Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Додатки

Навчальний проект № 3 Застосування математики

Енерго-ефективність і енергозбереження

Фінансові розрахунки

Мета даного проекту полягає в тому, щоб учні в процесі самостійної навчально-пізнавальної діяльності розкрили значення математики в повсякденному житті, зокрема використання відсоткових розрахунків і статистичних відомостей. Передбачається, що проектна діяльність буде супроводжуватися складанням і розв’язуванням різних задач на відсотки, а також аналізом і побудовою діаграм.

Учні класу формуються у малі групи по 2 - 3 особи. За бажанням учнів можна здійснювати індивідуальну проектну діяльність. Кожна група обирає для проектної діяльності одну із запропонованих нижче тем:

1) Математика в професії моїх батьків.

2) Математика на транспорті.

3) Математика у сільському господарстві.

4) Математика на кухні.

5) Як я використовую вільний час.

6) Яким книжкам я віддаю перевагу.

7) Що читають у моїй родині.

8) Спорт у моїй родині.

9) Індекс маси та збалансоване харчування моєї родини.

10) Соціальні мережі.

11) Інтернет у моїй родині — ефективність використання.

12) У який банк покласти гроші на зберігання.

13) Податки, які сплачує моя родина.

14) Як заощаджувати електроенергію.

15) Скільки можна заощадити при раціональному використанні телефонних апаратів.

16) Вода, яку ми використовуємо даремно.

17) Використання води в різних країнах світу.

18) Переваги і недоліки різних джерел світла.

19) Переваги і недоліки різних джерел енергії.

20) Енергоефективність нашої оселі.

21) Енергоефективність нашої школи.

22) Ефективне використання земельної присадибної ділянки.

Теми для проектної діяльності повідомляються учням наприкінці третьої чверті. Після вибору теми дослідження кожен учень має опрацювати обов’язковий матеріал («Відсоткові розрахунки»), що міститься нижче, і дібрати додаткові відомості, що стосуються обраної теми.

Результати роботи над проектом бажано оформити у вигляді індивідуальних портфоліо з груповою комп’ютерною презентацією. За результатами дослідження можна створити плакати, газети, збірник задач (електронний чи паперовий).

Захист проектів доцільно провести на кількох тематичних позакласних заходах, запросивши учнів інших класів, учителів і батьків.

Учням рекомендується самостійно повторити й опрацювати поданий нижче теоретичний матеріал.

Відсоткові розрахунки

Відсоток (або процент) — це одна сота:

1 % = 0,01; 50 % = 0,5; 100 % = 1.

Із найпростішими задачами на відсотки ви ознайомилися раніше. Пригадаймо ці види задач і способи їх розв’язування.

Існує три основні види задач на відсотки:

1) знаходження відсотків від числа:

• p відсотків від числа а — а ∙ 0,01р;

2) знаходження числа за відсотками:

• число, p відсотків якого дорівнюють b, — b : (0,01р);

3) знаходження відсоткового відношення:

• відсоткове відношення а і b — (а : b) ∙ 100 %.

Розглянемо приклади таких задач.

Приклад 1. Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За перший день трактористи виконали 40 % завдання. Скільки гектарів вони зорали за перший день?

Приклад 2. За перший день трактористи зорали 120 га, що становить 40 % поля. Знайдіть площу всього поля.

Приклад 3. Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За перший день трактористи зорали 120 га. Скільки відсотків усього поля вони зорали за перший день?

Спробуйте розв’язати кожну з цих задач кількома способами, замінивши 40 % дробом 0,4 або .

Такі задачі також зручно розв’язувати способом пропорції. Оформлювати розв’язання сформульованих задач можна так:

У складніших прикладних задачах на відсотки часто йдеться про збільшення або зменшення величини на кілька відсотків. У таких випадках треба добре розуміти, від чого беруться відсотки. Наприклад, коли говорять, що заробітна плата підвищилась на 10 %, то розуміють, що вона збільшилась на 10 % від попередньої заробітної плати. При цьому, якщо значення x більше від у наp %, то значення у менше від x не наp %. Збільшенню в 2 рази відповідає збільшення на 100 %, а зменшенню в 2 рази — зменшення на 50 %. Ціна товару теоретично може збільшуватись на будь-яке число відсотків, а зменшитись, наприклад, на 120 % не може.

Розглянемо одну із задач на відсотки.

Приклад 4. Просушили 55 т зерна 16-відсоткової вологості, після чого його стало 50 т. Знайдіть відсоток вологості просушеного зерна.

Розв’язання. Зерно спочатку містило вологи

0,16 ∙ 55 = 8,8 (т).

Випарувалося вологи 5 т (55 - 50 = 5).

Залишилось у зерні вологи 8,8 - 5 = 3,8 (т).

Отже, відсоток вологості просушеного зерна дорівнює:

3,8 : 50 = 0,076 = 7,6 %.

Відповідь. 7,6 %.

Можна розв’язати задачу й інакше, наприклад, склавши рівняння:

0,16 ∙ 55 - 0,01x ∙ 50 = 5.

Приклад 5. Свіжі гриби містять 90 % води, а сушені — 12 %. Скільки сушених грибів вийде з 22 кг свіжих?

Розв’язання. Нехай сушених грибів буде x кг. У них безводної маси 88 %, тобто 0,88x. У 22 кг свіжих грибів безводної маси 10 %, тобто 2,2 кг. Безводні маси свіжих і сушених грибів рівні, звідси маємо рівняння:

0,88x = 2,2; x = 2,5.

Відповідь. 2,5 кг.

Приклад 6. Із двох розчинів солі — 10-відсоткового і 15-відсоткового — треба утворити 40 г 12-відсоткового розчину. Скільки грамів кожного розчину потрібно взяти?

Розв’язання. Побудуємо і заповнимо таблицю, позначивши загальні маси першого та другого розчинів через x г і у г.

Розчин

Загальна маса, г

Вміст солі, %

Маса солі, г

І

x

10

0,10x

II

y

15

0,15y

III (утворений)

40

12

4,8

За значеннями у стовпцях «Загальна маса» та «Маса солі» складаємо систему рівнянь:

Відповідь. Потрібно взяти першого розчину 24 г, другого — 16 г.

Найчастіше доводиться розв’язувати задачі на відсотки бухгалтерам і працівникам банків. Розглянемо приклади, пов’язані з нарахуванням інвесторам (вкладникам) відсоткових грошей.

Говорять про прості відсотки, якщо нараховують відсотки лише на початково інвестовану суму.

Наприклад, на початку року вкладник розміщує на рахунку в банку суму P під відсоток r річних. За рік він одержить суму P1, яка дорівнює початковому вкладу P плюс нараховані відсотки

Через два і три роки сума на рахунку становитиме:

Аналогічно можна представити суму Pn, яку вкладник одержить через n років:

(1)

де P — сума початкового вкладу; Pn — сума вкладу через n років.

Нарахування за схемою простих відсотків застосовується, як правило, у короткострокових фінансових операціях, коли після кожного інтервалу нарахування вкладнику виплачуються відсотки.

У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують складні відсотки. Їх нараховують не тільки на основну суму, а й на нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків.

Припустимо, що вкладник поклав до банку під 9 % річних 1000 грн. Це початковий капітал. Через рік банк нарахує вкладнику за це 90 грн відсоткових грошей (9 % від 1000 грн.). Після цього на рахунку вкладника стане 1090 грн, бо 1000(1 + 0,09) = 1090. За другий рік відсоткових грошей йому нарахують уже 9 % від 1090 грн; нарощений капітал вкладника після двох років дорівнюватиме 1000(1 + 0,09)2 грн. Зрозуміло, що через n років цей капітал становитиме 1000(1 + 0,09)n грн.

Отже, вкладений в банк початковий капітал P під r % річних через n років перетвориться в нарощений капітал:

Це формула складних відсотків. Вона є однією з базових у фінансових розрахунках.

Приклад 7. Вкладник поклав до банку 200 000 грн під складні 7 % річних. Які відсоткові гроші він матиме через 5 років?

Розв’язання. Скористаємося формулою складних відсотків

У даному разі r = 7, n = 5.

Отже, P5 = P(1,07)5. При P = 200 000 маємо:

P5 = 200 000 ∙ (1,07)5 = 280 510.

Порівняно з початковим вкладом:

280 510 - 200 000 = 80 510 (грн).

Відповідь. 80 510 грн.

Множник який забезпечує нарощення грошової суми, називають мультиплікованим множником. Його значення обчислюють для різних значень r і n та заносять у спеціальні таблиці.

Оберіть задачі, які стосуються теми вашого дослідження й розв’яжіть їх. Складіть власні задачі з тематики обраного проекту.

1. Посадовий оклад службовця — 4000 грн. З нового року його обіцяють підвищити на 20 %. Яким стане посадовий оклад службовця?

2. При виготовленні розсолу для соління огірків треба 0,76 кг солі на відро води (12 кг). Виразіть у відсотках міцність розчину.

3. Із 1050 зернин пшениці 1000 зернин зійшло. Який відсоток схожості має насіння?

4. Банк обслуговує 50 000 клієнтів: 21 000 — юридичні особи, а решта — фізичні. Скільки відсотків становлять: а) юридичні особи; б) фізичні особи?

5. Площа поверхні Землі становить 510,1 млн км2, з них 149,2 млн км2 — суходіл. Скільки відсотків поверхні Землі покрито водою?

6. Тракторист мав зорати 25 га, а зорав — 27 га. На скільки відсотків він виконав завдання? На скільки відсотків перевиконав завдання?

7. З молока одержують 10 % сиру. Скільки потрібно молока для 20 кг сиру?

8. 3 цукрових буряків одержують 12 % цукру. Скільки буряків треба, щоб одержати 1 т цукру?

9. В одній книжці на 20 % сторінок менше, ніж у другій. На скільки відсотків у другій книжці сторінок більше, ніж у першій?

10. Яка була ціна товару до переоцінки, якщо після підвищення її на 20 % цей товар коштує 450 грн?

11. Ціна краму спочатку знизилась на 10 %, а потім ще раз на 10 %. На скільки відсотків вона змінилась після двох переоцінок?

12. Ціна на автомобіль спочатку підвищилась на 20 %, а потім знизилась на 20 %. Як змінилась ціна на автомобіль після цих двох переоцінок?

13. У двох баках міститься 140 л бензину. Якщо з першого бака 12,5 % бензину перелити в другий, то в обох баках бензину стане порівну. Скільки літрів бензину в кожному баці?

14. Завод збільшив випуск продукції за перший рік на 20 %, а за другий — на 25 %. Як зріс випуск продукції на заводі за ці два роки?

15. Обсяг робіт на будівництві збільшився на 50 %, а продуктивність праці — на 20 %. Як змінилась кількість робітників?

16. До 18 кг 10-відсоткового розчину кислоти долили 2 кг води. Визначте відсоткову концентрацію нового розчину.

17. Скільки треба змішати 10-відсоткового і 20-відсоткового розчинів солі, щоб мати 1 кг 12-відсоткового розчину?

18. Скільки кілограмів 7-відсоткового розчину слід долити до 5 кг 5-відсотко- вого розчину, щоб він став 6-відсотковим?

19. Скільки прісної води треба долити до 100 кг морської, яка містить 5 % солі, щоб концентрація солі в ній дорівнювала 1,5 %?

20. Латунь — сплав 60 % міді і 40 % цинку. Скільки міді й цинку треба сплавити, щоб одержати 500 т латуні?

21. Бронза — сплав міді й олова. Скільки відсотків міді в бронзовому злитку, який містить 17 кг міді та 3 кг олова?

22. Скільки води треба долити до 10 кг розчину солі, концентрація якого 5 %о, щоб одержати розчин концентрацією 3 %?

23. Скільки треба змішати розчину солі концентрацією 2 % і розчину солі концентрацією 10 %, щоб одержати 800 г розчину, концентрація якого 7 %?

24. Скільки золота 375-ї проби треба сплавити із 30 г золота 750-ї проби, щоб одержати сплав золота 500-ї проби?

25. Із молока жирністю 5 % виготовляють сир жирністю 15,5 %, при цьому залишається сироватка жирністю 0,5 %. Скільки сиру одержують із 100 кг молока?

26. На першому полі 65 % площі засіяно житом. На другому полі під жито відвели 45 % площі. Відомо, що на обох полях житом засіяно 53 % загальної площі. Яку частину всієї засіяної площі становить перше поле?

27. З молока одержують 20 % вершків, а з вершків — 25 % масла. Скільки треба молока, щоб одержати 10 кг масла?

28. Руда містить 60 % заліза. З неї виплавляють чавун, який містить 98 % заліза. Із скількох тонн руди виплавляють 1000 т чавуну?

29. Свіжі гриби містять 90 % води, а сухі — 12 %. Скільки треба висушити свіжих грибів, щоб одержати 10 кг сухих?

30. Вологість свіжих грибів дорівнювала 99 %. Коли гриби підсушили, їх вологість зменшилась до 98 %. Як змінилась маса грибів?

31. Фірма взяла в банку кредит 250 000 грн на 5 років під простих 3 %. Визначте: а) скільки гривень фірма поверне банку через 5 років; б) який прибуток одержить банк?

32. Підприємець вніс до банку 15 000 грн під складні 5 % річних. Якою буде сума його вкладу через 4 роки?

33. Підприємству надано 50 000 грн у кредит на шість місяців за ставкою 8 % річних. Яку суму підприємство має повернути банку через півроку?

34. На вклад у розмірі 90 000 грн строком на 5 років банк нараховує 18 % річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) щопівроку; б) щоквартально?

У задачах 35-36 розгляньте різні умови нарахування відсотків.

35. Вкладник поклав до банку 200 000 грн під 17 % річних. Які відсоткові гроші він матиме через два роки?

36. За якої умови покладений до банку капітал через два роки збільшиться на 44 %?




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити