Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

§ 21 Відомості про статистику

Науку, в якій досліджуються кількісні характеристики масових явищ, називають математичною статистикою (від латинського слова status — стан, становище).

Приклад 1. Із 87 дев’ятикласників однієї школи 7 мають оцінки, що відповідають І рівню навчальних досягнень, 33 — II, 31 — III і 16 — IV рівню. Це кількісні характеристики проведеної контрольної роботи. Їх можна подати у вигляді таблиці.

Рівень навчальних досягнень

І

II

III

IV

Кількість учнів

7

33

31

16

Наочно зобразити ці дані можна за допомогою стовпчастої діаграми (мал. 142).

Стовпчасті діаграми у статистиці називають гістограмами (від грецьких слів histos — стовп, gramma — написання).

У розглянутому прикладі йдеться про 87 учнів. Справа значно ускладнюється, якщо досліджують масові явища, що охоплюють тисячі або й мільйони досліджуваних об’єктів.

Наприклад, взуттєвикам треба знати, скільки взуття слід випускати того чи іншого розміру.

Як це з’ясувати? Опитати всіх, тобто десятки мільйонів чоловіків і жінок, — надто дорого і довго. Тому роблять вибірку — формують скінченну сукупність незалежних результатів спостережень. У даному випадку опитують вибірково лише кілька десятків чи сотень людей.

Мал. 142

Приклад 2. Припустимо, що, опитавши 60 жінок, розміри їхнього взуття записали в таблицю.

23,5

24

23,5

23

24,5

23

22,5

24,5

22,5

23,5

23,5

23,5

25,5

21

24

25

23,5

22

23

24,5

23

24,5

23

24,5

25

24

21,5

23,5

24,5

22,5

22

23,5

26,5

25,5

25

26

24

23

24

24,5

22

24

23,5

21,5

23,5

25

24

22,5

25,5

21,5

24,5

26

25

23,5

22,5

24

23

22,5

24

25

Це вибірка із 60 значень (даних). Для зручності їх групують у класи (за розмірами взуття) і відмічають, скільки значень вибірки містить кожний клас.

Розмір взуття

21

21,5

22

22,5

23

23,5

24

24,5

25

25,5

26

26,5

Кількість жінок

1

3

3

6

7

10

9

8

6

4

2

1

Такі таблиці називають частотними. У них числа другого рядка — частоти; вони показують, як часто трапляються у вибірці ті чи інші її значення. Відносною частотою значення вибірки називають відношення частоти значення до кількості усіх значень вибірки, виражене у відсотках. У розглянутому прикладі частота розміру взуття 24 дорівнює 9, а відносна частота — 15 %, бо 9 : 60 = 0,15 = 15 %.

За частотною таблицею можна побудувати гістограму (мал. 143). Вона наочно показує, яку частину взуття бажано випускати того чи іншого розміру. Зрозуміло, що одержані в такий спосіб висновки тільки ймовірні, наближені. Але для практичних потреб цього буває досить.

Деякі статистичні дані зручно подавати за допомогою графіків, як, наприклад на с. 91.

Розмір взуття

Вибірки характеризують центральними тенденціями: модою, медіаною, середнім значенням.

Мода вибірки — це те її значення, яке трапляється найчастіше.

Медіана вибірки — це число, яке «поділяє» навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки.

Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її значень.

Нехай дано вибірку: 1, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 4, 1, 6, 4. (*)

Упорядкуємо її: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6.

Мода даної вибірки дорівнює 4, оскільки 4 трапляється найчастіше (тричі).

Медіана даної вибірки дорівнює 3, бо число 3 «поділяє» впорядковану вибірку навпіл: перед нею і після неї — однакові кількості членів упорядкованої вибірки.

Якщо впорядкована вибірка має парне число значень, то її медіана дорівнює півсумі двох її серединних значень. Наприклад, для вибірки

1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6 медіана

Середнє значення вибірки (*):

Вибірка може не мати моди, наприклад: 4, 5, 6, 7, 8; мати дві моди: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8.

Перевірте себе

1. Що досліджує математична статистика?

2. Що таке гістограма?

3. Які явища називають масовими?

4. Що таке вибірка? Частота вибірки?

5. Назвіть центральні тенденції вибірки.

6. Що таке середнє значення вибірки? А медіана, мода?

Виконаємо разом

1. Перевірка інспекцією якості 20 твердих сирів сорту «Український» (за вмістом жиру) дала такі результати.

Вміст жиру, %

44

45

46

47

48

Кількість випробувань

1

4

5

7

3

Знайдіть центральні тенденції вибірки.

• Розв’язання. Мода даної вибірки дорівнює 47, бо це значення трапляється найчастіше (7 разів).

Вибірка має парне число значень, тому її медіана дорівнює півсумі двох її серединних значень — під десятим і одинадцятим номерами,

бо всього членів вибірки 20. Цим номерам у вибірці (44; 45; 45; 45; 45; 46; 46; 46; 46; 46; 47...) відповідають значення 46 і 47. Отже, (46 + 47) : 2 = 46,5 — медіана вибірки.

Знайдемо середнє значення вибірки:

Відповідь. Мода — 47; медіана — 46,5; середнє значення — 46,35.

2. За розв’язування задач п’ять учасників олімпіади одержали від 0 до 3 балів, десять — від 4 до 6, тридцять — від 7 до 9, сорок чотири — від 10 до 12, шістнадцять — від 13 до 15, десять — від 16 до 18, два — від 19 до 21, три — від 22 до 24 балів. Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму.

Розв’язання. Частотна таблиця має такий вигляд

Кількість

балів

0-3

4-6

7-9

10-12

13-15

16-18

19-21

22-24

Кількість

учасників

5

10

30

44

16

10

2

3

Відповідну гістограму наведено на малюнку 144.

Мал. 144

Виконайте усно

852. Проаналізуйте діаграму, яка демонструє хімічний склад харчових продуктів (мал. 145). Зробіть висновки.

Мал. 145

853. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:

а) 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11;

б) 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 15, 15, 16, 17.

854. У конкурсі «Кенгуру» брали участь 2000 осіб рівня «Кадет». На мал. 146 зображено відповідність між кількістю учасників (%) і кількістю балів, яку вони набрали. Яку інформацію про результати конкурсу можна одержати за допомогою даної гістограми?

855. Укажіть центральні тенденції вибірки і відносну частоту кожного її значення, якщо вибірку подано у формі такої частотної таблиці.

-30°

-20°

-10°

10°

20°

30°

1

3

6

17

13

8

2

856. Дано 100 чисел; з них число 2 трапляється 15 разів, число 4 — 40, число 8 — 20, число 9 — 20, число 10 — 5 разів. Знайдіть їхнє середнє арифметичне.

857. Вимірявши зріст 40 учнів у сантиметрах, одержали таку частотну таблицю.

Зріст, см

162

163

164

165

166

167

168

169

170

Кількість учнів

3

5

4

2

6

10

6

3

1

Побудуйте відповідну гістограму. Визначте відносну частоту кожного значення.

858. У таблиці подано відсотки, що характеризують кількість учнів 10-х класів у США, які щодня курять. За допомогою комп’ютера побудуйте відповідну гістограму та графік. Які висновки можна зробити за цими даними?

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

12,2

10,1

8,9

8,3

7,5

7,6

7,2

5,9

6,3

6,6

5,5

5,0

4,4

3,2

859. На малюнку 147 задано середні норми індексу маси людини, незалежно від віку, статі та інших індивідуальних характеристик. Дізнайтеся, за якою формулою визначається індекс маси людини. Обчисліть його для себе і перевірте за графіками, що відповідають вашому віку, статі тощо.

Мал. 147

860. Складіть таблицю про споживання електроенергії за минулий рік у вашій родині. Обчисліть, скільки в середньому споживає ваша родина електроенергії: а) за місяць; б) за кожний квартал; в) за кожну пору року.

861. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:

а) 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8;

б) 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.

862. Учні класу написали контрольну роботу з алгебри. З них 4 одержали оцінки четвертого рівня навчальних досягнень, 16 — третього, 12 — другого, 13 — першого рівня. Зведіть ці дані в таблицю і побудуйте за нею кругову і стовпчасту діаграми.

863. Проведіть опитування 30 хлопців вашої школи про розмір їхнього взуття. Результати запишіть у таблицю, аналогічну попередній задачі. Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму.

864. Визначаючи розміри верхнього одягу 50 жінок, результати записали в таблицю.

50

44

50

48

54

46

52

48

54

52

48

48

52

50

46

50

54

48

56

50

52

48

42

56

50

48

50

46

54

48

46

46

48

48

52

48

56

50

52

46

52

48

50

54

50

50

54

44

58

46

Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму.

Рівень Б

865. Щоб з’ясувати, скільки і яких кашкетів слід пошити, виміряли в сантиметрах обводи голів 35 вибраних курсантів. Результати виявились такими.

Розмір

53

54

55

56

57

58

59

Кількість курсантів

1

7

10

12

3

1

1

Побудуйте відповідну гістограму та обчисліть центральні тенденції вибірки. Знайдіть відносну частоту кожного значення даної вибірки.

866. Проведіть опитування учнів вашого класу і з’ясуйте, скільки енергозберігаючих лампочок використовується в оселі кожного з ваших однокласників. За отриманими даними складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму. Визначте відносну частоту кожного значення вибірки.

867. На уроці фізкультури 11 дівчат-дев’ятикласниць у стрибках у висоту показали такі результати: 90 см, 125 см, 125 см, 130 см, 130 см, 135 см, 135 см, 135 см, 135 см, 140 см, 140 см. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки. Який результат найкраще характеризує спортивну підготовку дівчат цього класу?

868. Шість учасників математичної олімпіади за розв’язування задач набрали менше 3 балів, десять — від 3 до 6, тридцять два — від 7 до 9, сорок п’ять — від 10 до 12, сімнадцять — від 13 до 15, вісім — від 16 до 18, п’ять — понад 18 балів. Складіть за цими результатами частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму.

869. Пекарня випікає кілограмові калачі. Під час перевірки виявилось, що маса трьох зі ста калачів менша від 1 кг на 31-40 г, п’ятнадцяти — на 21-30 г, двадцяти — на 11-20 г, тридцяти — на 1-10 г; маса сімнадцяти калачів більша від 1 кг на 1-9 г, а двох — на 10-19 г. Складіть частотну діаграму і побудуйте відповідну гістограму.

870. Розміри денної виручки (у тисячах гривень) у 30 випадково вибраних магазинах такі:

42

24

49

76

45

27

39

21

58

40

28

78

44

66

20

62

70

81

7

68

99

76

63

87

65

104

46

20

72

93

Складіть частотну таблицю на 5 інтервалів і побудуйте відповідну гістограму.

Скарбничка досягнень

ü Можу знаходити, відбирати і впорядковувати інформацію з доступних джерел.

ü Знаю способи подання даних та їх обробки.

ü Можу подавати статистичні дані у вигляді таблиць, діаграм, графіків.

ü Умію розв’язувати задачі, що передбачають подання даних та їх обробку.

Історичні відомості

Деякі властивості випадкових подій виявили італійські математики Л. Пачолі (1445 - 1514) і Д. Кардано (1501 - 1576) у зв’язку з дослідженнями азартних ігор.

Теорію ймовірностей як галузь математики започаткували французькі вчені П. Ферма (1601-1665) і Б. Паскаль (1623-1662).

Збирати й аналізувати статистичні дані люди почали давно. У Китаї переписи населення робилися ще понад 4 тис. років тому. У Київській Русі переписи здійснювалися з 1245 р.

Великий внесок у розвиток математичної статистики зробили У. Петті, А. Муавр, Л. Ейлер, Я. Бернуллі, П. Лаплас, С. Пуассон та ін.

У Російській імперії в XIX ст. проблеми статистики досліджували, зокрема, українські математики В. Я. Буняковський і М. В. Остроградський.

М. В. Остроградський народився в селі Пашенна на Полтавщині, навчався в Полтавській гімназії, Харківському університеті, у Парижі; був академіком Російської, Туринської, Римської, Американської академій наук, членом- кореспондентом Паризької академії.

М. В. Остроградський одержав основоположні результати в галузі математичного аналізу, теоретичної механіки, теорії ймовірностей, математичної фізики, балістики, теорії теплоти, написав «Курс небесної механіки». Багато уваги приділяв наближеним обчисленням, відсоткам.

Розробив статистичні методи бракування товарів.

Пам’ятник М. В. Остроградському споруджено в м. Полтава.

Багато працював у галузі прикладної математики і український математик М. П. Кравчук.

Народився він у селі Човниця на Волині, закінчив Луцьку гімназію, Київський університет.

Із 1925 р. — професор, з 1929 р. — академік Всеукраїнської академії наук, її вчений секретар, очолював Комісію математичної статистики. 1938 р. його було безпідставно репресовано.

Загинув на Колимі.

Пам’ятник М. П. Кравчуку споруджено в м. Київ.

М. В. Остроградський (1801-1862)

М. П. Кравчук (1892-1942)

Головне в розділі

Комбінаторика — розділ математики, присвячений розв’язуванню задач вибору та розташування елементів деякої скінченної множини відповідно до заданих правил.

Розглянемо два основних правила, за допомогою яких розв’язується багато задач із комбінаторики.

Комбінаторне правило суми

Якщо елемент деякої множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В — n способами, то елемент з множини А або ж із множини В можна вибрати m + nспособами.

Комбінаторне правило добутку

Якщо перший компонент пари можна вибрати m способами, а другий — n способами, то таку пару можна вибрати mn способами.

Випадкові події — такі, які можуть відбутися або не відбутися.

Якщо в n випробуваннях подія X відбувається m разів, то дріб визначає відносну частоту появи події X. Число, біля якого коливається відносна частота події, виражає ймовірність цієї події, її позначають буквою P (від англійського слова probability — ймовірність).

Властивості ймовірності випадкової події.

1. Якщо C — подія неможлива, то P(C) = 0.

2. Якщо B — подія достовірна, то P(B) = 1.

3. Якщо X — подія випадкова, то 0 ≤ P(X) ≤ 1.

4. Якщо E1, E2, E3,..., En — елементарні події, що вичерпують деяке випробування, то

P(E1) + PE2) + PE3) + ... + P(En) = 1.

Математична статистика — розділ прикладної математики, в якому досліджуються кількісні характеристики масових явищ. Статистичні дані визначають здебільшого за допомогою вибірки — скінченної сукупності незалежних результатів спостережень. Вибірку впорядковують, складають частотну таблицю, на її основі будують відповідну діаграму або гістограму.

Центральні тенденції вибірки:

а) середнє значення вибірки — середнє арифметичне усіх її значень;

б) мода вибірки — це те її значення, яке трапляється найчастіше;

в) медіана вибірки — серединне значення, яке «поділяє» навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки.

Для характеристики результатів статистичної обробки масових даних застосовують таблиці, графіки, діаграми, гістограми.

З’ясовуємо досягнення

Тестові завдання № 4

1. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5 і 6, якщо цифри у числі можуть повторюватися:

а) одне; б) два; в) три; г) чотири?

2. З цілих чисел від 1 до 20 називають одне. Яка ймовірність того, що воно виявиться дільником числа 20?

а) 0,3; б) 0,4; в) 0,5; г) 0,6.

3. Середнє арифметичне усіх цілих чисел проміжка -10 < x < 40, дорівнює:

а) 10; б) 15; в) 20; г) 30.

4. Протягом перших десяти днів жовтня о 7 год ранку температура була такою: 6°, 8°, 8°, 7°, 5°, 8°, 6°, 7°, 8°, 8°. Знайдіть моду вибірки.

а) 7°; б) 6°; в) 8°; г) 5°.

5. Знайдіть медіану вибірки 1, 7, 5, 7, 3, 7, 1, 8, 3.

а) 1; б) 7; в) 5; г) 3.

6. На таці лежать різні за формою пиріжки. Серед них 5 пиріжків із сиром і 3 з вишнями. Скільки можливостей має дитина, щоб взяти один пиріжок?

а) одну; б) дві; в) три; г) чотири.

7. У якому випадку подію Х називають неможливою?

а) Р(Х) = 1; б) Р(Х) = -1; в) 0 < Р(Х) < 1; г) Р(Х) = 0.

8. Вісім друзів вирішили обмінятися візитівками. Скільки візитівок усього буде роздано:

а) 64; б) 72; в) 32; г) 56?

9. Із букв, написаних на окремих квадратних картках, складено слово МАТЕМАТИКА. Потім ці картки перевернуто, перемішано і навмання взято одну. Яка ймовірність того, що на ній написано букву «А»:

а) 0,1; б) 0,2; в) 0,3; г) 0,4?

10. Андрій загубив одну шахову фігуру. Яка ймовірність того, що вона — тура?

а) 0,5; б) 0,025; в) 0,0625; г) 0,125.

Типові завдання до контрольної роботи № 4

1. В коробці 20 цукерок у синіх обгортках і 80 — у червоних. Яка ймовірність того, що взята навмання цукерка виявиться в синій обгортці?

2. Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?

3. Беруть навмання пластинку доміно. Яка ймовірність того, що на ній більше ніж 10 очок.

4. За червень, липень і серпень родина витратила відповідно 88, 70 і 72 кВт ∙ год. електроенергії. 5. Якими в середньому були витрат електроенергії цією родиною за один місяць влітку.

5. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки: 7, 5, 3, 7, 6, 7, 4, 6, 8, 5.

6. На 100 000 білетів лотереї припадають 662 виграші. З них: 2 по 5000 грн, 10 по 1000 грн, 50 по 200 грн, 100 по 50 грн, 500 по 10 грн. Решта білетів невиграшні. Знайдіть імовірність виграшу понад 200 грн. на один білет.

7. Аналізуючи кількість проданих авіаквитків у квітні, отримали дані:

57

55

60

46

55

54

57

54

49

52

51

65

60

56

45

59

53

61

47

42

47

58

56

53

59

64

49

58

59

63

Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму. Обчисліть центральні тенденції вибірки.

8. Нехай рік має 365 днів. Якай імовірність того, що на випадково вирваному листку календаря число: а) кратне 10; б) дорівнює 29?

9. Учень має 4 книжки з української літератури і 3 книжки з математики. Скількома способами він може розставити ці книжки на полиці так, щоб: а) книжки з одного предмета стояли поруч; б) книжки з одного предмета не стояли поруч?

10. Стрілець у незмінних умовах робить 5 серій пострілів по мішені. У кожній серії — 100 пострілів. Результати стрільби занесено в таблицю. Знайдіть відносну частоту влучення в мішень: а) у кожній серії; б) у перших 300 пострілах; в) в останніх 300 пострілах; г) у всіх 500 пострілах. Сформулюйте гіпотезу про ймовірність влучення в мішень.

Номер серії

1

2

3

4

5

Кількість влучень у мішень

69

64

72

78

65



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити