметичної прогресії, а 200 — її 65-й член.

3. В арифметичній прогресії відомі а7 = 43 і а15 = 3. Знайдіть а10.

• Розв’язання. Підставимо дані задачі у формулу an = а1 + d ∙ (n - 1). Маємо:

Оскільки a10= a1 + 9d, то a10 =73 + 9 ∙ (-5) = 28.

Відповідь. 28.

Виконайте усно

643. Знайдіть різницю арифметичної прогресії:

а) 3, 5, 7, … ;

б) 12, 10, 8, … ;

в) -2, 1, 4, … ;

г) -7, -9, -11, … .

644. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 2. Знайдіть її перший член, якщо:

645. Чи є арифметичною прогресією послідовність:

а) 1, 3, 5, 8, 11, 14, … ;

б) 0, -1, -3, -5, -8, … ?

646. Які з послідовностей можуть бути арифметичними прогресіями? Укажіть для них перший член і різницю.

Рівень А

647. Напишіть п’ять перших членів арифметичної прогресії, якщо:

648. Напишіть сім перших членів арифметичної прогресії, якщо:

649. В арифметичній прогресії:

а) a1 = 5, d = -4. Знайдіть a7, a20;

б) a1= 9, d = 4. Знайдіть a15, a32.

650. В арифметичній прогресії a2 = 14, a3 = 25. Знайдіть d, a10, a20.

651. Знайдіть різницю і десятий член арифметичної прогресії:

652. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо:

653. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо:

654. В арифметичній прогресії а17 = 53, d = 3. Знайдіть a1, a5, a11, a21.

655. В арифметичній прогресії a10 = 5, a11 = -4. Знайдіть a1, d, a5, a21.

656. В арифметичній прогресії a25 = 5, a27 = 4. Знайдіть a7, a20.

657. В арифметичній прогресії a4 = 2, a6 = 3. Знайдіть a40, a41.

658. Знайдіть n-й член арифметичної прогресії:

659. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії;

660. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії:

661. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо:

а) a10 = 95, S10 = 500;

б) a15 = 47, S15 = 1500.

662. Знайдіть суму перших ста членів арифметичної прогресії:

663. Знайдіть суму перших сорока членів арифметичної прогресії, якщо:

664. В арифметичній прогресії відомі перший член a1 і різниця d. Знайдіть суму її перших п членів Sn, якщо:

665. Стародавня арабська задача. Знайдіть 20-й член і суму двадцяти членів арифметичної прогресії 3, 7, 11, 15, … .

666. Стародавня єврейська задача. Знайдіть суму шістдесяти перших натуральних чисел.

667. Учитель запропонував знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40; вважав, що школярі довго додаватимуть сорок чисел. А малий Карл Ґаусс (згодом відомий німецький математик) завдання виконав за хвилину. Як він міркував? Спробуйте завдання виконати усно.

668. Знайдіть суму перших ста натуральних чисел.

669. Знайдіть суму перших ста непарних натуральних чисел.

670. Ресора складається з десяти сталевих смуг (мал. 122). Довжина верхньої смуги 105 см, а кожна інша на 9 см коротша від попередньої. Знайдіть суму довжин усіх смуг ресори.

Мал. 122

671. Стародавня задача. Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 крб, а за кожний наступний — на 20 крб більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать карбованців за копання 12-метрової криниці?

Рівень Б

672. В арифметичній прогресії a1 = 0,1, d = 2. Знайдіть a9, an, a3p.

673. a1, a2, a3,… — арифметична прогресія. Знайдіть a30, якщо:

674. a1, a2, a3, a4,… — арифметична прогресія. Знайдіть a1, d, a21, a100, якщо:

675. Чи є число 253 членом арифметичної прогресії 15, 23, 31,.?

676. Чи є число 212 членом арифметичної прогресії:

а) 3, 14, 25, 36, …;

б) 275, 269, 263, 257, …?

677. Які з чисел -23, -14, -3, 1, 3, 14, 23 є членами арифметичної прогресії, n-й член якої:

а) an = 5n - 19;

б) bn = 0,1n + 11;

в) cn = 97 - 2n?

678. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

а) -10,3; -8,6; …;

б) -37,5; -35,7; …?

679. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія:

а) 2,5; 2,3; 2,1, …;

б) 176; 151; 126; …?

680. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

681. Скільки членів арифметичної прогресії 10, 16, 22, … міститься між числами 110 і 345?

682. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена:

а) cn= 5n - 3;

б) an= 2n + 10;

в) an= -3 - 0,5n.

683. Чи є арифметичною прогресією послідовність, n-й член якої:

а) an = 3n + 1;

б) bn = 5 - 4n;

в) сn = 2n + 1?

684. На стороні CA кута ACB від його вершини відкладено рівні відрізки і через їх кінці проведено паралельні прямі (мал. 123). Знайдіть довжини відрізків A3B3, A7B7, AnBn, якщо A1B1 = 2,5 см.

Мал. 123

685. a1, a2, a3, a4,… — арифметична прогресія, c — довільне число. Доведіть, що послідовність ca1, ca2, ca3, ca4,… — так само арифметична прогресія.

686. a1, a2, a3, … і x1, x2, x3, … — арифметичні прогресії. Доведіть, що арифметичною прогресією є і послідовність

a1 + x1, a2 + x2, a3 + x3, … .

687. Числа a2, b2, c2 не рівні й утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що арифметичну прогресію утворюють і числа:

688. Дано арифметичну прогресію, n-й член якої an. Доведіть, що:

а) a2+ a23= a13+ a12;

б) a20 - a16 = a10 - a6.

689. Задача Феофана Прокоповича. Якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкращий — 55 золотих, і ціна від одного до іншого коня весь час зростає на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней?

690. Знайдіть суму перших n членів арифметичної прогресії, якщо:

691. Знайдіть суму всіх парних натуральних чисел, менших за 200.

692. Знайдіть суму всіх непарних натуральних чисел, менших за 200.

693. Знайдіть суму натуральних чисел, менших від 1000, які кратні:

а) 3;

б) 5;

в) 12.

694. Знайдіть суму всіх цілих чисел, що належать проміжку:

а) [-30; 70];

б) [-70; -30];

в) (-70; 70).

695. В арифметичній прогресії 10 членів. Сума членів з непарними номерами дорівнює 10, а з парними — 25. Знайдіть її сьомий член.

696. а) Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайдіть суму її перших 25 членів.

б) Відкрита задача. Знайдіть суму перших … членів арифметичної прогресії, якщо її … член дорівнює 100.

697. Сума перших п’ятнадцяти членів арифметичної прогресії дорівнює 20, а сума перших її дванадцяти членів на 6 менша. Знайдіть суму перших 27 членів.

698. Знайдіть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена:

а) an= 2 + 5n;

б) an = 2n - 1;

в) an= -3 + n.

699. Знайдіть п’ятий член арифметичної прогресії, якщо суму n перших її членів можна знайти за формулою:

а) Sn = n2 - 6n;

б) Sn = 3n2 - n;

в) S = 4n2 - 2n.

700. Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює 14. Знайдіть суму перших дев’яти членів прогресії.

701. Задача Франкера. Скільки разів проб’є годинник упродовж 12 год, якщо він відбиває щопівгодини?

702. При вільному падінні фізичне тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а кожну наступну — на 9,8 м більше. Знайдіть: а) глибину шах-

ти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння; б) скільки секунд падала б гайка з висоти 490 м.

703. а) Міри кутів п’ятикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що міра одного з цих кутів дорівнює 108°. б) Складіть подібні задачі для трикутника і семикутника.

704. Кінці відрізків, паралельних основам трапеції, лежать на її бічних сторонах і ділять кожну з них на 8 рівних частин. Знайдіть довжини цих відрізків та їх суму, якщо основи трапеції а і b (мал. 124).

Мал. 124

Вправи для повторення

705.

706. Розв’яжіть нерівність:

707. На малюнку 125 зображено графік функції у = f(x). Установіть відповідність між абсцисами точок (1-4), що є аргументами функції у = f(x), і проміжками (А-Д), до яких належать значення цієї функції у заданих точках.

Мал. 125

Скарбничка досягнень

Розумію, що таке арифметична прогресія.

ü Можу сформулювати означення арифметичної прогресії.

ü Можу навести приклади арифметичних прогресій і встановити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією.

ü Знаю, що таке різниця арифметичної прогресії d = аn+1 - аn.

ü Знаю, якими формулами задають арифметичну прогресію

У Можу пояснити і сформулювати властивості арифметичної прогресії

ü Знаю та вмію використовувати формулу суми перших п членів арифметичної прогресії

ü Умію задавати арифметичну прогресію за даними її членами чи співвідношеннями між ними.

ü Умію знаходити невідомі члени арифметичної прогресії.

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке арифметична прогресія.

— Що таке наступний і попередній члени послідовності.

— Що таке формула n-го члена і рекурентна формула.

— Якими формулами можна задати арифметичну прогресію:

— Які властивості має арифметична прогресія:

Як обчислюють суму перших n членів арифметичної прогресії:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити