Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 ҐАУСС Йоганн Карл Фрідріх (1777-1855)

Числові послідовності

§ 17 Геометрична прогресія

Розглянемо задачу з індійського фольклору. Цар дуже любив шахи і обіцяв винахідникові гри велику нагороду. Винахідник запросив за першу клітину шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — дві, за третю — чотири і далі за кожну клітину вдвічі більше, ніж за попередню. Цар здивувався, що винахідник так мало просить. Але обіцянку не зміг виконати. Чому? Про це ви дізнаєтеся, вивчивши властивості геометричної прогресії.

Геометричною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число q називають знаменником геометричної прогресії.

Перший член b1 і знаменник q геометричної прогресії можуть бути будь-якими числами, відмінними від нуля.

Іншими словами, геометрична прогресія — це послідовність, яку можна задати такою рекурентною формулою:

b1 = b, bn+1 = bn ∙ q, де n N, b ≠ 0 і q ≠ 0 — задані числа.

Приклади геометричних прогресій:

Зауваження. Кожну арифметичну прогресію з різницею 0 можна вважати також геометричною прогресією зі знаменником 1.

Геометрична прогресія з першим членом b1 і знаменником q має такі перші члени: b1, b1q, b1q2, b1q3, b1q4, ... .

Її другий член b2 = b1q, третій — b3 = b1q2, а n-й член — bn = b1n-1.

Це формула n-го члена геометричної прогресії.

Приклад 1. У геометричній прогресії b1 = 5, q = 2. Знайдіть b10.

Розв’язання. b10 = b1q10-1, b10 = 5 ∙ 29 = 2 5 60.

Відповідь. 2560.

Приклад 2. Перший і сьомий члени геометричної прогресії дорівнюють відповідно

Знайдіть її знаменник q.

Розв’язання. За формулою n-го члена геометричної прогресії

Відповідь.

Розглянемо властивості геометричної прогресії.

Теорема 9. Квадрат кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх його членів:

Доведення. За означенням,

Отже,

Правильне й обернене твердження. Доведіть його самостійно.

Теорема 10. Сума n перших членів геометричної прогресії за умови, що q ≠ 1, виражається формулою:

Доведення.

Нехай Sn = b1 + b1q + b1q2 +... + b1qn - 2 + b1 qn - 1. Помножимо обидві частини рівності на q:

Snq = b1q + b1q2 + b1qz +... + b1qn - 1 + b1qn.

Віднімемо почленно від цієї рівності попередню, однакові доданки b1q, b1q2, b1q3, ..., b1qn - 1 взаємно знищаться. У результаті матимемо: Snq - Sn = bq - b1, або Sn(q - 1) = b1(qn - 1),

Звідси

Це формула суми n перших членів геометричної прогресії з першим членом b1 і знаменником q Ф1.

Якщо q = 1, то цією формулою користуватись не можна (ділити на 0 не можна). У цьому випадку кожний член геометричної прогресії дорівнює b1, тому Sn = nb1.

Приклад 3. Знайдіть суму перших двадцяти членів геометричної прогресії 2, 6, 18, 54, ....

Розв’язання. Тут b1 = 2, q = 3, тому

Відповідь. 320 - 1.

Суму n-перших членів геометричної прогресії можна також знаходити за формулою

Доведіть її самостійно.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Сума n членів геометричної прогресії' зі збільшенням числа n зростає дуже швидко. Розв’яжемо задачу з індійського фольклору, яку ми розглянули на с. 171. Розв’язання. Звичайна шахівниця має 64 клітини. Тому цар мав би дати винахіднику всього зернин

Спробуйте обчислити цю суму. Ми оцінимо тільки 264:

25 = 32, 210 = 322 = 1024 > 103.

264 = 24 ∙ (210)6 > 16 ∙ (103)6 = 16 ∙ 1018 = 16 000 000 000 000 000 000.

Якщо приймемо, що маса 400 зернин становить 1 кг, то маса 264 зернин більша за 16 ∙ 1018 : (4 ∙ 103) = 4 ∙ 1015 (кг), або 4 ∙ 1012 т.

І це наближене значення. Такої кількості зерна не зможуть зібрати всі країни світу впродовж сотень років.

Геометрична прогресія 2, 4, 8, 16, 32... — послідовні значення функції у = 2x, визначеної на множині натуральних чисел.

Перевірте себе

1. Наведіть приклад геометричної прогресії.

2. Сформулюйте означення геометричної прогресії.

3. Що таке знаменник геометричної прогресії?

4. Як виражається n-й член геометричної прогресії через її перший член і знаменник?

5. Сформулюйте властивість геометричної прогресії.

6. Чому дорівнює сума n перших членів геометричної прогресії?

Виконаємо разом

1. У геометричній прогресії b4 = 2, b7 = -54. Знайдіть b1 і q.

• Розв’язання. За формулою n-го члена b4 = b1 ∙ q3 і b7 = b1 ∙ q6. Підставимо в ці рівності значення b4 = 2, b7 = -54 і розв’яжемо систему

Поділимо почленно друге рівняння на перше:

Маємо: q3 = -27 і q = -3.

З першого рівняння системи знайдемо b1:

Відповідь.

2. Знайдіть суму п’яти членів геометричної прогресії, у якій b1 = 8,

Розв’язання. Перший спосіб. Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою

Якщо n = 5,

Другий спосіб. Випишемо 5 членів даної прогресії: 8, 4, 2, 1, .

Їх суму знайдемо простим додаванням:

Відповідь.

Зверніть увагу на цей спосіб!

Виконайте усно

708. Укажіть три наступних члени геометричної прогресії:

709. Чи є геометричною прогресією послідовність:

Якщо так, то вкажіть її знаменник.

710. Чи є геометричною прогресією послідовність:

711. Чи є геометричною прогресією послідовність 7n, 7n + 1, 7n + 2, 7n+3, де n — довільне натуральне число?

А послідовність 7n, -7n + 1, 7n + 2, -7n+3?

Рівень А

712. Напишіть сім перших членів геометричної прогресії, у якій:

713. Напишіть п’ять перших членів геометричної прогресії, у якій:

714. Знайдіть знаменник і п’ятий член геометричної прогресії:

а) 1, 3, ...;

б) 0,1, 0,01, ...;

в) 625, 125, ...;

г) 4, -2, ....

715. У геометричній прогресії b1 = -3, q = 2. Знайдіть b4, b7, bn.

716. Знайдіть перший член геометричної прогресії, у якій:

а) b8 = 384, q = 2;

б) b5 = 31,25, q = -2,5.

717. b1, b2, b3, b4,... — геометрична прогресія. Знайдіть b12, якщо:

718. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії, якщо:

719. Напишіть формулу n-го члена геометричної прогресії:

720. Знайдіть номер n-го члена геометричної прогресії, у якій:

а) b1 = 4, q = 3, bn = 324;

б) b1 = -8, q = 2, bn = -256.

721. A1C1 — середня лінія ABC , A2C2 — середня лінія A1BC1, A3C3 — середня лінія A2BC2 і т. д. (мал. 126). Чи правильно, що довжини відрізків AC, A1C1, A2C2, ... утворюють геометричну прогресію?

Мал. 126

722. У геометричній прогресії перший член b1, знаменник q. Знайдіть суму її перших членів, якщо:

723. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії, якщо:

724. Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії:

а) -2, 10, ...;

б) 5, 10, .;

в) 32, -16, ...;

г) 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...;

ґ) 5, 10, 20, 40, 80, ....

725. Знайдіть суму п’ятнадцяти перших членів геометричної прогресії:

а) 1, 2, 4, 8, ...;

б) 1024, 512, 256, ...;

в) 1, -2, 4, -8, ... ;

г) 1024, -512, 256, ... .

726. Старовинна задача. Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на два тижні за таких умов: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб, другого — 2, третього — 3 і т. д., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 копійку, другого — 2, третього — 4 і т. д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю на це згодився, вважаючи умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?

727. Задача Ейлера. Чоловік, продаючи коня, запропонував покупцеві заплатити лише за цвяхи, якими прибито підкови до копит того коня. За перший цвях — 1 пфеніг, за другий — 2, за третій — 4 і т. д. — за кожний удвічі більше, ніж за попередній. За скільки він продавав коня, якщо цвяхів було 32?

Рівень Б

728. b1, b2, b3, ... — геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо:

729. Запишіть формулу n-го члена геометричної прогресії:

730. Чи є число 384 членом геометричної прогресії:

731. Яке з чисел -27, -9, 18, 20, 27 є членом послідовності, n-й член якої:

732. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії, у якій:

а) b1 + b3 = 10, b2 + b4 = 30;

б) b5 - b1 = 15, b4 - b2 = 6.

733. Чи є послідовність, задана формулою cn = (-3)n + 2, геометричною прогресією? Якщо так, то знайдіть її перший член і знаменник.

734. Доведіть, що задана послідовність (xn) є геометричною прогресією:

735. Доведіть, якщо a, b, c — геометрична прогресія, то:

(a2 + b2)c = (b2 + c2)a.

736. Дано геометричну прогресію b1, b2, b3, b4, .... Доведіть, що геометричними прогресіями є також послідовності:

737. П’ятий член геометричної прогресії дорівнює 1. Чому дорівнює добуток дев’яти її перших членів?

738. Шостий член геометричної прогресії дорівнює -2. Чому дорівнює добуток одинадцяти її перших членів?

739. Знайдіть три числа, які становлять геометричну прогресію, знаючи, що їх сума дорівнює 21, а добуток — 216.

740. Числа геометричної прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 розмістіть у дев’яти клітинках квадрата так, щоб їх добутки в кожному рядку, в кожному стовпчику і в кожній діагоналі дорівнювали один одному.

741. Після кожного руху поршня розріджувального насоса з посудини забирається 5 % наявного в ній повітря. Визначте тиск повітря всередині посудини після десяти рухів поршня, якщо початковий тиск дорівнював 760 мм рт. ст.

742. Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати геометричну прогресію?

743. У гострий кут вписано n кіл, які дотикаються одне до одного (мал. 127). Доведіть, що довжини їх радіусів утворюють геометричну прогресію. Від чого залежить її знаменник?

Мал. 127

744. Напишіть кілька перших членів послідовності з такими властивостями: b1 = 1, bn = 3bn-1. Напишіть формулу її n-го члена. Знайдіть b1 i S10.

745. Між числами вставте такі чотири числа, які разом з даними числами утворюють геометричну прогресію. Знайдіть її суму двома способами.

746*. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії, у якій:

747. Знайдіть чотири числа, з яких три перших є послідовними членами геометричної прогресії, а три останніх — членами арифметичної прогресії, якщо сума крайніх чисел дорівнює 21, а сума середніх — 18.

748. Знайдіть такі числа х, у, z, t, щоб послідовність х, у, -2, z, -8, t була геометричною прогресією.

749. Починаючи з якого номера члена геометричної прогресії: а) 729, 243,... усі її члени будуть меншими за 0,01; ... усі її члени будуть більшими за 5?

750. Виведіть формулу для обчислення добутку n перших членів геометричної прогресії.

751. Старовинна задача. Було це майже сто років тому. Селянин продавав 20 овець за 200 крб. Коли один з покупців почав надто довго торгуватись, селянин запропонував: «Дай за першу вівцю 1 к., за другу — 2 к., за третю — 4 к. і далі за кожну вівцю вдвічі більше копійок, ніж за попередню». Покупець погодився. Скільки він заплатив за тих 20 овець?

752. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій в організмі буде за добу?

753. Уявімо, що на початку нашої ери жінка M народила дві дочки, кожна з них до 30 років так само народила дві дочки і т. д. Чи можливо це? Скільки б за таких умов нащадків M жило в наш час?

Вправи для повторення

754. Знайдіть область значень функції y = x2, заданої на проміжку:

а) (0; 3);

б) (-5; -3);

в) [-2; 3);

г) [-4; 4).

755. На малюнку 128 зображено кілька фігур, складених із сірників (F1, F2, F3).

Уявіть, що послідовність таких фігур продовжено. Скільки треба сірників, щоб скласти фігуру F9?

756. Маса одного куска металу 440 г, а другого — 429 г. Знайдіть густину кожного з цих

металів, якщо густина першого на 1 г/см більша, а об’єм на 5 см3 менший, ніж другого.

Мал. 128

757. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

Скарбничка досягнень

ü Розумію, що таке геометрична прогресія.

ü Можу сформулювати означення геометричної прогресії.

ü Можу навести приклади геометричних прогресій і встановити, чи є задана послідовність геометричною прогресією.

ü Знаю, що таке знаменник геометричної прогресії q - bn+1 : bn.

ü Знаю, якими формулами задають геометричну прогресію

ü Можу пояснити і сформулювати властивість геометричної прогресії

ü Знаю та вмію використовувати формулу суми перших n членів геометричної прогресії

ü Умію задавати геометричну прогресію за даними її членами чи співвідношеннями між ними та знаходити невідомі члени геометричної прогресії.

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке нескінченна послідовність.

— Які послідовності називають зростаючими, а які — спадними.

— Що таке геометрична прогресія.

— Що таке наступний і попередній члени послідовності.

— Якою формулою задають геометричну прогресію: bn - b1 ∙ qn-1

— Як обчислюють суму перших n членів геометричної прогресії:

— Що таке періодичний десятковий дріб і як його записують:

— Що таке модуль числа.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити