Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 3 ҐАУСС Йоганн Карл Фрідріх (1777-1855)

Числові послідовності

§ 18 Задачі на обчислення сум

Досі ми не обчислювали сум нескінченного числа доданків, однак іноді є сенс розглядати і такі суми. Чому, наприклад, дорівнює сума

усіх членів нескінченної геометричної прогресії

Нехай площа зображеного на малюнку 129 квадрата b1 дорівнює 1, а площі прямокутників b2, b3, b4, … — відповідно

Якщо кількість цих прямокутників збільшувати до нескінченності, то сума їх площ як завгодно близько наближатиметься до числа 2. Тому вважають, що

Узагальнимо розглянутий приклад. Нехай дано нескінченну геометричну прогресію b1, b1q, b1q2, b1q3,…, знаменник якої |q| < 1. За відомою формулою,

Мал. 129

Тут число стале, а n — змінне. Якщо |q| < 1, то при необмеженому збільшенні n степінь qn прямує до 0 (пишуть: якщо n ∞ то qn 0). При цьому і дріб прямує до 0.

Отже, якщо n то

Тому домовились сумою нескінчен ної геометричної прогресії з першим членом b1 і знаменником |q| < 1 вважати число

Іншими словами, якщо |q| < 1 і b1 + b1q + b1q2 + … = S, то

Приклад 1. Знайдіть суму геометричної прогресії 4,

Розв’язання. Тут b1 = 4, тому шукана сума

Відповідь. S = 3.

За допомогою формули нескінченні періодичні десяткові дроби можна записувати у вигляді звичайних дробів.

Приклад 2. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний десятковий дріб:

а) 0,(2); б) 1,(6); в) 0,(23).

Розв’язання.

Відповідь.

Зверніть увагу! Нескінченний десятковий періодичний дріб, ціла частина якого дорівнює нулю, а період стоїть одразу після коми, дорівнює звичайному дробу, чисельником якого є число, що стоїть у періоді, а знаменник містить стільки дев’яток, скільки цифр у періоді.

Подумайте, як записати у вигляді звичайного дробу, наприклад, число 1,5(6).

Досі ми знаходили суми членів найпростіших послідовностей: арифметичної та геометричної прогресій. Нерідко виникає потреба обчислювати суми членів інших послідовностей. Розглянемо приклади.

Приклад 3. Знайдіть суму S перших ста членів послідовності

Розв’язання. Кожний член даної послідовності можна подати у вигляді різниці:

Відповідь.

Приклад 4. Знайдіть суму квадратів n перших натуральних чисел. Розв’язання. За формулою «куб двочлена», (а + 1)3 = а3 + 3а2 + 3а + 1, звідси 3а2 = (а + 1)3 - а3 - 3а- 1. Надаючи змінній а послідовно значення 1, 2, 3, … , n, одержимо n правильних числових рівностей:

Додавши почленно всі ці рівності (числа 23, 33, 43,…, n3 взаємно знищаться), одержимо тотожність:

3 ∙ (12 + 22 + 32 +… + n2) = (n + 1)3 - 3(1 + 2 + 3 + … + n) - n - 1, звідси

Відповідь.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Зверніть увагу на вираз a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4. Це сума перших п’яти членів геометричної прогресії з першим членом a4 і знаменником

За формулою суми членів геометричної прогресії,

Формули «різниця квадратів» і «різниця кубів» — окремі випадки цієї загальної формули.

Перевірте себе

1. Як знайти суму n-перших натуральних чисел?

2. Чому дорівнює сума всіх цілих чисел від -100 до 100?

3. Чи існує сума членів нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої більший за 1?

4. Чому дорівнює сума членів нескінченної геометричної прогресії, модуль знаменника якої менший за 1?

5. Чому дорівнює сума нескінченної кількості доданків:

Виконаємо разом

1. Знайдіть суму доданки якої — члени геометричної прогресії.

Розв’язання. Перший член прогресії — число 3, а знаменник , тому шукана сума

Відповідь. 4,5.

2. Спростіть вираз:

• Розв’язання. Помножимо і поділимо задану суму на 4. Одержимо:

Відповідь.

3. Подайте періодичний дріб 0,2(35) у вигляді звичайного:

Відповідь.

Виконайте усно

758. Знайдіть суму членів послідовності:

-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

759. Знайдіть суму ста членів арифметичної прогресії, у якої a1 = 3, d = 0.

760. Чому дорівнює сума: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10?

761. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

762. Знайдіть суму, доданками якої є послідовні члени геометричної прогресії:

763. Задача Архімеда. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

764. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

765. Подайте у вигляді звичайного дробу нескінченні періодичні десяткові дроби:

а) 0,3333…;

б) 0,6666…;

в) 0,111111 … .

766. Запишіть нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного дробу:

а) 0,(4);

б) 0,(5);

в) 0,(12);

г) 0,(25).

767. Дано рівносторонній трикутник зі стороною 1 см. Середини його сторін — вершини другого трикутника, середини сторін другого — вершини третього трикутника і т. д. (мал. 130). Знайдіть суму периметрів усіх цих трикутників.

768. Відкрита задача. Сформулюйте і розв’яжіть задачу про квадрати, подібну до задачі 767.

Мал. 130

769. Задача Орема. Доведіть, що:

Рівень Б

770. Знайдіть суму членів нескінченної геометричної прогресії:

771. У коло радіуса r вписано правильний трикутник, у трикутник вписано друге коло, у яке знову вписано правильний трикутник, і т. д. Знайдіть суму периметрів усіх трикутників і суму довжин усіх кіл.

772. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний десятковий дріб:

а) 10,(4);

б) 3,0(6);

в) 0,(24);

г) 1,4(7).

773. Запишіть у вигляді звичайного дробу число:

а) 3,(5);

б) 21,(21);

в) 1,1(6);

г) 10,00(52).

774. У 1833 Ґаусс разом із молодим талановитим фізиком винайшов перший у Німеччині електромагнітний телеграф і побудував його модель, за допомогою якої з’єднали фізичний кабінет Геттінгенського університету з обсерваторією. Установіть відповідність між числовими виразами (1-5) та їх значеннями (А-Д) і ви дізнаєтеся ім’я цього відомого фізика і зрозумієте, чию іншу постать поруч із К. Ф. Ґауссом відображає скульптурна композиція біля Геттінгенського університету.

775. Відомо, що |а| < 1, |х| < 1. Спростіть нескінченні суми:

а) 1 + a + a2 + a3 +…;

б) 1 - x + x2 - x3 +….

776. Знайдіть суму нескінченного числа доданків:

кожний з яких удвічі менший від попереднього.

777. Запишіть таку нескінченно спадну геометричну прогресію, перший член якої дорівнює 3, а сума членів становить 4.

778. Перший член нескінченно спадної геометричної прогресії на 8 більший, ніж другий, а її сума дорівнює 18. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

779. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1,5, а сума їх квадратів — 1,125. Знайдіть перший член і знаменник цієї прогресії.

780. Знайдіть суму ста перших доданків:

781. Знайдіть суму перших сорока членів послідовності:

782. Доведіть тотожність:

1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n + (n - 1) + … + 3 + 2 + 1 = n2. З’ясуйте її геометричний зміст за малюнком 131.

Мал. 131

Мал. 132

783. Доведіть тотожність: 8 ∙ (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) + 1 = (2n + 1)2. З’ясуйте її геометричний зміст за малюнком 132.

Розв’яжіть рівняння, у лівій частині якого — сума членів геометричної прогресії (784—785).

784.

785.

Доведіть тотожність (786—788).

786.

787.

788. Спростіть вираз:

789. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 3a (мал. 133, а). Поділивши його сторону на три рівні відрізки, кожний середній з них замінимо ламаною, складеною з двох таких самих відрізків і кутом 60° між ними, як показано на малюнку 133, б. Кожну сторону утвореного зірчастого многокутника поділимо на три рівні відрізки і знову кожний середній із них замінимо подібною ламаною і т. д. Утворену в такий спосіб замкнену лінію називають сніжинкою Коха. Вважаючи рівносторонній трикутник першим членом послідовності сніжинок Коха, запишіть послідовність: а) кількостей сторін сніжинок; б) довжин їх сторін; в) їх периметрів. Які з цих послідовностей є арифметичними або геометричними прогресіями?

Мал. 133

790. Знайдіть довжину сторони, периметр і площу третьої сніжинки Коха (мал. 133, в), утвореної з рівностороннього трикутника зі стороною 3 см. Чи існує сніжинка Коха, периметр якої удвічі (утричі) більший від правильного трикутника, з якого її утворено?

Скарбничка досягнень

Розумію, що таке нескінченна геометрична прогресія.

ü Можу навести приклади нескінченної геометричної прогресії.

ü Розумію, що таке сума нескінченної геометричної прогресії (|q| < 1).

ü Знаю та вмію використовувати формулу суми нескінченної геометричної прогресії:

ü Умію записувати періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

ü Хочу навчитися знаходити суми членів деяких числових послідовностей.

Завдання для самостійної роботи

Варіант І

1°. Послідовність 3, 7, 11, 15, … — арифметична прогресія. Визначте її n-й, 50-й члени і суму перших п’ятдесяти членів.

2°. Послідовність 2, -6, 18, -54, … — геометрична прогресія. Визначте її n-й член і суму перших семи членів.

3*. Знайдіть знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо її перший, другий і четвертий члени утворюють арифметичну прогресію.

Варіант ІІ

1°. Послідовність 2, 7, 12, 17, … — арифметична прогресія. Визначте її n-й, 40-й члени і суму перших сорока членів.

2. Послідовність 2, -4, 8, -16, … — геометрична прогресія. Визначте її n-й член і суму перших десяти членів.

3. Знайдіть знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо другий, третій і п’ятий її члени утворюють арифметичну прогресію.

Варіант ІІІ

1°. Послідовність 5, 9,13, 17, … — арифметична прогресія. Визначте її n-й, 50-й члени і суму перших п’ятдесяти членів.

3. Послідовність 3, -6, 12, -24, … — геометрична прогресія. Визначте її n-й член і суму перших десяти членів.

3. Знайдіть знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо її третій, четвертий і шостий члени утворюють арифметичну прогресію.

Варіант VI

1°. Послідовність 4, 7,10,13, … — арифметична прогресія. Визначте її n-й, 60-й члени і суму перших шістдесяти членів.

3. Послідовність 3, -9, 27, -81, … — геометрична прогресія. Визначте її n-й член і суму перших восьми членів.

3. Знайдіть знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо її четвертий, п’ятий і сьомий члени утворюють арифметичну прогресію.

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

У єгипетському папірусі Ахмеса (II тис. до н. е.) є така задача. «Нехай тобі сказано: поділи 10 мір ячменю між десятьма людьми

так, щоб кожен дістав на міри більше, ніж сусід». Ідеться про

знаходження десяти членів арифметичної прогресії, сума яких дорівнює 10, а саме:

Стародавні вавилоняни обчислювали, зокрема, суму членів геометричної прогресії 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29.

Давньогрецькі математики ще в V ст. до н. е. знали, що

Правила для знаходження суми членів геометричної прогресії є в «Основах» Евкліда.

Архімед вивів правила для знаходження суми квадратів перших n натуральних чисел, умів він також обчислювати суми членів нескінченних спадних геометричних прогресій. Співвідношення 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2, яке дає можливість обчислювати суму кубів перших n натуральних чисел, відкрив у XI ст. багдадський математик Абу Бекрі.

Термін прогресія походить від латинського progredior — «іду вперед»; progression — «рух уперед», «успіх», «поступове підсилення».

У XVII ст. для позначення відповідно геометричної та арифметичної прогресії почали використовувати знаки — (увів В. Отред, 1631) і т (поширив Т. Ланьї, 1692).

Формулу суми нескінченної геометричної прогресії вивів Е. Торрічеллі, а А. Таке опублікував цей результат у роботі «Арифметична теорія і практика, ретельно обґрунтована» (1656).

Оригінальний метод знаходження сум n членів багатьох числових послідовностей, таких як

розробив український математик В. Я. Буняковський (див. с. 68).

Головне в розділі

Числова послідовність — це функція, задана на множині всіх або перших n натуральних чисел.

Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме стале для цієї послідовності число. Це число називають різницею даної арифметичної послідовності й позначають буквою d.

Перші послідовні члени арифметичної прогресії позначають буквами

a1, a2, a3,…, an, … .

Її n-й член: an= a1 + (n - 1)d.

Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює півсумі крайніх її членів, помноженій на число членів:

Геометричною прогресією називають числову послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме стале для даної послідовності число. Це число називають знаменником прогресії й позначають буквою q. Вважають, що b1 ≠ 0, q ≠ 0.

Якщо перші члени геометричної прогресії b1, b2, b3, …, bn, …, то її n-й член: bn = b1qn - 1.

Сума n перших членів геометричної прогресії за умови, що q Ф1, виражається формулою:

Якщо q = 1, то Sn = nb1.

Якщо модуль знаменника нескінченної геометричної прогресії менший від 1, то можна визначити суму всіх її членів за формулою:

За допомогою останньої формули нескінченні періодичні десяткові дроби можна записувати у вигляді звичайних дробів:

З’ясовуємо досягнення

Тестові завдання № 2

1. Знайдіть сьомий член арифметичної прогресії, якщо a6 + a8 = 20.

а) 5;

б) 20;

в) 10;

г) 15.

2. Обчисліть перший член геометричної прогресії, якщо b3 = 4, а b4 = 2.

а) 2;

б) 4;

в) 8;

г) 16.

3. Знайдіть п’ятий член послідовності, заданої формулою а1 = 2, аn+1 = 3 ∙ аn.

а) 162;

б) 54;

в) 18;

г) 93.

4. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

5. Знайдіть суму всіх парних двоцифрових чисел.

а) 2408;

б) 2450;

в) 2440;

г) 2430.

6. Знайдіть добуток членів геометричної прогресії b3 ∙ b4 ∙ b5, якщо b4 = 2.

а) 4;

б) 14;

в) 8;

г) 60.

7. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії 2, 6,… .

а) an= n2+ n;

б) an= 4n - 2;

в) an= 4n + 2;

г) an = n - n2.

8. Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії, якщо b1 = 3, q = 2.

а) 197;

б) 90;

в) 189;

г) 93.

9. Які два числа слід вставити між числами 2 і 31,25, щоб разом вони утворили геометричну прогресію?

а) 1 і 7;

б) 3 і 4,5;

в) 2,5 і 8;

г) 3,5 і 4.

10. Під яким номером у геометричній прогресії 3, 6,… міститься число 384?

а) 7;

б) 9;

в) 8;

г) 10.

Типові завдання до контрольної роботи № 3

1. В арифметичній прогресії at = 4, а2 = 14.

Знайдіть: a) d; б) а 5; в) S10.

2. У геометричній прогресії b1 = 16, b2 = 8.

Знайдіть: а) q; б) b6; в) S5.

3. Знайдіть восьмий член арифметичної прогресії, якщо а2 + а14 = 20.

4. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

5. Подайте у вигляді звичайного дробу:

а) 0,(2);

б) 0,(25);

в) 0,3(8).

6. Знайдіть кількість п членів геометричної прогресії, у якій

7. Починаючи з якого номера члени арифметичної прогресії -3,6; -3,3; -3, … стануть додатними?

8. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які менші за 100 і діляться на 6.

9. У саду перша дитина зірвала один персик, друга — два, а кожна наступна — на один персик більше. Потім усі, хто рвав персики, розділили їх між собою порівну і кожен одержав по 6 персиків. Скільки дітей рвали персики?

10. Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою Sn = 2(5n - 1).

Знайдіть: a) S4; б) а5.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити