Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Задачі та вправи підвищеної складності

990. Що більше:

991. Доведіть нерівність

992. Доведіть, що при будь-яких значеннях a, b, c:

а) 2a2+ b2+ c2 > 2a(b + c);

б) a2 + b2 + c2 > 2 (a + 2b + 3c - 7).

993. Доведіть, що при будь-яких значеннях x, y:

а) x4 + y4 > x3y + xy3;

б) 2x2 + by2 - 4xy - 2x - 4xy + 5 > 0.

994. Доведіть, що при будь-якому значенні a:

а) a4- 2a3- a2 + 2a + 1 > 0;

б) a4 - 3a2 - 2a + 5 > 0.

995. Доведіть, що при будь-яких значеннях a, b, c, d

а) (a2 + b2)(c2 + a2) ≥ 4abcd;

б) a2 + b2 + c2 + d2≥ (a + b)(c + d).

996. Доведіть, що:

Розв’яжіть нерівність (997—999).

997.

998.

999. а) (x + 3)3(x + 5)(x - 2) < 0;

б) (8 - x)5(x + 8)2(x + 4) ≤ 0.

1000. Покажіть, що нерівності . Мають однакові множини розвязків.

Побудуйте графік функції (1001—1002).

1001.

1002.

1003. Побудуйте графік рівняння:

1004. Запишіть простішою формулою функцію:

Побудуйте її графік.

Побудуйте графік функції (1005—1007).

1005. а) у = |2х - 3|; б) у = 2|x| - 3.

1006. а) у = 2|x2 - 3|; б) у = |x2 - 6х + 5|.

1007. а) у = |2x2 -6|xI + 5|; б) у = |x2 -6х| + 5.

1008. Скільки розв’язків має рівняння |x2 - 6X + 5| = а, якщо а дорівнює:

-2, 0, 2, 4, 6?

1009. Розв’яжіть нерівність:

а) |x -1 + |x - 5 ≥ 0;

б) |x - 1 + |x - 5| < 3.

1010. Давньогрецька задача. Доведіть, що в арифметичній прогресії з парним числом членів сума членів однієї половини більша від суми решти членів на число, кратне квадрату половини числа членів.

1011. Стародавня задача. Служивому воїну дано винагороду: за першу рану 1 к., за другу — 2 к., за третю — 4 к. і т. д., а всього — 655 крб 35 к. Скільки ран мав той воїн?

1012. Стародавня китайська задача. Рисак і шкапа біжать від Чаньаня до князівства Ці, що за 3000 лі від Чаньаня. За перший день рисак пробігає 193 лі, а кожного наступного дня на 13 лі більше від попереднього. Шкапа за перший день пробігає 97 лі, а за кожний інший на половину лі менше, ніж за попередній. Рисак, добігши до Ці, повернув назад. Через скільки днів він зустрів шкапу?

1013. Довжини сторін прямокутного трикутника — послідовні члени арифметичної прогресії. Знайдіть відношення катетів цього трикутника.

1014. Знайдіть числа x, у і z такі, щоб послідовність 2, x, у, z, 9 була арифметичною прогресією.

1015. Знайдіть суму натуральних чисел, менших від 1000, які:

а) діляться на 7;

б) взаємно прості з числом 7;

в) діляться на 3 і не діляться на 6.

1016. a1, a2, a3,..., an — перші n членів геометричної прогресії зі знаменником q. Знайдіть суму:

1017. q, q2, q3, q4,... — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть суму q + 2q2 + 3q3 + 4q4 + ....

1018. Знайдіть нескінченну геометричну прогресію, якщо сума її членів дорівнює 4, а сума кубів її членів становить 192.

1019. Другий, перший і третій члени арифметичної прогресії є послідовними членами геометричної прогресії. Знайдіть її знаменник.

1020. a, b, c — послідовні члени арифметичної прогресії. Доведіть, що числа a2 + ab + b2, a2 + ac + c2, b2 + bc + c2 також є послідовними членами арифметичної прогресії.

1021. Підберіть формулу n-го члена для послідовності:

а) 1, 2, 1, 2, 1, 2,.;

б) -1, 2, -3, 4, -5,..

1022. Знайдіть суму:

а) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ... + n(n + 1);

б) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 8 + ... + n(3n - 1).

1023. Знайдіть натуральне число, яке дорівнює сумі всіх попередніх натуральних чисел.

1024. У якій арифметичній прогресії сума перших n членів дорівнює 2n2 + n?

1025. Задача Ньютона. Один комерсант щорічно збільшував на третину свій капітал, зменшений на 100 фунтів, які щороку він витрачав на сім’ю. Через три роки його капітал подвоївся. Скільки грошей він мав спочатку?

1026. Між числами 7 і 35 помістіть 6 таких чисел, щоб усі 8 чисел утворювали арифметичну прогресію.

1027. Напишіть n-й член послідовності 3, 6, 11, 18,..., послідовні різниці між сусідніми членами якої становлять арифметичну прогресію.

1028. Розв’яжіть рівняння у якому доданки лівої частини утворюють арифметичну прогресію.

1029. Знайдіть спільні члени арифметичних прогресій 1, 4, 7,... і 6, 11, 16....

Чи правильно, що послідовність їх спільних членів — арифметична прогресія?

1030. Доведіть, що для кожного натурального n виконується рівність:

1031. Задача аль-Каші. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n має місце рівність:

1032. Задача Ферма. Доведіть, що

1033. Знайдіть суму:

1034. З міста A до села B вирушив пішохід, одночасно з ним з B до A виїхав мотоцикліст. Зустрівши пішохода, мотоцикліст забрав його і повернув до B, а довізши пішохода в село, відразу поїхав до міста. У результаті мотоцикліст затратив на дорогу в 2,5 раза більше часу, ніж планував. У скільки разів менше часу затратив на дорогу до села пішохід завдяки допомозі мотоцикліста (мал. 148)?

Мал. 148



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити