Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 2 Властивості числових нерівностей

Розглянемо таку життєву ситуацію. Молода родина вирішила щомісяця відкладати певну суму грошей у банк під відсотки. Дружина дізналася, що відсоткова ставка за депозитом у банку А менша, ніж у банку В, а чоловік знав, що відсоткова ставка за депозитом у банку С менша, ніж у банку А. Який банк, на вашу думку, вибере ця родина для зберігання коштів, якщо всі інші умови депозитів у банках А, В і С — однакові?

Відповідь на це запитання можна обґрунтувати, використовуючи теорему 1.

Розглянемо властивості числових нерівностей і доведемо їх для нерівностей, що містять знак «<».

Теорема 1. Якщо a < b і b < c, то a < c.

Доведення. Якщо a < b і b < c, то числа a - b і b - c — від’ємні. Їх сума (a - b) + (b - c) = a - c — також число від’ємне. А якщо a - c — число від’ємне, то a < c. Це й треба було довести.

Теорема 1 виражає властивість транзитивності нерівностей з однаковими знаками. Приклад. Оскільки

Теорема 2. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.

Наприклад, якщо a < b і c — довільне дійсне число, то a + c < b + c. Доведення. Якщо a < b, то a - b — число від’ємне. Оскільки a - b = (a + c) - (b + c), то різниця (a + c) - (b + c) — число також від’ємне. А це означає, що a + c < b + c.

Теорема 3.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

Доведення. Нехай a < b і c — будь-яке додатне число. У цьому випадку числа a - b, (a - b)c — числа від’ємні. За цих умов від’ємною є і різниця ac - bc, тобто ac < bc.

Якщо a < b і c — довільне від’ємне число, то добуток (a - b)c, а отже, і різниця ac - bc — числа додатні. Тому ac > bc.

Приклади. а) 3 < 4 і 5 > 0, тому 3 ∙ 5 < 4 ∙ 5 або 15 < 20;

б) 3 < 4 і -2 < 0, тому 3 ∙ (-2) > 4 ∙ (-2) або -6 > -8.

Оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене до дільника, то в теоремі 3 слово «помножити» можна замінити словом «поділити».

Якщо a < b і c > 0, то

якщо a < b і c < 0, то

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати.

Наприклад, якщо a < b і c < d, то a + c < b + d.

Доведення. Якщо a < b і c < d, то за теоремою 2: a + c <b + c i b + c < b + d, звідси за теоремою 1: a + c < b + d.

Приклад. 2 < 3 i 5 < 7, тому 2 + 5 < 3 + 7 або 7 < 10.

Теорема 5. Нерівності з однаковими знаками можна почленно перемножати, якщо їх ліві й праві частини — додатні числа.

Наприклад, якщо a < b, c < d і числа a, b, c, d — додатні, то ac < bd.

Доведення. Нехай a < b і c < d, а числа c і b — додатні. Згідно з теоремою 3 ac < bc і bc < bd, звідси за теоремою 1 ac < bd.

З а у в а ж е н н я. Теореми 4 і 5 правильні також для трьох і довільної кількості нерівностей. Наприклад, якщо a < b, c < d і n < m, то a + c + n < b + d + m.

Доведення теорем 1-5 для нерівностей зі знаком «<» майже дослівно можна повторити для аналогічних нерівностей зі знаком «>», «≥» або «≤».

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Чи можна обидві частини нерівності підносити до квадрата або до куба? Нехай а і b — числа додатні; перемножимо почленно нерівності а < b і а < b, одержимо а2 < b2. Перемножимо почленно частини останньої нерівності та а < b, одержимо а3 < b3 і т. д. Отже, якщо числа а і b — додатні, а n — натуральне, то з нерівності а < b випливає аn < bn.

Якщо хоч одне з чисел а і b від’ємне, то з нерівності а < b не завжди випливає аn < bn. Наприклад, -3 < 2, але нерівності (-3)2 < 22, (-3)4 < 24 неправильні.

Вираз «якщо числа а і b додатні та а < b» можна записати коротше:

«якщо 0 < а < b».

Дослідіть, чи завжди правильне твердження:

Перевірте себе

1. Сформулюйте і обґрунтуйте теорему про транзитивність нерівностей.

2. Сформулюйте і обґрунтуйте теорему про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

3. Сформулюйте теорему про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

4. Сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей з однаковими знаками.

5. Сформулюйте теорему про почленне множення нерівностей з однаковими знаками.

Виконаємо разом

1. Відомо, що числа а і b додатні, а також а < 3, b < 6. Доведіть, що ab < 20.

• Розв’язання. Оскільки числа а і b додатні, то нерівності а <3 і b < 6 можна перемножити: а ∙ b < 3 ∙ 6, або аb < 18. Якщо ab < 18, а 18 < 20, то аb < 20.

2. Чи випливає з нерівностей а < 3 і b < 6 нерівність ab < 20, якщо принаймні одне з чисел а і b — від’ємне?

• Розв’язання. Якщо одне з чисел а і b від’ємне, а друге — додатне, то добуток ab від’ємний. У цьому випадку нерівність ab < 20 правильна. Якщо числа а і b обидва від’ємні, то нерівність ab < 20 може бути як правильною, так і неправильною. Наприклад, якщо а = -1, b = -2, то (-1) ∙ (-2) < 20, отже, нерівність правильна.

Якщо а = -7, b = -10, то нерівність (-7) ∙ (-10) < 20 неправильна. Відповідь. Ні.

3. Відомо, що m ≥ -5. Додатне чи від’ємне значення виразу —3m - 20?

Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності m ≥ -5 на -3, одержимо -3m ≤ 15 (властивість 4). Додамо до обох частин цієї нерівності число -20: -3m - 20 ≤ 15 - 20 (властивість 2), звідси -3m - 20 ≤ -5, отже, -3m - 20 < 0.

Відповідь. Від’ємне.

Виконайте усно

56. Яке з чисел а і c більше, якщо: а) а - c < 0; б) а - c > 2?

57. Дивлячись на малюнок 6, скажіть, значення якого виразу більше: а чи а + 2b; b чи b - 2а?

Мал. 6

58. Порівняйте числа x і z, якщо:

а) x < у і y < z;

б) x > у і y > z;

в) x < а і а < z.

59. Додатне чи від’ємне число n, якщо:

а) 3n < 3,5n;

б) -1,5n > -n;

в) 0,2n < -n?

60. Який із дробів більший, якщо b < а < 0?

61. Який із двох від’ємних дробів менший, якщо |x| < |у| ?

62. Число а більше за 1. Яким є число: 3а, -а, 1 - а, 1 + 2а?

63. Число x менше за -1. Яким є число: 5x, 5 - x, x4, 2 + x2?

Рівень А

64. Порівняйте числа а і b, якщо різниці:

а) а - c і c - b — додатні числа;

б) b - c і c - а — від’ємні числа;

в) а - n і n - b — невід’ємні числа.

65. Порівняйте числа а і b, якщо:

а) а - c > 0 і b - c < 0;

б) а - x ≤ 0 і x - b ≤ 0.

66. Покажіть, як розміщені на координатній прямій точки з координатами а, b, c і d, якщо а < c, b > c, d > b.

67. Запишіть правильну нерівність, утворену в результаті:

а) додавання до обох частин нерівності 12 < 18 числа 5;

б) віднімання від обох частин нерівності 12 < 18 числа 77;

в) множення обох частин нерівності 12 < 18 на 3; на -5;

г) ділення обох частин нерівності 12 < 18 на 3; на -6.

68. Відкрита задача. Складіть кілька задач, що ілюструють властивості числових нерівностей і стосуються життєдіяльності людини.

69. Відомо, що a > b. Поставте замість * знак нерівності:

70. Додатне чи від’ємне число а, якщо:

а) 2а < 3а;

б) 0,5а > а;

в) -5а < -4а?

71. Додайте почленно нерівності:

72. Перемножте почленно нерівності:

"Математика — наука, яка вимагає найбільше фантазії". С. В. Ковалевська

73. Порівняйте додатні числa якщо а < b і c > 0.

74. Відомо, що m < n. Порівняйте числа:

75. Відомо, що x > y > 0. Поставте замість * знак нерівності:

76*. Відомо, що x < y < 0. Поставте замість * знак нерівності:

77. Доведіть, якщо:

78. Розмістіть у порядку зростання числа якщо всі вони додатні та a < c, d < b i d > c.

79. Розмістіть у порядку зростання числа якщо всі вони від’ємні та a > c, d > b i d < c.

80. Доведіть, якщо:

а) a ≤ b i b ≤ c, то a ≤ c;

б) a ≤ b i c > 0, то ac ≤ bc;

в) a≤ b i c < 0, то ac ≥ bc.

81. Чи правильно, що при додатних значеннях a і b:

82. Практичне завдання. 1) Намалюйте трапецію і паралелограм. Виміряйте сторони і діагоналі кожного із цих чотирикутників. З’ясуйте, чи правильним є твердження: «Периметр чотирикутника більший від суми його діагоналей. 2) Доведіть, що: а) діагональ чотирикутника менша від його півпериметра: б) сума діагоналей чотирикутника менша від його периметра. Розгляньте два випадки (мал. 6 і 7).

Мал. 6

Мал. 7

83. Задано правильну нерівність -18 < 15. Установіть відповідність між діями (1-4), що виконуються з цією нерівністю, і правильними результатами цих дій (А-Д).

1. Додавання нерівності -12 < -9 до заданої нерівності

2. Ділення обох частин заданої нерівності на -3

3. Віднімання нерівності 5 < 8 від заданої нерівності

А -12 < 10

Б -13 < 7

В -30 < 6

4. Множення обох частин заданої нерівності на

Г -26 < 10

Д 6> -5

84. Користуючись тотожністю доведіть, якщо

85. Доведіть, якщо:

86. Чи правильно, що для довільних значень діб:

Вправи для повторення

87. Дано точки: А(-3; 14), Б(3; 14), С(-2; 20), Z >(2; 20). Чи проходить графік функції у = х2 - 5х + 6 через ці точки?

88. При якому значенні п графік функції у = х2 - 3х + n проходить через точку М(3; 7)? Через точку К(-2; 3)?

89. Розкладіть на множники тричлен:

90. Гра судоку. Перенесіть таблицю в зошит (мал. 8). Заповніть порожні клітинки цифрами від 1 до 9 так, щоб до кожного рядка, кожного стовпця і кожного виділеного квадрата 3x3 кожна цифра входила тільки один раз.

Мал. 8

Скарбничка досягнень

ü Знаю властивості числових нерівностей і умію їх обґрунтовувати.

Якщо а < b i b < с, то а < с

Якщо а < b то а + с < b + с

Якщо а < b і с > 0, то ас < bс

Якщо а < b і с < 0, то ас > bс

ü Умію використовувати властивості числових нерівностей.

12 > 7, 3 > 0

36 > 21

12 > 7, -2 < 0

-24 < -14

ü Хочу навчитися застосовувати властивості числових нерівностей для доведення нерівностей.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо властивості числових нерівностей. Якщо:

a < b і b < c, то a < c;

a < b і c — довільне число, то a + c < b + c;

a < b і c > 0, то ac < bc;

a < b і c < 0, то ac > bc;

a < b і c < d, то a + c < b + d;

a < b, c < d і a, b, c, d — числа додатні, то ac < bd.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити