Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

§ 20 Частота та ймовірність випадкової події

Одним із розділів сучасної математики є теорія ймовірностей. Її найважливіші поняття — ймовірнісний експеримент (випробування, спостереження), подія (наслідок випробування) і ймовірність події. Наведемо приклади випробувань та їх окремих наслідків — деяких подій.

Випробування

Подія

Підкидання монети

Монета упала догори гербом

Написання контрольної роботи

Ви отримали 12 балів

Очікування ранку

Ранок настав

Підкидання грального кубика

Випало 7 очок

Остання подія неможлива, бо на гранях грального кубика немає сімки. Подія 3 достовірна (вірогідна), бо після ночі завжди наступає ранок. Події 1 і 2 випадкові.

Взагалі, подія називається неможливою, якщо вона ніколи не може відбутися, достовірною — якщо вона завжди відбувається. Якщо подія може відбутися або не відбутися, її називають випадковою.

Події позначають великими латинськими буквами A, B, C,... або однією латинською буквою з індексом: A1, A2, A3,..., An. Зміст події подають у фігурних дужках. Наприклад, третю подію з таблиці можна записати так:

A3 = {настав ранок}.

Сказати наперед про випадкову подію, що вона відбудеться чи не відбудеться, не можна. Якщо ж ця подія масова, виконується багато

разів і за однакових умов, то ймовірність її наставання можна характеризувати деяким числом.

Розглянемо експеримент, який полягає в підкиданні симетричної однорідної монети і фіксації того боку, яким монета упала догори. Його можна проводити в одних і тих самих умовах яку завгодно кількість разів. У таблиці подаються результати восьми серій таких випробувань.

Номер серії

1

2

3

4

5

6

7

8

Кількість підкидань, n

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Кількість гербів, n(Г)

501

986

1495

2036

2516

3004

3504

3997

Відносна частота появи n (г)

герба, n(г)\n

0,501

0,493

0,498

0,509

0,503

0,501

0,501

0,500

Число в останньому рядку таблиці для кожної серії визначається як відношення кількості випадання герба до загальної кількості підкидань монети в цій серії випробувань. Воно називається відносною частотою появи події. Якщо дані таблиці зобразити графічно (мал. 138), то можна побачити, що відносна частота появи герба коливається навколо числа 0,5 і мало відрізняється від нього.

Мал. 138

Якщо в n випробуваннях подія X відбувається m разів, то дріб визначає відносну частоту появи події X. Число, біля якого коливається відносна частота події, виражає ймовірність цієї події; її позначають буквою P (від англійського слова probability — ймовірність).

Цей термін увів Б. Паскаль. У листі до П. Ферма від 28 жовтня 1654 р. він писав: «Більшість людей вважають, що коли вони про що- небудь не мають повного знання (а ми ніколи не маємо повного знання), то вони взагалі нічого про це не знають. Я переконаний, що такі думки глибоко помилкові. Часткове знання теж є знанням, і неповне переконання все ж має деяке значення, особливо коли мені відомий ступінь цієї впевненості. Хтось може запитати: «А чи можна виміряти міру впевненості числом?». «Звичайно, — відповім я, — люди, які грають в азартні ігри, обґрунтовують свою впевненість саме так. Коли гравець кидає гральний кубик, він наперед не знає, яке саме число очок випаде. Але дещо він все-таки знає. Наприклад, те, що всі шість чисел — 1, 2, 3, 4, 5, 6 — мають однакові шанси на успіх. Якщо ми домовимося вважати можливість появи достовірного за одиницю, то можливість випадання шістки, як і кожного з інших п’яти чисел, виразиться дробом ».

Зазначу відразу, що міру можливості (впевненості) події я назвав імовірністю. Я багато розмірковував над вибором відповідного слова і, нарешті, саме його вважаю найвиразнішим».

Б. Паскаль визначав імовірності деяких подій без проведення випробувань. Це можна зробити тоді, коли наслідки випробувань утворюють скінченну множину і є рівноможливими, тобто в умовах проведеного випробування немає підстав уважати появу одного з наслідків більш чи менш можливим порівняно з іншими.

Розглянемо приклад. Кидають один раз правильний однорідний гральний кубик (мал. 139) і фіксують суму очок на грані, що випала догори. Результатом такого випробування можуть стати 6 різних подій:

E1 = {випаде одне очко};

Е2 = {випаде два очки};

Е3 = {випаде три очки};

Е4 = {випаде чотири очки};

Е5 = {випаде п’ять очок};

Е6 = {випаде шість очок}.

Мал. 139

Ці шість подій охоплюють і вичерпують усі можливі наслідки експерименту. Вони попарно несумісні, бо кожного разу випадає тільки одна кількість очок. Усі шість подій однаково можливі, бо йдеться про однорідний кубик правильної форми і спритність гравця виключається. У такому разі говорять, що для здійснення кожної з цих подій існує один шанс із шести.

Кожну з подій Е1—Е6 для наведеного вище випробування називають елементарною, а всю їх множину — простором елементарних подій.

Елементарною подією називають кожний можливий наслідок імовірнісного експерименту. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних подій і позначають грецькою буквою W (омега).

Якщо простір елементарних подій для деякого випробування складається з п рівноможливих несумісних подій, то ймовірність кожної

з них дорівнює .

Наприклад, ймовірність того, що на підкинутому гральному кубику випаде 5 очок, дорівнює .

А ймовірність того, що підкинута монета впаде догори гербом, дорівнює .

Ймовірність події А позначають символом P(A). Якщо першу з цих подій позначити буквою A, а другу — B, то

Існують події неелементарні. Розглянемо, наприклад, таку подію: C = {поява пластинки доміно з 8 очками}.

Оскільки пластинок доміно усього 28, то випробування, пов’язане з вибором однієї пластинки, вичерпується 28 рівноможливими і незалежними наслідками. Отже, простір елементарних подій для даного випробування складається з 28 елементарних подій Ei, де i = 1, 2,..., 28. Подія C може відбутися, якщо відбудеться одна з трьох елементарних подій (мал. 140):

Кажуть, що події C сприяють три елементарні події (E1, E2, E3) з можливих 28, тому

Розглянемо загальний випадок. Нехай випробування має скінченну кількість (n) рівноможливих і несумісних наслідків і A — деяка випадкова подія, пов’язана з даним випробуванням. Будемо називати елементарну подію En сприятливою для випадкової події A, якщо настання події En в результаті випробування приводить до настання події A. Якщо кількість елементарних подій, сприятливих події A, позначити через n(A), то ймовірність випадкової події A визначається за формулою:

Приклад. З перевернутих 28 кісточок доміно навмання беруть одну. Яка ймовірність того, що на ній виявиться всього:

а) 2 очки (подія A);

б) 4 очки (подія Б);

в) 11 очок (подія D)?

Розв’язання. Існує 2 кісточки доміно з двома очками 3 кісточки з чотирма очками 1 кісточка з 11 очками

Усього можливостей вибору 28, бо взяти можна будь-яку з 28 кісточок. Отже,

Назвемо властивості ймовірності випадкової події.

1. Якщо C — подія неможлива, то P(C) = 0.

2. Якщо Б — подія достовірна, то Р(Б) = 1.

3. Якщо X — подія випадкова, то 0 ≤ P(X) ≤ 1.

4 Якщо E1, E2, E3,..., En — елементарні події, що вичерпують деяке випробування, то P(E1) + P(E2) + P(Ea) +... + P(En) = 1.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Подібно до геометрії теорію ймовірностей можна будувати на основі системи аксіом. При цьому вводяться основні поняття теорії ймовірностей та відношення між ними і формулюються аксіоми. Усі інші поняття і твердження базуються на побудованій системі аксіом з нехтуванням інтуїції та досвіду. Аксіоматизувати теорію ймовірностей можна різними способами. Це в різні часи робили Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мізес (1919, 1928), А. Ломницький (1923). Найкращою з таких вважається система аксіом, запропонована в 1929 р. А. М. Колмогоровим. З нею ви ознайомитеся у старшій школі та вищих навчальних закладах.

Аксіоматичний підхід дає змогу широко використовувати теорію ймовірностей до розв’язування різних теоретичних і практичних завдань, а також визначати межі її застосування.

Перевірте себе

1. Які події називають випадковими?

2. Наведіть приклади випадкових подій.

3. Які події називають неможливими, достовірними?

4. Наведіть приклад простору елементарних подій.

5. Які події називають елементарними? Наведіть приклади.

6. Чому дорівнює ймовірність випадкової події?

7. Чому дорівнює ймовірність достовірної події? А неможливої?

8. Що таке відносна частота випадкової події?

Виконаємо разом

1. Маємо два кубики, у яких по 2 грані відповідно червоного, жовтого і зеленого кольору. Підкидають їх разом і фіксують кольори граней, на які впадуть обидва кубики. Запишіть простір елементарних подій для такого випробування.

• Розв’язання. Якщо обидва кубики впали на жовті грані, то цю подію позначатимемо символом жж. Якщо один впаде на жовту, інший — на червону, то таку подію позначатимемо жч. Тоді простір елементарних подій для заданого випробування буде W = {жж, зз, чч, жз, жч, зч}.

2. Набираючи номер телефону, абонент забув останню цифру і набрав її навмання. Яка ймовірність того, що він правильно набрав цей номер?

• Розв’язання. Число всіх можливих випадків n = 10, а число сприятливих випадків m = 1. Тому шукана ймовірність

3. Кидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що на них випадуть очки, сума яких дорівнює:

а) 4;

б) 5;

в) 8?

• Розв’язання. Кожній розглядуваній події поставимо у відповідність двоцифрове число, цифри якого відповідають очкам, що випали при падінні першого і другого кубиків. Можливі такі випадки:

Як бачимо, для даного випробування простір елементарних подій W містить 36 елементів.

а) Суму очок, що дорівнює 4, дають три числа: 13, 22 і 31. Маємо 3 сприятливі елементарні події із 36. Тому шукана ймовірність:

б) Суму очок 5 дають 4 пари кубиків: 14, 23, 32 і 41, тому

в) Суму очок 8 дають 5 пар: 26, 35, 44, 53, 62, тому

Виконайте усно

822. Якою з погляду теорії ймовірностей є подія: а) при падінні грального кубика випадуть п’ять очок; б) дитина народиться 30 лютого;

в) перестановкою букв у слові «зебра» одержати слово «береза»;

г) вибране навмання двоцифрове число виявиться меншим за 100; ґ) побудований графік непарної функції виявиться симетричним відносно початку координат.

823. Яка ймовірність того, що при падінні грального кубика випаде: а) два очки; б) парна кількість очок; в) кількість очок, кратна 3?

824. Беруть навмання пластинку доміно. Яка ймовірність того, що вона: а) є дублем; б) не є дублем?

825. Опишіть простір елементарних подій для даного експерименту: а) встановлення дня народження довільно обраного учня; б) визначення кількості коренів квадратного рівняння; в) установлення кількості спільних точок кола і гіперболи, побудованих в одній системі координат.

Рівень А

826. Знайдіть імовірність того, що ваш товариш народився: а) у середу; б) навесні; в) у вересні; г) 1 січня.

827. У 9-А класі навчаються 20 учнів, 25 % з яких — відмінники. Доводити теорему синусів навмання викликають одного учня. Яка ймовірність того, що це буде відмінник?

828. Набираючи номер телефону, абонент забув першу цифру і набрав її навмання. Яка ймовірність того, що потрібний номер він набрав правильно?

829. Пофарбований з усіх боків дерев’яний кубик розпиляли на 125 рівних кубиків і помістили їх у торбину. Яка ймовірність того, що беручи з торбини кубик навмання, візьмете такий, у якого пофарбовано:

а) три грані; б) тільки дві грані; в) тільки одну грань (мал. 141)?

830. Із букв, написаних на окремих картках, склали слово ТОТОЖНІСТЬ. Потім ці картки перевернули, перетасували і взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що на ній виявиться: а) буква Т; б) буква О; в) буква Н?

Мал. 141

831. У торбині 5 білих і 7 чорних куль. Яка ймовірність того що, беручи навмання, виймуть з неї: а) білу кулю; б) чорну кулю?

823. У мішечку 10 згорнутих папірців. На двох із них написано «ні», а на решті — «так». Яка ймовірність того, що на взятому навмання папірці виявиться слово «так»?

833. В ящику 10 червоних і 5 жовтих куль. З нього вийняли одну кулю червоного кольору і відклали вбік. Після цього з ящика беруть ще одну кулю навмання. Яка ймовірність того, що вона виявиться жовтою?

834. У змаганнях беруть участь 25 учнів першої школи, 15 — другої і 10 — третьої. Яка ймовірність того, що першим виступатиме учень з першої школи?

835. Пасажир чекає трамвай № 1 або № 3 на зупинці, де зупиняються трамваї № 1, 3, 4 і 9. Вважаючи, що всі трамваї підходять однаково часто, знайдіть імовірність того, що першим прийде до зупинки трамвай, якого чекає пасажир.

Рівень Б

836. На 1000 білетів лотереї припадає 1 виграш 1000 грн, 10 виграшів по 200 грн, 50 — по 100 грн, 100 — по 50 грн. Решта білетів невиграшні. Знайдіть імовірність виграшу на один білет, не меншого від 100 грн.

837. У партії зі 100 деталей 75 деталей першого сорту, 15 — другого, 8 — третього і 2 деталі браковані. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться першого або другого сорту?

838. Із 10 карток, пронумерованих числами від 1 до 10, виймають одну. Яка ймовірність того, що її номер виявиться меншим за 7 і більшим за 3?

839. В урні є 30 жетонів з номерами від 1 до 30. Яка ймовірність того, що перший витягнутий з урни навмання жетон не міститиме цифри 6?

840. 3 15 карток, пронумерованих числами від 1 до 15, виймають одну. Яка ймовірність того, що номер вийнятої картки виявиться: а) кратним 3; б) кратним 4?

841. Зі 100 науковців установи англійською володіють 90, німецькою — 85, 80 осіб — обома цими мовами. Знайдіть імовірність того, що вибраний навмання науковець з цієї установи: а) володіє англійською або німецькою; б) не знає ні англійської, ні німецької.

842. Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність появи хоча б однієї шістки?

843. Беруть навмання пластинку доміно. Яка ймовірність того, що на ній є: а) усього 9 очок; б) більш ніж 9 очок; в) менш ніж 9 очок?

844. Пофарбований дерев’яний кубик розпиляли на 1000 рівних кубиків і помістили їх у торбину. Яка ймовірність того, що беручи з торбини навмання один кубик, ви візьмете такий, який має: а) принаймні одну пофарбовану грань; б) тільки дві пофарбовані грані?

845. Знайдіть імовірність того, що вибране навмання двоцифрове число кратне 5.

846. Одночасно підкидають дві однакові монети. Знайдіть імовірність події: а) A = {випав один герб і одна решка}; б) B = {випало не менше одного герба}.

847. Перевірили 500 довільно вибраних деталей і виявили, що 5 із них — браковані. Скільки бракованих деталей можна очікувати в партії з 3500 штук?

848*. Дослідіть розподіл хлопчиків і дівчаток у родинах, які мають троє дітей різного віку. Вважайте, що ймовірність народження хлопчика і дівчинки однакова.

Вправи для повторення

849. Функцію задано формулою f(x) = -5x + 3. Знайдіть f(0,1); f(-2,5); f(-10); f(0,3); f(-1,2).

850. Розв’яжіть нерівність:

а) (3x - 1)(x + 3) > x(1 + 5x);

б) x2 + 8x + 8 < 3x2.

851. Побудуйте графік функції:

а) y = |x2 - x|;

б) y = x2 - |x|.

Скарбничка досягнень

ü Можу навести приклади подій:

— неможливих;

— достовірних;

— випадкових.

ü Можу пояснити, що таке:

— частота випадкової події;

— ймовірність випадкової події.

ü Умію розв’язувати задачі, що передбачають:

— знаходження ймовірності випадкової події;

— обчислення частоти випадкової події.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо: — Що таке середнє арифметичне

— Як будують стовбчасті та секторні діаграми.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити