Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Відомості з попередніх класів

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ЇХ ПОДІЛЬНІСТЬ

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, які використовують для лічби, називають натуральними. Найменше натуральне число 1, найбільшого натурального числа не існує.

Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а всі інші — непарними.

На 2 діляться ті і тільки ті числа, які закінчуються парними цифрами. Числа, які діляться на 2, називають парними, інші — непарними.

На 5 діляться ті і тільки ті числа, які закінчуються цифрою 5 або 0.

На 10 діляться ті і тільки ті числа, які закінчуються цифрою 0.

На 3 діляться ті і тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 3.

На 9 діляться ті і тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Примітка. Говорячи «сума цифр», мають на увазі суму одноцифрових чисел, записаних відповідними цифрами.

Якщо число а ділиться на т без остачі, то число а називають кратним числа m, а m — дільником числа а. Наприклад, 5 — дільник числа 35, а 35 — кратне числа 5.

Число 35 має чотири дільники: 1, 5, 7 і 35.

Число 5 має безліч кратних: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Число, яке має тільки два дільники — одиницю і саме себе, називають простим. Найменше просте число — 2, найбільшого — не існує. Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... нескінченна.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним. Складених чисел безліч: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... . Число 1 — ні просте, ні складене.

Кожне складене число можна розкласти на прості множники. Наприклад: 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3, 81 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3, 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13.

Числа 18 і 81 мають три спільні дільники: 1, 3 і 9. Числа 81 і 1001 мають тільки один спільний дільник: 1.

Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох чисел називають таке найбільше число, на яке ділиться кожне з даних чисел. Щоб знайти НСД кількох чисел, треба кожне з них розкласти на прості множники і перемножити ті з простих множників, які входять до кожного розкладу. При цьому множники брати з найменшим показником, з яким вони входять до даних чисел.

Найменшим спільним кратним (НСК) кількох чисел називають найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел. Щоб знайти НСК кількох чисел, треба розкласти їх на прості множники і до розкладу одного з них дописати ті множники, яких у ньому не вистачає. При цьому множники брати з найбільшим показником, з яким вони входять до даних чисел. Знайдемо, наприклад, НСД і НСК чисел 20, 60 і 90.

НСД (20; 60; 90) = 2 ∙ 5 = 10,

НСК (20; 60; 90) = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 3 = 180.

Якщо НСД двох або кількох чисел дорівнює 1, то ці числа називають взаємно простими. Взаємно простими є, наприклад, числа 8 і 9 або 4, 7 і 25.

Раціональні числа

Числа, які відрізняються тільки знаками, називають протилежними. Наприклад, число -7 протилежне числу 7, і навпаки. Числа, протилежні натуральним, називають цілими від’ємними. Числа натуральні, цілі від’ємні та нуль разом називають цілими числами. Натуральні числа називають також цілими додатними числами. Від’ємними бувають не тільки цілі числа, а й дробові, наприклад:

Частку від ділення натуральних чисел а і b можна записати у вигляді звичайного дробу , дробова риска замінює знак ділення. Чисельник а і знаменник b разом називають членами дробу.

Дріб називають правильним, якщо його чисельник менший від знаменника. Якщо чисельник дробу більший за знаменник або дорівнює знаменнику, то його називають неправильним. Значення неправильного дробу не менше від 1, а правильного — менше від 1.

Основна властивість дробу. Значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити або поділити на те саме натуральне число.

Користуючись цією властивістю, дроби можна скорочувати.

Цілі та дробові числа (додатні і від’ємні) разом називають раціональними числами. Співвідношення між найважливішими видами чисел показано на схемі.

Множина натуральних чисел є частиною (підмножиною) множини цілих чисел, а множина цілих чисел — частиною (підмножиною) множини раціональних чисел. На координатній прямій кожному раціональному числу відповідає єдина точка.

Додатні числа (цілі і дробові) та нуль разом називають невід’ємними числами.

Модуль невід’ємного числа дорівнює самому числу; модуль від’ємного числа дорівнює протилежному числу. Наприклад:

Із двох раціональних чисел меншим вважають те, якому на координатній прямій відповідає точка, розміщена лівіше. Тому кожне від’ємне число менше від кожного невід’ємного. Із двох від’ємних чисел меншим вважають те, модуль якого більший. Наприклад:

ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ

Частку від ділення двох чисел називають також їх відношенням. Приклади відношень: 3 : 7; 0,5 : 0,3.

Основна властивість відношення. Значення відношення не зміниться, якщо обидва його члени помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. Тому, наприклад, значення відношень 300 : 200 і 3 : 2 рівні.

Відношення дробових чисел завжди можна замінити відношенням цілих чисел. Для цього досить обидва члени відношення помножити на спільне кратне їх знаменників. Наприклад:

Кожний звичайний дріб є відношенням його чисельника до знаменника:

Рівність двох відношень — пропорція. Приклади про порцій:

Числа, які складають пропорцію, називають її членами (середніми і крайніми):

Основна властивість пропорції. Якщо пропорція правильна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх. Тобто якщо а : b = с : d, то аd = bС.

ДІЙСНІ ЧИСЛА

Числа цілі й дробові, додатні, від’ємні і нуль разом становлять множину раціональних чисел. Кожне раціональне число можна записати у

вигляді дробу , де m — число ціле, а n — натуральне.

Кожне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. І кожний нескінченний періодичний десятковий дріб зображає деяке раціональне число.

Приклади.

Числа, які зображаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називають ірраціональними.

Приклади ірраціональних чисел:

Ірраціональні числа разом з раціональними утворюють множину дійсних чисел. Множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел позначають відповідно буквами N, Z, Q, R.

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня і ділити (на числа, відмінні від 0). Для додавання і множення довільних дійсних чисел правильні переставний, сполучний і розподільний закони: a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a ∙ (bc) = (ab) ∙ c, (a + b)c = ac + bc.

Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа звичайно округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» десяткових знаків. При цьому додержуються правила округлення. Якщо перша з відкинутих цифр 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, що залишається, не змінюють. Якщо перша з відкинутих цифр 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, що залишається, збільшують на 1.

ВИРАЗИ

Числа, змінні, а також різні записи, складені з чисел чи змінних та знаків дій, разом називають виразами. Вирази бувають числові (наприклад, 3 - 0,5 : 6) і зі змінними (наприклад, 3х, 2ab, c2 - 3). Якщо вираз не містить ніяких інших дій, крім додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня з цілим показником і ділення, то його називають раціональним виразом. Раціональний вираз, який не містить дії ділення на вираз зі змінною, називають цілим виразом.

Приклади цілих виразів:

Два цілих вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, називають тотожно рівними, або тотожними. Два тотожно рівних вирази, сполучені знаком рівності, утворюють тотожність. Заміну одного виразу іншим, тотожним йому, називають тотожним перетворенням даного виразу.

Найпростіші вирази — числа, змінні, їх степені або добутки, їх називають одночленами.

Приклади одночленів:

Якщо одночлен містить тільки один числовий множник, до того ж поставлений на перше місце, і якщо кожна змінна входить тільки до одного множника, то такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду. Числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді, називають коефіцієнтом цього одночлена.

Суму кількох одночленів називають многочленом. Для зручності кожний одночлен також вважають многочленом.

Подібними членами многочлена називають такі, які різняться тільки коефіцієнтами або й зовсім не відрізняються один від одного. Многочлен записано в стандартному вигляді, якщо всі його члени — одночлени стандартного вигляду, і серед них немає подібних.

Розкласти многочлен на множники — означає замінити його добутком кількох многочленів, тотожним даному многочлену. Найпростіші способи розкладання многочленів на множники: винесення спільного множника за дужки, спосіб групування, використання формул скороченого множення.

Приклади.

Частку від ділення виразу A на вираз B можна записати у вигляді дробу .

Дріб має значення тільки тоді, коли його знаменник не дорівнює нулю. При будь-яких значеннях

(основна властивість дробу). На основі цієї властивості дроби можна скорочувати або зводити до спільного знаменника. Наприклад:

Дії над будь-якими дробами можна виконувати подібно до того, як їх виконують над звичайними дробами. Якщо знаменники не дорівнюють 0, то завжди

Дробовий вираз записують також у вигляді а-n.

Квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, з числа 16 існує два квадратних корені: 4 і -4. Невід’ємне значення квадратного кореня з числа а називають арифметичним значенням кореня і позначають символом

РІВНЯННЯ

Рівняння — це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами. Числа, які задовольняють рівняння, — його розв’язки (або корені). Розв’язати рівняння — означає знайти всі його розв’язки або показати, що їх не існує.

Два рівняння називають рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівняння, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними одне одному.

Рівняння виду ax = b, де a і b — довільні числа, називається лінійним рівнянням зі змінною x. Якщо a ≠ 0, то рівняння ax = b називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Кожне рівняння першого степеня ax = b має один корінь

Лінійне рівняння може мати один корінь, безліч або не мати жодного кореня.

Наприклад, рівняння 12x = 6 — має один корінь; 0x = 0 — має безліч коренів; 0x = 5 — не має жодного кореня.

Квадратним називають рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де x — змінна, a, b, c — дані числа, причому a ≠ 0. Вираз D = b2 - 4ac — дискримінант квадратного рівняння. Якщо D > 0, то дане рівняння має два корені:

Якщо D - 0, то ці корені рівні. При D < 0 квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння x2 + px + q = 0 має два корені, то їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q.

Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо сума і добуток чисел m i n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n — корені рівняння x + px + q = 0.

Дробові рівняння можна розв’язувати, користуючись тим, що дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. А можна спочатку помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник усіх його дробів, розв’язати утворене рівняння й виключити з його коренів ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

СИСТЕМИ РІВНЯНЬ

Рівняння виду ax + by = c, де a, b, c — дані числа, називають лінійним рівнянням з двома змінними x і у. Якщо a ≠ 0 і b ≠ 0, то його називають рівнянням першого степеня з двома змінними.

Кожну пару чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінними, називають розв’язком цього рівняння. Наприклад, пара чисел (3; -2) — розв’язок рівняння 5x + 3y = 9. Кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків. У декартовій системі координат кожному рівнянню першого степеня з двома змінними відповідає пряма — графік цього рівняння. На малюнку 149 зображено графік рівняння 2x - y = 3. Координати кожної точки цього графіка задовольняють дане рівняння. Координати будь-якої іншої точки його не задовольняють.

Якщо треба знайти спільні розв’язки двох чи кількох рівнянь, то говорять, що ці рівняння утворюють систему рівнянь. Розв’язком системи рівнянь називають спільний розв’язок усіх рівнянь.

Кожній системі двох рівнянь першого степеня з двома невідомими в декартовій системі координат відповідає пара прямих. Оскільки дві прямі на площині можуть перетинатися, збігатися або бути паралельними, то й відповідна їм система рівнянь може мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати жодного розв’язку.

Розв’язувати системи рівнянь з двома змінними можна: способами підстановки, додавання або графічним.

Система лінійних рівнянь





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити